如何消去参数，得到xy的方程

mathematica

\[\left\{x=\frac{6 \left(k^4-4 k^3+4 k^2+4 k+1\right)}{5 k^4-6 k^3+8 k^2+6 k+5},y=-\frac{3 \left(k^4-2 k^3-8 k^2+2 k+1\right)}{5 k^4-6 k^3+8 k^2+6 k+5}\right\}\]
如何消掉k，得到f(x,y)=0的方程呢？
我指的是不用软件，用软件我会。
Eliminate函数就可以了，我需要的是中间的思维过程

mathematica

题目来源，椭圆内接直角三角形的直角顶点（为定点）在斜边上投影的轨迹。
点A(2,1)、B(x1,y1)、C(x2,y2)都在椭圆\(x^2/6+y^2/3==1\)上,
其中∠BAC=90°，AD垂直于BC于D.
上面的(x,y)就是D点的坐标，而k是直线AB的斜率.

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {x0,y0}={2,1};
   
3. ans=Simplify@Solve[{
   
4.     x1^2/6+y1^2/3==1,(y1-y0)/(x1-x0)==k,
   
5.     x2^2/6+y2^2/3==1,(y2-y0)/(x2-x0)==-1/k,
   
6.     Det[{{x1,y1,1},{x2,y2,1},{x3,y3,1}}]==0,
   
7.     (x1-x2)*(x0-x3)+(y1-y2)*(y0-y3)==0
   
8. },{x1,y1,x2,y2,x3,y3}]
   
9. {x3,y3}={x3,y3}/.ans//Flatten
   
10. aaa=Eliminate[{x-x3==0,y-y3==0},{k}]

复制代码

hejoseph

就消元那个问题而言，令 $f(k)=(5 k^4 - 6 k^3 + 8 k^2 + 6 k + 5) x - 6 (k^4 - 4 k^3 + 4 k^2 + 4 k + 1)$，$g(k)=(5 k^4 - 6 k^3 + 8 k^2 + 6 k + 5) y + 3 (k^4 - 2 k^3 - 8 k^2 + 2 k + 1)$，计算 $f(k)$ 与 $g(k)$ 的结式，得到的多项式就是所求的方程了。
Mathematica计算结式的命令是Resultant：

1. Resultant[(5 k^4 - 6 k^3 + 8 k^2 + 6 k + 5) x - 6 (k^4 - 4 k^3 + 4 k^2 + 4 k + 1), (5 k^4 - 6 k^3 + 8 k^2 + 6 k + 5) y + 3 (k^4 - 2 k^3 - 8 k^2 + 2 k + 1), k] //Factor

复制代码

结式：https://baike.baidu.com/item/%E7 ... /8464739?fr=aladdin

mathematica

hejoseph 发表于 2021-2-2 15:48
就消元那个问题而言，令 $f(k)=(5 k^4 - 6 k^3 + 8 k^2 + 6 k + 5) x - 6 (k^4 - 4 k^3 + 4 k^2 + 4 k + 1) ...

所有的都可以这么消除变量吗？

mathematica

@hujunhua 我有一个问题：我知道这是一个圆，因为我已经把方程搞出来了，还画了图，
但是我有一个问题：我看到过的圆的参数方程，都是x=a+r*cost,y=b+r*sint这种模式，
为什么这儿的多项式也能表达出这个圆的参数方程呢？即使用万能公式，分子分母都是二次多项式呀，
但是这儿是四次多项式，能够讲明白个道理不？难道用了万能公式后又用了半角的正切公式？
@hejoseph

此处的圆的方程是
\[\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{9}
\]

mathematica

究竟是一个圆，还是圆的一部分？这个得画图看一下！

mathematica

@hujunhua
这是一个高考模拟的压轴题，好像在知乎上看到的，你看看用高中办法如何求解，我这个办法似乎用高中办法通不了！
这个是圆心平移到原点的参数方程！
\[\left\{-\frac{2 \left(k^4+24 k^3-20 k^2-24 k+1\right)}{3 \left(5 k^4-6 k^3+8 k^2+6 k+5\right)},-\frac{2 \left(7 k^4-12 k^3-32 k^2+12 k+7\right)}{3 \left(5 k^4-6 k^3+8 k^2+6 k+5\right)}\right\}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {x0,y0}={2,1};
   
3. ans=Simplify@Solve[{
   
4.     x1^2/6+y1^2/3==1,(y1-y0)/(x1-x0)==k,
   
5.     x2^2/6+y2^2/3==1,(y2-y0)/(x2-x0)==-1/k,
   
6.     Det[{{x1,y1,1},{x2,y2,1},{x3,y3,1}}]==0,
   
7.     (x1-x2)*(x0-x3)+(y1-y2)*(y0-y3)==0
   
8. },{x1,y1,x2,y2,x3,y3}]
   
9. {x3,y3}={x3,y3}/.ans//Flatten
   
10. ParametricPlot[{x3,y3},{k,0,100},PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]
    

复制代码

好像还不是圆，好像有一个缺口。@hujunhua

mathe

注意到参数方程系数的特殊对称性，可以把表达式重写为
\(x=\frac{6(k^2+\frac1{k^2}-4(k-\frac1k)+4)}{5(k^2+\frac1{k^2})-6(k-\frac1k)+8)}, y=-\frac{3(k^2+\frac1{k^2}-2(k-\frac1k)-8)}{5(k^2+\frac1{k^2})-6(k-\frac1k)+8)}\)
\(x=\frac{6((k-\frac1k)^2-4(k-\frac1k)+6)}{5((k-\frac1k)^2-6(k-\frac1k)+10)}, y=-\frac{3((k-\frac1k)^2-2(k-\frac1k)-6)}{5((k-\frac1k)^2-6(k-\frac1k)+10)}\)
然后做参数替换\(k-\frac1k \to t\),得到
\(x=\frac{6(t^2-4t+6)}{5(t^2-6t+10)}, y=-\frac{3(t^2-2t-6)}{5(t^2-6t+10)}\)
到此就可以知道这是一条圆锥曲线了。

mathematica

mathe 发表于 2021-2-3 08:46
注意到参数方程系数的特殊对称性，可以把表达式重写为
\(x=\frac{6(k^2+\frac1{k^2}-4(k-\frac1k)+4)}{5(k ...

假设出直线BC的方程似乎结果简单一些

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*求解出直线BC与椭圆的两个交点*)
   
3. ans=Solve[y==k*x+b&&x^2/6+y^2/3==1,{x,y}]//FullSimplify;
   
4. (*对这两个点赋值*)
   
5. {x1,y1}={x,y}/.ans[[1]];
   
6. {x2,y2}={x,y}/.ans[[2]];
   
7. (*AB垂直于BC*)
   
8. eqn=(x1-2)*(x2-2)+(y1-1)*(y2-1)//FullSimplify;
   
9. (*用参数k表达出b的值*)
   
10. aaa=Solve[eqn==0,{b}];
    
11. (*检查一下两个交点的坐标，舍弃第二个b值{{b -> 1/3 (-1 - 2 k)}, {b -> 1 - 2 k}}*)
    
12. (*舍弃一个b值,因为有一点是(2,1)*)
    
13. {x1,y1,x2,y2}/.aaa//FullSimplify;
    
14. (*求解出交点,就是垂足的轨迹*)
    
15. bbb=Solve[(y==k*x+b&&(y-1)/(x-2)==-1/k)/.{b->1/3*(-1-2*k)},{x,y}]//FullSimplify//Expand//Together
    
16. ParametricPlot[{x,y}/.bbb,{k,-100,100},PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]
    

复制代码

解出来D点的参数方程是
\[\left\{\left\{x\to \frac{2 \left(k^2+2 k+3\right)}{3 \left(k^2+1\right)},y\to \frac{3 k^2+4 k-1}{3 \left(k^2+1\right)}\right\}\right\}\]

用k来表达b的值，有两个，后一个舍去
\[\left\{\left\{b\to \frac{1}{3} (-2 k-1)\right\},\{b\to 1-2 k\}\right\}\]

平移到原点后的参数方程是
\[\left\{\left\{x\to -\frac{2 \left(k^2-2 k-1\right)}{3 \left(k^2+1\right)},y\to \frac{2 \left(k^2+2 k-1\right)}{3 \left(k^2+1\right)}\right\}\right\}\]