求三角形ABC的面积

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求三角形ABC的面积

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
   
7.     c1==cs[c,x,10],(*∠BAP的余弦值*)
   
8.     c2==cs[b,x,4],(*∠CAP的余弦值*)
   
9.     c1^2+s1^2==1,(*余弦正弦的平方和等于1*)
   
10.     c2^2+s2^2==1,(*余弦正弦的平方和等于1*)
    
11.     Cos[60Degree]==c1*c2-s1*s2,(*∠BAC=60°*)
    
12.     c>0&&b>0&&c1>0&&s1>0&&c2>0&&s2>0(*过滤条件,限制变量范围*)
    
13. },{c,b,c1,s1,c2,s2}]//FullSimplify
    
14. (*计算面积*)
    
15. aaa=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify
    

复制代码

思路写在代码里面
\[\left\{\left\{c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right),b\to \sqrt{13}+6,\text{c1}\to \frac{3 \sqrt{\frac{3}{13}}}{2},\text{s1}\to \frac{5}{2 \sqrt{13}},\text{c2}\to 2 \sqrt{\frac{3}{13}},\text{s2}\to \frac{1}{\sqrt{13}}\right\}\right\}\]
面积
\[\left\{\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right)\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-3-2 08:29
思路写在代码里面
\[\left\{\left\{c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right),b\to \sqrt{13}+6,\te ...

用解析几何的办法求解！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*A点为原点，AB=c，AC=b，C点在x轴正方向上，解析几何求解*)
   
5. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
6. {xb,yb}=c*{Cos[60Degree],Sin[60Degree]};
   
7. {xc,yc}={b,0};
   
8. ans=Solve[{
   
9.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
   
10.     (xp-0)^2+(yp-0)^2==39,(*AP^2=39*)
    
11.     (xp-xb)^2+(yp-yb)^2==10^2,(*BP=10*)
    
12.     (xp-xc)^2+(yp-yc)^2==4^2,(*CP=4*)
    
13.     c>0&&b>0
    
14. },{c,b,xp,yp}]//FullSimplify
    
15. (*计算面积*)
    
16. aaa=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right),b\to \sqrt{13}+6,\text{xp}\to 6,\text{yp}\to \sqrt{3}\right\},\left\{c\to \sqrt{\frac{1}{38} \left(5 \sqrt{7293}+2357\right)},b\to \sqrt{\frac{1}{19} \left(8 \sqrt{7293}+811\right)},\text{xp}\to 4 \sqrt{\frac{39}{19}},\text{yp}\to -3 \sqrt{\frac{13}{19}}\right\}\right\}\]

面积
\[\left\{\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),\frac{1}{76} \sqrt{\frac{3}{2} \left(22911 \sqrt{7293}+2203247\right)}\right\}\]

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利用正弦定理解方程组，也能得到结果，但是算了，这个解法不列了。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. AP=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
3. (*过P点,做PD垂直于AB与D，做PE垂直于AC与E，PE=x,则PD=2.5*x(角相等)*)
   
4. Solve[ArcSin[(5/2*x)/AP]+ArcSin[x/AP]==Pi/3,{x}]
   

复制代码

\[\left\{\left\{x\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]

northwolves

如图：
$sinα=sin(\pi/3-β)=sin\frac{\pi}{3}cosβ-cos\frac{\pi}{3} sinβ=10/4 sinβ->\frac{sqrt3}{2}cosβ=3sinβ->sinβ=\frac{1}{sqrt13}$
$PD=sqrt3,PE=2.5sqrt3$
$AC=sqrt{sqrt39^2-sqrt3^2}+sqrt{4^2-sqrt3^2}=6+sqrt13,AB=sqrt{sqrt39^2-(2.5sqrt3)^2}+sqrt{10^2-(2.5sqrt3)^2)=\frac{9+5 \sqrt{13}}{2}$
$S△ABC=1/2AB*AC*sin\frac{ \pi}{3}=\frac{39sqrt{39}+119sqrt3}{8}$

northwolves

开始想用$sin(\alpha+\beta)=sin(\pi/3)$ 和差化积计算发现计算量太大，$sinα=sin(\pi/3-β)$反而计算量小多了

mathematica

northwolves 发表于 2021-3-2 15:36
如图：
$sinα=sin(\pi/3-β)=sin\frac{\pi}{3}cosβ-cos\frac{\pi}{3} sinβ=10/4 sinβ->\frac{sqrt ...

我把你的思路mathematica化，把思路交给人类，把计算留给电脑！
不过我的是PD垂直AB，PE垂直AC

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {PA,PB,PC}={Sqrt[39],10,4};(*已知的线段长度*)
   
3. (*过P点,做PD垂直于AB与D，做PE垂直于AC与E*)
   
4. ans=Solve[{
   
5.     PD/PB==PE/PC,(*角相等，所以正弦值也相等*)
   
6.     ArcSin[PD/PA]+ArcSin[PE/PA]==Pi/3,(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
   
7.     AB==Sqrt[PB^2-PD^2]+Sqrt[PA^2-PD^2],(*勾股定理计算AB长度*)
   
8.     AC==Sqrt[PC^2-PE^2]+Sqrt[PA^2-PE^2],(*勾股定理计算AB长度*)
   
9.     SABC==1/2*AB*AC*Sin[60Degree](*三角形ABC的面积*)
   
10. },{PD,PE,AB,AC,SABC}]//FullSimplify
    

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求解结果
\[\left\{\left\{\text{PD}\to \frac{5 \sqrt{3}}{2},\text{PE}\to \sqrt{3},\text{AB}\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right),\text{AC}\to \sqrt{13}+6,\text{SABC}\to \frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right)\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-3-3 09:07
我把你的思路mathematica化，把思路交给人类，把计算留给电脑！
不过我的是PD垂直AB，PE垂直AC

1. (*虽然列方程是正确的，但是软件求解不出来！*)
   
2. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
3. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
5. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
6. ans=Solve[{
   
7.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
   
8.     ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
   
9. },{c,b}]//FullSimplify
   
10. (*计算面积*)
    
11. aaa=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify
    

复制代码

上面的思路是正确的，但是软件求解不出结果，软件太笨了，所以人为把方程多项式化，mathematica最擅长求解多项式。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
   
7.     c1==cs[c,x,10],(*∠BAP的余弦值*)
   
8.     c2==cs[b,x,4],(*∠CAP的余弦值*)
   
9.     c1^2+s1^2==1,(*余弦正弦的平方和等于1*)
   
10.     c2^2+s2^2==1,(*余弦正弦的平方和等于1*)
    
11.     Cos[60Degree]==c1*c2-s1*s2(*∠BAC=60°*)
    
12. },{c,b,c1,s1,c2,s2}]//FullSimplify;
    
13. Grid[ToRadicals@ans,Alignment->Left]
    
14. Grid[N@ans,Alignment->Left]
    
15. (*计算面积*)
    
16. aaa=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify
    
17. bbb=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify//N
    

复制代码

求解结果：
\[\begin{array}{llllll}
c\to \frac{1}{2} \left(-5 \sqrt{13}-9\right) & b\to -\sqrt{13}-6 & \text{c1}\to -\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{\frac{3}{13}}\right) & \text{s1}\to -\frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to -2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to -\frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(-5 \sqrt{13}-9\right) & b\to -\sqrt{13}-6 & \text{c1}\to -\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{\frac{3}{13}}\right) & \text{s1}\to \frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to -2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to \frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(9-5 \sqrt{13}\right) & b\to 6-\sqrt{13} & \text{c1}\to \frac{3 \sqrt{\frac{3}{13}}}{2} & \text{s1}\to -\frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to 2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to -\frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(9-5 \sqrt{13}\right) & b\to 6-\sqrt{13} & \text{c1}\to \frac{3 \sqrt{\frac{3}{13}}}{2} & \text{s1}\to \frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to 2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to \frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}-9\right) & b\to \sqrt{13}-6 & \text{c1}\to -\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{\frac{3}{13}}\right) & \text{s1}\to -\frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to -2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to -\frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}-9\right) & b\to \sqrt{13}-6 & \text{c1}\to -\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{\frac{3}{13}}\right) & \text{s1}\to \frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to -2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to \frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right) & b\to \sqrt{13}+6 & \text{c1}\to \frac{3 \sqrt{\frac{3}{13}}}{2} & \text{s1}\to -\frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to 2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to -\frac{1}{\sqrt{13}} \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right) & b\to \sqrt{13}+6 & \text{c1}\to \frac{3 \sqrt{\frac{3}{13}}}{2} & \text{s1}\to \frac{5}{2 \sqrt{13}} & \text{c2}\to 2 \sqrt{\frac{3}{13}} & \text{s2}\to \frac{1}{\sqrt{13}}\\
c\to \sqrt{\frac{1}{38} \left(2357-5 \sqrt{7293}\right)} & b\to -\sqrt{\frac{1}{19} \left(811-8 \sqrt{7293}\right)} & \text{c1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to -\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{\frac{3}{19}}\right) & \text{c2}\to -\frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to \sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to \sqrt{\frac{1}{38} \left(2357-5 \sqrt{7293}\right)} & b\to -\sqrt{\frac{1}{19} \left(811-8 \sqrt{7293}\right)} & \text{c1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to \frac{5 \sqrt{\frac{3}{19}}}{2} & \text{c2}\to -\frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to -\sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to -\sqrt{\frac{1}{38} \left(2357-5 \sqrt{7293}\right)} & b\to \sqrt{\frac{1}{19} \left(811-8 \sqrt{7293}\right)} & \text{c1}\to \frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to -\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{\frac{3}{19}}\right) & \text{c2}\to \frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to \sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to -\sqrt{\frac{1}{38} \left(2357-5 \sqrt{7293}\right)} & b\to \sqrt{\frac{1}{19} \left(811-8 \sqrt{7293}\right)} & \text{c1}\to \frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to \frac{5 \sqrt{\frac{3}{19}}}{2} & \text{c2}\to \frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to -\sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{7293}}{38}+\frac{2357}{38}} & b\to -\sqrt{\frac{1}{19} \left(8 \sqrt{7293}+811\right)} & \text{c1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to -\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{\frac{3}{19}}\right) & \text{c2}\to -\frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to \sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{7293}}{38}+\frac{2357}{38}} & b\to -\sqrt{\frac{1}{19} \left(8 \sqrt{7293}+811\right)} & \text{c1}\to -\frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to \frac{5 \sqrt{\frac{3}{19}}}{2} & \text{c2}\to -\frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to -\sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to \sqrt{\frac{1}{38} \left(5 \sqrt{7293}+2357\right)} & b\to \sqrt{\frac{1}{19} \left(8 \sqrt{7293}+811\right)} & \text{c1}\to \frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to -\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{\frac{3}{19}}\right) & \text{c2}\to \frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to \sqrt{\frac{3}{19}} \\
c\to \sqrt{\frac{1}{38} \left(5 \sqrt{7293}+2357\right)} & b\to \sqrt{\frac{1}{19} \left(8 \sqrt{7293}+811\right)} & \text{c1}\to \frac{1}{2 \sqrt{19}} & \text{s1}\to \frac{5 \sqrt{\frac{3}{19}}}{2} & \text{c2}\to \frac{4}{\sqrt{19}} & \text{s2}\to -\sqrt{\frac{3}{19}} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{llllll}
c\to -13.5139 & b\to -9.60555 & \text{c1}\to -0.720577 & \text{s1}\to -0.693375 & \text{c2}\to -0.960769 & \text{s2}\to -0.27735 \\
c\to -13.5139 & b\to -9.60555 & \text{c1}\to -0.720577 & \text{s1}\to 0.693375 & \text{c2}\to -0.960769 & \text{s2}\to 0.27735 \\
c\to -4.51388 & b\to 2.39445 & \text{c1}\to 0.720577 & \text{s1}\to -0.693375 & \text{c2}\to 0.960769 & \text{s2}\to -0.27735 \\
c\to -4.51388 & b\to 2.39445 & \text{c1}\to 0.720577 & \text{s1}\to 0.693375 & \text{c2}\to 0.960769 & \text{s2}\to 0.27735 \\
c\to 4.51388 & b\to -2.39445 & \text{c1}\to -0.720577 & \text{s1}\to -0.693375 & \text{c2}\to -0.960769 & \text{s2}\to -0.27735 \\
c\to 4.51388 & b\to -2.39445 & \text{c1}\to -0.720577 & \text{s1}\to 0.693375 & \text{c2}\to -0.960769 & \text{s2}\to 0.27735 \\
c\to 13.5139 & b\to 9.60555 & \text{c1}\to 0.720577 & \text{s1}\to -0.693375 & \text{c2}\to 0.960769 & \text{s2}\to -0.27735 \\
c\to 13.5139 & b\to 9.60555 & \text{c1}\to 0.720577 & \text{s1}\to 0.693375 & \text{c2}\to 0.960769 & \text{s2}\to 0.27735\\
c\to 7.12668 & b\to -2.59359 & \text{c1}\to -0.114708 & \text{s1}\to -0.993399 & \text{c2}\to -0.917663 & \text{s2}\to 0.39736 \\
c\to 7.12668 & b\to -2.59359 & \text{c1}\to -0.114708 & \text{s1}\to 0.993399 & \text{c2}\to -0.917663 & \text{s2}\to -0.39736 \\
c\to -7.12668 & b\to 2.59359 & \text{c1}\to 0.114708 & \text{s1}\to -0.993399 & \text{c2}\to 0.917663 & \text{s2}\to 0.39736 \\
c\to -7.12668 & b\to 2.59359 & \text{c1}\to 0.114708 & \text{s1}\to 0.993399 & \text{c2}\to 0.917663 & \text{s2}\to -0.39736 \\
c\to -8.55938 & b\to -8.86802 & \text{c1}\to -0.114708 & \text{s1}\to -0.993399 & \text{c2}\to -0.917663 & \text{s2}\to 0.39736 \\
c\to -8.55938 & b\to -8.86802 & \text{c1}\to -0.114708 & \text{s1}\to 0.993399 & \text{c2}\to -0.917663 & \text{s2}\to -0.39736 \\
c\to 8.55938 & b\to 8.86802 & \text{c1}\to 0.114708 & \text{s1}\to -0.993399 & \text{c2}\to 0.917663 & \text{s2}\to 0.39736 \\
c\to 8.55938 & b\to 8.86802 & \text{c1}\to 0.114708 & \text{s1}\to 0.993399 & \text{c2}\to 0.917663 & \text{s2}\to -0.39736 \\
\end{array}\]

最后面积
\[\left\{\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),-\frac{1}{76} \sqrt{\frac{1}{2} \left(6609741-68733 \sqrt{7293}\right)},-\frac{1}{76} \sqrt{\frac{1}{2} \left(6609741-68733 \sqrt{7293}\right)},-\frac{1}{76} \sqrt{\frac{1}{2} \left(6609741-68733 \sqrt{7293}\right)},-\frac{1}{76} \sqrt{\frac{1}{2} \left(6609741-68733 \sqrt{7293}\right)},\frac{1}{76} \sqrt{\frac{3}{2} \left(22911 \sqrt{7293}+2203247\right)},\frac{1}{76} \sqrt{\frac{3}{2} \left(22911 \sqrt{7293}+2203247\right)},\frac{1}{76} \sqrt{\frac{3}{2} \left(22911 \sqrt{7293}+2203247\right)},\frac{1}{76} \sqrt{\frac{3}{2} \left(22911 \sqrt{7293}+2203247\right)}\right\}\]
数值化
\[\{56.2086,56.2086,-4.68011,-4.68011,-4.68011,-4.68011,56.2086,56.2086,-8.00367,-8.00367,-8.00367,-8.00367,32.8677,32.8677,32.8677,32.8677\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-3-3 09:41
上面的思路是正确的，但是软件求解不出结果，软件太笨了，所以人为把方程多项式化，mathematica最擅 ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
5. (*隐函数绘图，红色的表示余弦值相等，蓝色的表示反余弦相加等于60°*)
   
6. h1=ContourPlot[cs[c,10,x]==cs[b,4,x],{c,-20,20},{b,-20,20},ColorFunction->Hue];
   
7. h2=ContourPlot[ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3,{c,-20,20},{b,-20,20}];
   
8. (*从图上可以看出来有两组实数根*)
   
9. Show[h1,h2]
   
10. (*通过牛顿迭代法找到第1组实数解，然后代数近似得到精确解*)
    
11. ans=FindRoot[{
    
12.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
    
13.     ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
    
14. },{{c,-2},{b,1}},WorkingPrecision->100]
    
15. aaa={c,b}->RootApproximant[({c,b}/.ans)]
    
16. (*验证精确解是不是方程的根*)
    
17. bbb={
    
18.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
    
19.     ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
    
20. }/.Thread[aaa]
    
21. ccc=FullSimplify[bbb]
    
22. (*通过牛顿迭代法找到第2组实数解，然后代数近似得到精确解*)
    
23. ans=FindRoot[{
    
24.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
    
25.     ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
    
26. },{{c,11},{b,10}},WorkingPrecision->100]
    
27. aaa={c,b}->RootApproximant[({c,b}/.ans)]
    
28. (*验证精确解是不是方程的根*)
    
29. bbb={
    
30.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
    
31.     ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
    
32. }/.Thread[aaa]
    
33. ccc=FullSimplify[bbb]
    

复制代码

可以通过数值解来逼近精确解
两个解分别为
\[\{c,b\}\to \left\{\frac{1}{2} \left(9-5 \sqrt{13}\right),6-\sqrt{13}\right\}\]
上面的解舍弃，下面的解
\[\{c,b\}\to \left\{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right),\sqrt{13}+6\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-3-4 12:29
可以通过数值解来逼近精确解
两个解分别为
\[\{c,b\}\to \left\{\frac{1}{2} \left(9-5 \sqrt{13 ...

代码稍微修改一下,就能够直接求解反三角函数方程了!

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=Sqrt[39];(*AP长度*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[c,10,x]==cs[b,4,x],(*两个角相等，因此它们的余弦值也相等*)
   
7.     (*求解不出来,换成下面的ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3(*两个角相加等于∠BAC=60°*)*)
   
8.     Cos/@(ArcCos@cs[c,x,10]+ArcCos@cs[b,x,4]==Pi/3)(*两个角相加等于∠BAC=60°*)
   
9. },{c,b}]//FullSimplify;
   
10. Grid[ans,Alignment->Left]
    
11. Grid[N@ans,Alignment->Left]
    
12. (*计算面积*)
    
13. aaa=1/2*b*c*Sin[60Degree]/.ans//FullSimplify
    
14. N@aaa
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{ll}
c\to \frac{1}{2} \left(-5 \sqrt{13}-9\right) & b\to -\sqrt{13}-6 \\
c\to \frac{1}{2} \left(9-5 \sqrt{13}\right) & b\to 6-\sqrt{13} \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}-9\right) & b\to \sqrt{13}-6 \\
c\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{13}+9\right) & b\to \sqrt{13}+6 \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{ll}
c\to -13.5139 & b\to -9.60555 \\
c\to -4.51388 & b\to 2.39445 \\
c\to 4.51388 & b\to -2.39445 \\
c\to 13.5139 & b\to 9.60555 \\
\end{array}\]

计算面积
\[\left\{\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(119-39 \sqrt{13}\right),\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(39 \sqrt{13}+119\right)\right\}\]
数值化
\[\{56.2086,-4.68011,-4.68011,56.2086\}\]

代码的改进来源:
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 862&fromuid=865
@chyanog