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[提问] P18,我也来个问题哈

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发表于 2021-3-13 13:59:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 zhouguang 于 2021-3-13 15:22 编辑

哈哈。我也来个题吧。
如图的正18边形(P18),画出了所有的对角线。
1、求一共有多少个交点(包括18个顶点呦)?
2、在第一问的这些交点中,离得最近的两个点的距离是多少?
3、在第一问的这些交点中,在由其中某4个点构成的梯形中,高最短是多少?
备注:假定P18的外接圆半径为1吧。

P18示意图

P18示意图
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-13 14:10:06 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-3-13 14:39:33 | 显示全部楼层
好吧。根据http://oeis.org/A007569的记录,第18项为1855。
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发表于 2021-3-13 15:05:45 | 显示全部楼层
C(18,4)/(1+0.618)=  1891

点评

这个,这个有何深意么?  发表于 2021-3-13 15:24
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发表于 2021-3-13 15:27:02 | 显示全部楼层
20210313152535971.png

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发表于 2021-3-14 13:50:49 | 显示全部楼层
我正在琢磨最快的算法, 计算两个线段的交点.
楼上计算 两个线段的交点的公式 是怎么得来的,可否简单解释一下

点评

公式的推导 https://math.stackexchange.com/q/1352554/58466  发表于 2021-3-16 09:45
上面计算的是所有直线交点,用的复数,然后再选出圆内的点  发表于 2021-3-15 09:53
调用了距离矩阵,内部计算了任意两点间的距离。  发表于 2021-3-14 14:11
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发表于 2021-3-14 14:45:16 | 显示全部楼层
关于两个线段交点的计算, 我想到的一种计算方法, 就是 两个直线都用 直线的参数方程表达, 直线参数方程里的参数刚好具有 分比的含义, 两个分比都在[0,1]之间说明交点是在两个线段上.

我觉得咱们可以打个擂台,这种代数计算刚好能表现出 算法的性能
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发表于 2021-3-14 15:23:15 | 显示全部楼层
由于总共有1855个点,穷举每四个点是否构成梯形从计算量来看有点太大,但是穷举任意两点构成连线的倾斜角还是可行的。然后将这些连线按斜率排序,找出平行并且不重叠的直线,计算它们之间的最小距离即可。
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发表于 2021-3-14 18:12:04 | 显示全部楼层
记多边形各顶点按逆时针顺序分别为A0,A1,...,A17,其中A0(1,0)
于是A3A14和A8A16交于P1(0.283119,-0.363970)
   A7A15和A13A16交于P2(0.418748,-0.769193)
   A2A6和A5A15交于P3(-0.105069,0.796388)
   A9A15和A14A16交于P4(0.439693,-0.831207)
数值计算结果好像P1P2//P3P4而且两者距离0.000178571最小。
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发表于 2021-3-14 20:47:22 | 显示全部楼层
考虑到中心对称和轴对称,我们只需要找到 等腰梯形的一边就行.也就是 只需要找到两个y值的绝对值最小就行

点评

有道理  发表于 2021-3-14 22:33
作图可得P1P2P4P3是非等腰梯形,而且平行边不平行于18条对称轴  发表于 2021-3-14 22:20
我们不一定可以保证最小梯形等腰,也不一定能保证平行边必然可以旋转到和横坐标平行  发表于 2021-3-14 21:57
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