P18，我也来个问题哈

mathe

高精度坐标
P1(0.28311858285794855689386265131696289625, -0.36397023426620236135104788277683404389)
P2(0.41874808778511733749895939701678708193, -0.76919314549720286246765158501092381641)
P3(-0.10506915636530154243288265080926541471, 0.79638844053768537487168323274687890322)
P4(0.43969262078590838405410927732473146992, -0.83120692216106201081770320174990754335)
其中P2和P4特别接近

wayne

针对mathe的这个解我就来个锦上添花，补充解析解吧，都是不可约的三次方程的根，

1. P1 {Root[-1 + 6 # - 9 #^2 + #^3& , 1, 0], Root[-3 + 27 #^2 - 33 #^4 + #^6& , 3, 0]}
   
2. P2 {Root[17 - 42 # + 8 #^3& , 2, 0], Root[-1083 + 4932 #^2 - 5280 #^4 + 64 #^6& , 2, 0]}
   
3. P3 {Root[-1 - 6 # + 36 #^2 + 24 #^3& , 2, 0], Root[-361 + 2340 #^2 - 3888 #^4 + 1728 #^6& , 5, 0]}
   
4. P4 {Root[-3 + 12 #^2 + 8 #^3& , 3, 0], Root[-1 + 72 #^2 - 1296 #^4 + 1728 #^6& , 1, 0]}
   
5. |P1P2-P3P4| =  Root[-1 + 31360032 #^2 - 12271824 #^4 + 188352 #^6& , 4, 0]

复制代码

直线P1P2与直线P3P4的距离

{0.28311858285794855689386265131696289625742152604656, -0.36397023426620236135104788277683404389047178375374},
{0.41874808778511733749895939701678708193508110271226, -0.76919314549720286246765158501092381639955041833012},
{-0.10506915636530154243288265080926541470969548006912,   0.79638844053768537487168323274687890322833454831529},
{0.43969262078590838405410927732473146993620813426446, -0.83120692216106201081770320174990754334986858761024}}
d = $0.00017857133857776175926547190130113525353906486833232$

顺便上传一下这1855个点坐标的解析表达。 给个图，可惜这个四边形有一组边平行，但不是等腰梯形。

happysxyf

wayne 发表于 2021-3-14 23:47
针对mathe的这个解我就来个锦上添花，补充解析解吧，都是不可约的三次方程的根，

直线P1P2与直线P3 ...

用啥画的，为啥能放这么大

mathe

这些点中，最像三点共线的点到底是哪些呢？计算了一下，发现如下图找到的三点可以使得$/_TSU$只比平角小0.00685306°，
绝对可以以假乱真了的“几何证明题”了

mathe

另外比较有意思的是正15边形的结果比正18边形的会更小，也就是梯形的高更短，而且可以找到更接近一条直线的三个点。
Min height 8.52233e-05
points in line 1:
(0,7,4,13:0.305775,0.072966)(1,12,9,14:0.533583,-0.446672)
points in line 2:
(0,5,3,10:0.113466,0.511841)(1,9,4,13:0.311840,0.059342)
Max angle 180-0.00165101
(0,9,4,12:0.164562,-0.271450)(0,2,1,5:0.802903,0.442686)(7,11,9,12:-0.273659,-0.761734)

而17边形的更小
Min height 4.18125e-05
points in line 1:
(5,11,6,13:-0.401390,0.278545)(8,14,9,16:-0.428259,-0.235151)
points in line 2:
(0,6,5,10:-0.380058,0.687187)(4,10,7,15:-0.406012,0.190984)
Max angle 180- 9.26113e-05
(2,10,7,14:-0.281750,-0.097146)(1,4,3,8:0.312982,0.829059)(6,11,10,14:-0.602635,-0.596875)

mathe

正十一边形已经很不错了

wayne

我来总结一下收获：
====
对于正$n$边形，记$z_n=(-1)^{\frac{2}{n}}$, 记录编号为$k$的点为$z_n^k = (-1)^{\frac{2k}{n}}$,于是这$n$个点围绕原点从(1,0)开始， 在 外接圆上 逆时针分布。
1）关于正$n$边形的 对角线的斜率和截距
对角线$z_n^sz_n^t$的直线方程用点法式表达就是 \(x \cos (\frac{\pi  (s+t)}{n})+y \sin (\frac{\pi  (s+t)}{n}) = \cos (\frac{\pi  (s-t)}{n})\),
这个表达式已经蕴含了丰富的信息，比如直线的斜率 $tan(\theta)=-cot(\frac{\pi  (s+t)}{n})$， 原点O到直线的距离大小$p=\cos (\frac{\pi  (s-t)}{n})$
所以，我们找梯形的时候，只需要在$-cot(\frac{\pi  (s+t)}{n})$相等的二元集合里计算p的差最小就行。

2）正$n$边形的对角线的 交点的计算
圆周上的任意四个点$z_n^s，z_n^t，z_n^p，z_n^q$构成的凸四多边形是唯一的，如果$s,t,p,q$按照逆时针排序，那么该凸四边形的对角线交点就是直线$z_n^sz_n^p$ 与直线$z_n^tz_n^q$的交点，恒在内部，不需要额外判断，我们唯一要做的是去重，\[P(s,t,p,q) = \frac{1}{\sin (\frac{\pi  (p-q+s-t)}{n})} \{\sin (\frac{\pi  (p+s)}{n}) \cos (\frac{\pi  (q-t)}{n})-\cos (\frac{\pi  (p-s)}{n}) \sin (\frac{\pi  (q+t)}{n}),\cos (\frac{\pi  (p-s)}{n}) \cos (\frac{\pi  (q+t)}{n})-\cos (\frac{\pi  (p+s)}{n}) \cos (\frac{\pi  (q-t)}{n})\}\]
3）交点个数统计。在2里的四元组合里去重，如果能进一步找出 去重的公式，那么交点的个数的计算应该能得到 解析表达

。

1. n=.;line[s_,t_,n_]:=-Cos[(\[Pi] (s-t))/n]+x Cos[(\[Pi] (s+t))/n]+y Sin[(\[Pi] (s+t))/n];cross[{p_,q_,s_,t_},n_]={x,y}/.First@Solve[{line[p,s,n]==0,line[q,t,n]==0},{x,y}]//FullSimplify
   
2. n=8;
   
3. ans=Union[First[Reap[Table[If[Mod[p.{1,-1,1,-1},n]!=0,Sow[RootReduce[cross[p,n]]],{}],{p,Subsets[Range[n],{4}]}]]]];
   
4. Length[ans]+n
   
5. pts=ReIm[(-1)^(2Range[n]/n)];Graphics[{Circle[],Line/@Subsets[pts,{2}],Red,PointSize[.02],Point[pts],PointSize[.01],Blue,Point[ans]}]

复制代码

happysxyf

wayne 发表于 2021-3-15 13:07
我来总结一下收获：
====
对于正$n$边形，记$z_n=(-1)^{\frac{2}{n}}$, 记录编号为$k$的点为$z_n^k = (-1 ...

去重只能借助计算机吗？没有一般的手算去重公式吗？