可以有多少个算式？

wayne

我穷举了下C(89,4)=2441626种情况，发现只有51个解，不包括$x=y$：

1. lst={};
   
2. ans=Subsets[Range[90-1],{4}];
   
3. Do[If[Chop[N[Sin[#[[1]]Degree]Sin[#[[4]]Degree]-Sin[#[[2]]Degree]Sin[#[[3]]Degree]&@ans[[idx]]],10^-9]==0,AppendTo[lst,idx]];idx++,{idx,Length[ans]}]

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1. {1,2,30,89}
   
2. {2,4,30,88}
   
3. {3,6,30,87}
   
4. {4,8,30,86}
   
5. {5,10,30,85}
   
6. {6,12,24,54}
   
7. {6,12,30,84}
   
8. {7,14,30,83}
   
9. {8,16,30,82}
   
10. {9,12,48,81}
    
11. {9,18,30,81}
    
12. {10,20,30,80}
    
13. {11,22,30,79}
    
14. {12,18,30,48}
    
15. {12,18,42,84}
    
16. {12,24,30,78}
    
17. {13,26,30,77}
    
18. {14,28,30,76}
    
19. {15,18,54,75}
    
20. {16,30,32,74}
    
21. {17,30,34,73}
    
22. {18,24,48,78}
    
23. {18,30,36,72}
    
24. {19,30,38,71}
    
25. {20,30,40,70}
    
26. {21,30,42,69}
    
27. {22,30,44,68}
    
28. {23,30,46,67}
    
29. {24,27,63,84}
    
30. {24,30,48,66}
    
31. {24,30,54,84}
    
32. {25,30,50,65}
    
33. {26,30,52,64}
    
34. {27,30,54,63}
    
35. {28,30,56,62}
    
36. {29,30,58,61}
    
37. {30,31,59,62}
    
38. {30,32,58,64}
    
39. {30,33,57,66}
    
40. {30,34,56,68}
    
41. {30,35,55,70}
    
42. {30,36,54,72}
    
43. {30,37,53,74}
    
44. {30,38,52,76}
    
45. {30,39,51,78}
    
46. {30,40,50,80}
    
47. {30,41,49,82}
    
48. {30,42,48,84}
    
49. {30,43,47,86}
    
50. {30,44,46,88}
    
51. {48,54,66,84}

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如果是$ a < x ≤ y < b ≤ 90$,则需要增加5个解：

1. {6,18,18,66}
   
2. {15,30,30,75}
   
3. {18,30,30,54}
   
4. {30,45,45,90}
   
5. {42,54,54,78}

复制代码

northwolves

{6,12,24,54}
{12,18,30,48}
{12,18,42,84}
{15,18,54,75}
{18,24,48,78}
{24,27,63,84}
{48,54,66,84}

这六组是什么公式呢？

王守恩

wayne 发表于 2021-5-6 16:22
我穷举了下C(89,4)=2441626种情况，发现只有51个解，不包括$x=y$：

小结。
题目：正整数 a < x ≤ y < b ≤ 90 ，满足\(\D\frac{\sin(a^\circ)\sin(b^\circ)}{\sin(x^\circ)\sin(y^\circ)}=1\) 的不同算式有几个？
感谢 mathematica！感谢 mathe！感谢 sheng_jianguo！感谢 wayne！
可以有 56 个算式。
        a,   x,   y,   b,
01：01, 02, 30, 89,
02：02, 04, 30, 88,
03：03, 06, 30, 87,
04：04, 08, 30, 86,
05：05, 10, 30, 85,
06：06, 12, 30, 84,
07：07, 14, 30, 83,
08：08, 16, 30, 82,
09：09, 18, 30, 81,
10：10, 20, 30, 80,
11：11, 22, 30, 79,
12：12, 24, 30, 78,
13：13, 26, 30, 77,
14：14, 28, 30, 76,
15：15, 30, 30, 75,
16：16, 30, 32, 74,
17：17, 30, 34, 73,
18：18, 30, 36, 72,
19：19, 30, 38, 71,
20：20, 30, 40, 70,
21：21, 30, 42, 69,
22：22, 30, 44, 68,
23：23, 30, 46, 67,
24：24, 30, 48, 66,
25：25, 30, 50, 65,
26：26, 30, 52, 64,
27：27, 30, 54, 63,
28：28, 30, 56, 62,
29：29, 30, 58, 61,
   ：30, 30, 60, 60,
30：30, 31, 59, 62,
31：30, 32, 58, 64,
32：30, 33, 57, 66,
33：30, 34, 56, 68,
34：30, 35, 55, 70,
35：30, 36, 54, 72,
36：30, 37, 53, 74,
37：30, 38, 52, 76,
38：30, 39, 51, 78,
39：30, 40, 50, 80,
40：30, 41, 49, 82,
41：30, 42, 48, 84,
42：30, 43, 47, 86,
43：30, 44, 46, 88,
44：30, 45, 45, 90,

45：06, 12, 24, 54,
46：06, 18, 18, 66,
47：09, 12, 48, 81,
48：12, 18, 30, 48,
49：12, 18, 42, 84,
50：15, 18, 54, 75,
   ：15, 30, 30, 75,
51：18, 24, 48, 78,
52：18, 30, 30, 54,
53：24, 27, 63, 84,
54：24, 30, 54, 84,
   ：30, 45, 45, 90,
55：42, 54, 54, 78,
56：48, 54, 66, 84,

前面44个有规律：\(\D\frac{\sin(x)\sin(\pi/2-x)}{\sin(2x)\sin(\pi/2)}=1\)
后面的好像没有规律？

  如何利用这 56 个算式，譬如：从这 56 个算式到 8 楼，
01：01, 02, 30, 89,\(\Rightarrow\)001：01, 28, 091, 02, 28, 30,
29：29, 30, 58, 61,\(\Rightarrow\)002：01, 29, 061, 01, 30, 58,
01：01, 02, 30, 89,\(\Rightarrow\)003：01, 29, 089, 02, 29, 30,
52：18, 30, 30, 54,\(\Rightarrow\)123：18, 24, 054, 24, 30, 30,
  如何利用这 56 个算式到 4 楼,...

northwolves

$ \frac{sin(x)sin(90-x)}{sin(2x)sin(30)},x\in[1,14]$

$ \frac{sin(x)sin(90-x)}{sin(30)sin(2x)},x\in[16,29]$

$ \frac{sin(30)sin(2x)}{sin(x)sin(90-x)},x\in[31,44]$

wayne

至于要找规律。因为$\sin (a) \sin (b)-\sin (x) \sin (y) = \cos (a-b)-\cos (a+b)-\cos (x-y)+\cos (x+y) = 0$ , 形式是四个数的余弦，要让余弦和为0，我们容易联想到形式 $\sum _{k=1}^n \cos (\frac{2k \pi }{n}) = 0$
于是，我们开始往这个形式拼凑。${\pi-a-b, b-a,\pi-x-y,y-x}$这四个数在$[0,2\pi]$里,准确的说是分别取模为 $0,90,180,270$

mathe

wayne转化为4个余弦之和为0以后，我们还可以把每个余弦转化为一对共轭单位复数的和的一半，于是转化为最多8个有理角度的单位向量的和为0的情况分析。
于是我们可以借用正多边形对角线交点分析的文章的结论:http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf
可能的选项有
(R7:R3)
(R5:3R3)
(R5:R3)+R2
R5+R3
R3+R3+R2
R2+R2+R2+R2

比如R7:R3，我们可以选择7个单位根$\exp(\frac{2k\pi i}7), k=0,1,2,3,4,5,6$和3个单位根的相反数$-\exp(\frac{2k\pi i}3), k=0,1,2$, 然后将双方的1和-1抵消，余下8个单位向量和可以为零，而且分成两组共轭的单位向量。只是这组结果其中有7次单位根，不符合整数角度的条件

mathe

如果我们查看R5:3R3, 为了保持单位向量的共轭性，3个R3中一个必须抵消R5中的1（自共轭），另外两个只能抵消R5中两个共轭的单位根。
如果$exp(\pm\frac{2\pi i}5)$被抵消，那么需要留下$exp(\pm\frac{4\pi i}5)$，并且产生$-exp(\pm\frac{2\pi i}5\pm\frac{2\pi i}3)$,而抵消1又产生$-exp(\pm\frac{2\pi i}3)$
所以得到8个共轭单位根$exp(\pm\frac{4\pi i}5), -exp(\pm\frac{2\pi i}5\pm\frac{2\pi i}3),-exp(\pm\frac{2\pi i}3) $,这个应该可以得出一组特殊解。另外类似抵消$exp(\pm\frac{4\pi i}5)$而留下$exp(\pm\frac{2\pi i}5)$也会产生一组可能的候选解

而对于(R5:R3)+R2，为了保持共轭性，其中R2只能代表$\pm i$, (R5:R3)同样只能抵消实数1,所以只能最多得到一组解。
而R3+R5对应使用两个1的情况（或者旋转180度对应两个-1？）也就是少数解。

但是R3+R3+R2中R2只能$\pm i$，但是两个R3可以相互共轭，而它们各自的起始角度就可以任意选择，所以如果可以对应无限组有理角度解（当然如果限定整数角度，会有限组）。
最后R2+R2+R2+R2也可以相互共轭，有无数组选择

northwolves

$\frac{\sin(6^\circ)\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(54^\circ)}{\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(12^\circ)\sin(24^\circ)}=1$

$\frac{\sin(6^\circ)\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(84^\circ)}{\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(12^\circ)\sin(30^\circ)}=1$

mathe

R3+R3+R2的情况说明
$a+b, a-b+pi, x-y+pi, x+y$分别为$pi/2, u, u+{2\pi}/3, u-{2\pi}/3$
其中$u, u+{2\pi}/3, u-{2\pi}/3$中必有两个属于$a+b, a-b+pi$或$x-y+pi, x+y$,所以它们之差${2\pi}/3$等于$pi-2y$或$pi-2b$，也就是得出一个角为$\frac{\pi}6$，正好是b或y是30°

王守恩

northwolves 发表于 2021-5-7 15:55
$\frac{\sin(6^\circ)\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(54^\circ)}{\sin(10^\circ)\sin(11^\circ)\sin(12^ ...

3楼的方法还是不能丢，譬如：
\(\D\frac{\sin(30^\circ)\sin(64^\circ)\ }{\sin(32^\circ)\sin(58^\circ)\ }=\frac{(\sin(15^\circ)\sin(75^\circ))\sin(64^\circ)\ \ }{(\sin(16^\circ)\sin(74^\circ))\sin(58^\circ)\ \ }=\frac{\sin(30^\circ)(\sin(32^\circ)\sin(58^\circ))\ \ }{\sin(32^\circ)(\sin(29^\circ)\sin(61^\circ))\ \ }=\frac{\sin(15^\circ)\sin(75^\circ)\sin(32^\circ)\sin(58^\circ)\ \ \ }{\sin(16^\circ)\sin(74^\circ)\sin(29^\circ)\sin(61^\circ)\ \ \ }=\frac{\sin(15^\circ)\sin(75^\circ)\sin(16^\circ)\sin(74^\circ)\sin(58^\circ)\ \ \ \  }{\sin(8^\circ)\sin(82^\circ)\sin(74^\circ)\sin(29^\circ)\sin(61^\circ)\ \ \ \  }\)