一个困难的几何问题

数学星空

若平面上有一点P与三角形ABC,P到ABC三边的垂足分别为D,E,F,试问满足:
PA+PB+PC=PD*PE*PF点P对任意三角形是否一定存在?若存在,则有哪些性质?

wayne

量纲不一致，
感觉这题有点随意

数学星空

呵呵,这个不是不等式极值问题哟,所以不存在量纲问题...
当然,这个问题的几何意义并不清楚,可以说有些随意.
只是觉得针对这类问题没有头绪,更没有突破口

数学星空

若觉得1#没有多大意义可以研究下面问题:
若平面上有一点P与三角形ABC,P到ABC三边的垂足分别为D,E,F,试求$f(P)={PD}/{PA}+{PE}/{PB}+{PF}/{PC} $ 的极值?
(若能用三边长a,b,c来表示极值那将更精确,或许有了很多这方面的资料,也许我不知道罢了.
据我所知,中国不等式小组有专门研究此类问题的专家,但极值都是由R,r,S来表示的)

wayne

想到了我很早以前做过的一个题，是一个定理。
Google了一下，果然
http://mathworld.wolfram.com/Erdos-MordellTheorem.html

wayne

呵呵,这个不是不等式极值问题哟,所以不存在量纲问题...
当然,这个问题的几何意义并不清楚,可以说有些随意.
只是觉得针对这类问题没有头绪,更没有突破口
数学星空 发表于 2009-9-25 13:58

“几何意义不清楚”的根根源在于量纲不一致。
你要想对应到几何意义，一定要先克服一个问题，怎么才能让 一个长度 等于一个 体积。

当然了，你要这么出题，说一个长度的数值等于体积的数值的三倍，我也没话可说。

这种情况，跟论坛里的
“陈计的一道代数不等式”
如出一辙

数学星空

为了达到量纲一致性,现讨论如下问题:
若平面上有一点P与三角形ABC,P到ABC三边的垂足分别为D,E,F,试问满足:
PA*PB*PC=8*PD*PE*PF点P对任意三角形是否一定存在?是唯一的吗?
注:显然,当ABC为正三角形,P为重心(垂心或内心)时,只有唯一一个点.

wiley

Wayne所引的Erdos-Mordell theorem网页上的另一个不等式:

$PA\times PB\times PC \ge (PD+PE)\times(PE+PF)\times(PF+PD) \ge (2\sqrt{PD\times PE})(2\sqrt{PE\times PF})(2\sqrt{PF\times PD})=8PD\times PE\times PF$

Mordell在他的文章里证明了

$PA\times PB\times PC \ge (8\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2))^{-1}(PD+PE)\times(PE+PF)\times(PF+PD) $

所以等号在AB=BC=CA, PD=PE=PF时取到.  你举的例子是唯一满足等式的情况.

数学星空

若平面上有一点P与三角形ABC,P到ABC三边的垂足分别为D,E,F,满足:
PA*PB*PC=K*PD*PE*PF,试讨论当K>8时,P点是否一定存在且唯一?
进一步对已知三角形ABC(已知三边长为a,b,c),P点的坐标是什么?

creasson