六心共曲线

mathe

给定一个三角形重心，顶点和重心连线和对边交点可以将三角形划分成6个小三角形，那么这六个小三角形的重心在一条圆锥曲线上。由于重心是仿射不变量，我们只要通过将三角形仿射为正三角形就可以轻易证明上面的结论。
但是现在我们如果分别将重心换成外心，内心，结论好像也都成立，比如下图是外心的情况:

如上图，O是三角形ABC的外心，AO, BO, CO分别交直线BC,CA,AB于D,E,F点。
三角形AFO,BFO,BDO,CDO,CEO,AEO的外心分别为点G,H,I,J,K,L.
那么G,H,I,J,K,L六点在一条圆锥曲线上。

mathe

发现外心情况也很容易证明，对边平行

hujunhua

Geogebra有一个命令TriangleCenter(<Point>,<Point>,<Point>,<number>), 可以直接作出三角形的各种中心。
我把 number设为一个增量为1的滑动条，作图验证了number=1~100的情况，结果：
只有number=3时，O不必是相应的心，为任意点都行。
number=1,2,3,4分别为内心、重心、外心、垂心。

对于O为相应的心，除了number=1,2,3可以，貌似number=10也行，但不知这是个什么心。
number=10只是目测貌似，用IsInRegion()判定时，有显示False的点。
number=13十分接近，高度疑似，但应该不是，在三角形很钝的情况下有一点不易察觉的偏离。用IsInRegion()判定时，很容易显示False。

1. A=(,)
   
2. B=(,)
   
3. C=(,)
   
4. sn=Slider(1,100,1)
   
5. P=TriangleCenter(A,B,C,sn)
   
6. a=Segment(B,C)
   
7. b=Segment(C,A)
   
8. c=Segment(A,B)
   
9. D=Intersect(a,Line(A,P))
   
10. E=Intersect(b,Line(B,P))
    
11. F=Intersect(c,Line(C,P))
    
12. G=TriangleCenter(P,A,E,sn)
    
13. H=TriangleCenter(P,A,F,sn)
    
14. I=TriangleCenter(P,B,F,sn)
    
15. J=TriangleCenter(P,B,D,sn)
    
16. K=TriangleCenter(P,C,D,sn)
    
17. L=TriangleCenter(P,C,E,sn)
    
18. conic5=Conic(G,H,I,J,K)
    
19. tf=IsInRegion(L,conic5)

复制代码

hujunhua

上面的作图命令得一行行地拷贝，要是Geogebra能够整段地拷贝代码就好了。

mathe

关于内心的问题，如果我们过三角形ABC顶点做对应角平分线的垂线（或者说做外角平分线), 那么我们就可以得出一些列调和共轭的线束，
然后就可以通过射影变换将三角形ABC变换为正三角形，其内心变换为中心O

如上图正三角形ABC和中心O,有$/_HCO=/_ICO, /_HEO=/_GEO$等等,而且IOL, HOK等三点共线
那么在此条件下，六点G,H,I,J,K,L六点共圆锥曲线。
但是上面的图中一大批等角，并不适合通过计算来证明。
我们可以进一步把O,E,C,D映射为正方形，得到下图:

有O(0,0),D(1,0),C(1,1),E(0,1), B'(0,2),C'(2,2), A'(2,0)
HOK, GOJ,LOI都三点共线。
$/_GEO=/_HEO, /_HCO=/_OCI, /_IDO=/_ODJ$（即GE,HE斜率互为相反数， HC,CI斜率互为倒数, ID和DJ斜率互为相反数）
过J和K的垂直方向直线关于EO,CD调和共轭（即它们的横坐标调和共轭，$\frac{x_J-x_E}{x_K-x_E}=-\frac{x_J-x_C}{x_K-x_C}$）
过G和L的水平方向直线关于OD,EC调和共轭(即它们的纵坐标调和共轭，$\frac{y_G-y_O}{y_L-y_O}=-\frac{y_G-y_E}{y_L-y_E}$）
那么如果L和K到CO距离相等而且分布在CO两侧，必然有G,H,I,J,K,L六点共圆锥曲线。这个计算量看起来可能还行。
@数学星空

mathe

发现楼上结论好像还可以推广到更一般的情况，这时证明就更加困难了
如下图，蓝色圆O及其外接六边形ABCDEF,三条主对角线AD,BE,EF交于圆心O.
点G,H,I,J,K,L满足$/_GCO=/_OCH, /_HDO=/_ODI, /_IEO=/_JEO, /_JFO=/_KFO, /_KAO=/_LAO,/_LBO=/_OBG$
而且KOH, LOI, GOJ都三点共线。
于是GHIJKL六点经过公共的圆锥曲线。

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2021-5-25 07:28 上传

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对应ggb文件中，可以任意拖动点H,C,F等，使得保持红色实线和虚线重叠，绿色椭圆就会经过L,但是不保持共线，L就会离开绿色椭圆。

mathe

还有对偶情况的图，如下图

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2021-5-25 12:08 上传

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圆Z的内接六边形ABCDEF对边平行。
对边平行的另外一个六边形STUVWX和ABCDEF对应边依次
相交于点GHIJKLMNOPQR,而且满足
AG=HB,BI=JC,CK=LD,DM=NE,EO=PF,FQ=RA。
求证:SV,TW,XU三线共点于某个点Y。

mathe

楼上对偶图和6#还不完全等价，需要放宽条件，既两六边形对边平行需要修改为它们对边交点共六点共线

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2021-5-25 21:06 上传

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creasson

mathe 发表于 2021-5-25 07:33
发现楼上结论好像还可以推广到更一般的情况，这时证明就更加困难了
如下图，蓝色圆O及其外接六边形ABCDEF, ...

计算表明结论的确是成立的。
共圆锥曲线证明.cdf (144.04 KB, 下载次数: 17)

2021-5-25 22:06 上传

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不过化简还没找到合适的路线。

mathe

验证了6#的情况？这个计算量应该很大