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[讨论] 六心共曲线

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发表于 2021-5-22 11:40:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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给定一个三角形重心,顶点和重心连线和对边交点可以将三角形划分成6个小三角形,那么这六个小三角形的重心在一条圆锥曲线上。由于重心是仿射不变量,我们只要通过将三角形仿射为正三角形就可以轻易证明上面的结论。
但是现在我们如果分别将重心换成外心,内心,结论好像也都成立,比如下图是外心的情况:
6ic.png
如上图,O是三角形ABC的外心,AO, BO, CO分别交直线BC,CA,AB于D,E,F点。
三角形AFO,BFO,BDO,CDO,CEO,AEO的外心分别为点G,H,I,J,K,L.
那么G,H,I,J,K,L六点在一条圆锥曲线上。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-5-22 12:08:11 | 显示全部楼层
发现外心情况也很容易证明,对边平行

点评

是的,但是内心的情况就不行了  发表于 2021-5-23 09:46
所以O并不需要是外心,任意点都行。  发表于 2021-5-23 09:35
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发表于 2021-5-23 11:15:07 | 显示全部楼层
Geogebra有一个命令TriangleCenter(<Point>,<Point>,<Point>,<number>), 可以直接作出三角形的各种中心。
我把 number设为一个增量为1的滑动条,作图验证了number=1~100的情况,结果:
只有number=3时,O不必是相应的心,为任意点都行。
number=1,2,3,4分别为内心、重心、外心、垂心。

对于O为相应的心,除了number=1,2,3可以,貌似number=10也行,但不知这是个什么心。
number=10只是目测貌似,用IsInRegion()判定时,有显示False的点。
number=13十分接近,高度疑似,但应该不是,在三角形很钝的情况下有一点不易察觉的偏离。用IsInRegion()判定时,很容易显示False。
  1. A=(,)
  2. B=(,)
  3. C=(,)
  4. sn=Slider(1,100,1)
  5. P=TriangleCenter(A,B,C,sn)
  6. a=Segment(B,C)
  7. b=Segment(C,A)
  8. c=Segment(A,B)
  9. D=Intersect(a,Line(A,P))
  10. E=Intersect(b,Line(B,P))
  11. F=Intersect(c,Line(C,P))
  12. G=TriangleCenter(P,A,E,sn)
  13. H=TriangleCenter(P,A,F,sn)
  14. I=TriangleCenter(P,B,F,sn)
  15. J=TriangleCenter(P,B,D,sn)
  16. K=TriangleCenter(P,C,D,sn)
  17. L=TriangleCenter(P,C,E,sn)
  18. conic5=Conic(G,H,I,J,K)
  19. tf=IsInRegion(L,conic5)
复制代码

点评

主要是成立的情况下面,L在曲线上,由于计算误差,可能会被判断在区域内部,也可能被判断为区域外部。  发表于 2021-5-23 20:00
@mathe 是的,内部。有内就有外,所以足够用于判断。  发表于 2021-5-23 17:24
IsInRegion代表在曲线内部?如果在曲线上面,数值计算是很容易产生误差的  发表于 2021-5-23 17:15

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发表于 2021-5-23 17:35:15 | 显示全部楼层
上面的作图命令得一行行地拷贝,要是Geogebra能够整段地拷贝代码就好了。
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 楼主| 发表于 2021-5-24 16:59:23 | 显示全部楼层
关于内心的问题,如果我们过三角形ABC顶点做对应角平分线的垂线(或者说做外角平分线), 那么我们就可以得出一些列调和共轭的线束,
然后就可以通过射影变换将三角形ABC变换为正三角形,其内心变换为中心O
t.png
如上图正三角形ABC和中心O,有$/_HCO=/_ICO, /_HEO=/_GEO$等等,而且IOL, HOK等三点共线
那么在此条件下,六点G,H,I,J,K,L六点共圆锥曲线。
但是上面的图中一大批等角,并不适合通过计算来证明。
我们可以进一步把O,E,C,D映射为正方形,得到下图:
t2.png
有O(0,0),D(1,0),C(1,1),E(0,1), B'(0,2),C'(2,2), A'(2,0)
HOK, GOJ,LOI都三点共线。
$/_GEO=/_HEO, /_HCO=/_OCI, /_IDO=/_ODJ$(即GE,HE斜率互为相反数, HC,CI斜率互为倒数, ID和DJ斜率互为相反数)
过J和K的垂直方向直线关于EO,CD调和共轭(即它们的横坐标调和共轭,$\frac{x_J-x_E}{x_K-x_E}=-\frac{x_J-x_C}{x_K-x_C}$)
过G和L的水平方向直线关于OD,EC调和共轭(即它们的纵坐标调和共轭,$\frac{y_G-y_O}{y_L-y_O}=-\frac{y_G-y_E}{y_L-y_E}$)
那么如果L和K到CO距离相等而且分布在CO两侧,必然有G,H,I,J,K,L六点共圆锥曲线。这个计算量看起来可能还行。
@数学星空
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 楼主| 发表于 2021-5-25 07:33:13 | 显示全部楼层
发现楼上结论好像还可以推广到更一般的情况,这时证明就更加困难了
如下图,蓝色圆O及其外接六边形ABCDEF,三条主对角线AD,BE,EF交于圆心O.
点G,H,I,J,K,L满足$/_GCO=/_OCH, /_HDO=/_ODI, /_IEO=/_JEO, /_JFO=/_KFO, /_KAO=/_LAO,/_LBO=/_OBG$
而且KOH, LOI, GOJ都三点共线。
于是GHIJKL六点经过公共的圆锥曲线。
6ic.png
6.ggb (52.17 KB, 下载次数: 2)
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 楼主| 发表于 2021-5-25 12:08:13 | 显示全部楼层
还有对偶情况的图,如下图
6p.png
6p.ggb (47.67 KB, 下载次数: 0)
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 楼主| 发表于 2021-5-25 14:18:11 来自手机 | 显示全部楼层
楼上对偶图和6#还不完全等价,需要放宽条件,既两六边形对边平行需要修改为它们对边交点共六点共线
6s.png
6s.ggb (75.13 KB, 下载次数: 0)
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发表于 2021-5-25 22:08:02 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-5-25 07:33
发现楼上结论好像还可以推广到更一般的情况,这时证明就更加困难了
如下图,蓝色圆O及其外接六边形ABCDEF, ...

计算表明结论的确是成立的。
共圆锥曲线证明.cdf (144.04 KB, 下载次数: 14)
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 楼主| 发表于 2021-5-25 22:40:36 | 显示全部楼层
验证了6#的情况?这个计算量应该很大
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