(中考题）求边BC的长

mathematica

如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB=EA,
∠A=2∠CBE,
CD垂直于BE的延长线于点D,
BD=8, AC=11,则边BC的长为

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*假设∠CBD=a，EA=EB=x，利用正弦定理 勾股定理 余弦定理列方程组解决问题*)
   
3. ans=Solve[{x/Sin[5*a]==(11-x)/Sin[a],(*△BCE正弦定理*)
   
4.           (8-x)^2+(8*Tan[a])^2==(11-x)^2,(*△CDE勾股定理*)
   
5.           BC^2==x^2+(11-x)^2-2*x*(11-x)*Cos[4*a],(*△BCE余弦定理*)
   
6.           BC>0&&0<a<Pi/4&&0<x<=8(*限制变量范围*)
   
7.           },{x,a,BC}]
   

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越来越堕落，只会使用方程思想。

求解结果
\[\left\{\left\{x\to \frac{41}{6},a\to -2 \tan ^{-1}\left(2-\sqrt{5}\right),\text{BC}\to 4 \sqrt{5}\right\}\right\}\]

wangzhaoyu2

延长BD，平行，等腰三角形，勾股定理。
CB=CB'=sqrt(8^2+4^2)

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*假设D(0,0),B(0,8)建立坐标系*)
   
3. kk=(2*k)/(1-k^2)(*直线BC倾角的两倍*)
   
4. k1=k (*直线BC的斜率*)
   
5. k2=1/kk (*直线AB的斜率*)
   
6. k3=1/(2*kk/(1-kk^2))//FullSimplify (*直线AC的斜率*)
   
7. (*定义三条直线*)
   
8. f1[x_,y_]:=k1*x+8-y (*直线BC的方程*)
   
9. f2[x_,y_]:=k2*x+8-y (*直线AB的方程*)
   
10. f3[x_,y_]:=k3*x+b3-y (*直线AC的方程*)
    
11. ans=Solve[{
    
12.     f2[xa,ya]==0,(*A(xa,ya)在直线AB上*)
    
13.     f3[xa,ya]==0,(*A(xa,ya)在直线AC上*)
    
14.     f3[xc,0]==0,(*C点在AC直线上*)
    
15.     f1[xc,0]==0,(*C点在BC直线上*)
    
16.     (xa-xc)^2+(ya-0)^2==11^2,(*AC=11*)
    
17.     BC==Sqrt[8^2+xc^2](*求BC长度*)
    
18. },{k,b3,xa,ya,xc,BC}]//FullSimplify
    
19. Grid[ans,Alignment->Left]
    

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解析几何的办法求解问题，求解结果：
\[\begin{array}{llllll}
k\to \frac{2}{\sqrt{23}} & \text{b3}\to -\frac{7}{38} & \text{xa}\to -\frac{1}{729} \left(1244 \sqrt{23}\right) & \text{ya}\to -\frac{77}{729} & \text{xc}\to -4 \sqrt{23} & \text{BC}\to 12 \sqrt{3} \\
k\to -\frac{2}{\sqrt{23}} & \text{b3}\to -\frac{7}{38} & \text{xa}\to \frac{1244 \sqrt{23}}{729} & \text{ya}\to -\frac{77}{729} & \text{xc}\to 4 \sqrt{23} & \text{BC}\to 12 \sqrt{3} \\
k\to -2 & \text{b3}\to \frac{7}{6} & \text{xa}\to -\frac{164}{25} & \text{ya}\to \frac{77}{25} & \text{xc}\to 4 & \text{BC}\to 4 \sqrt{5} \\
k\to 2 & \text{b3}\to \frac{7}{6} & \text{xa}\to \frac{164}{25} & \text{ya}\to \frac{77}{25} & \text{xc}\to -4 & \text{BC}\to 4 \sqrt{5} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llllll}
k\to 0.417029 & \text{b3}\to -0.184211 & \text{xa}\to -8.18383 & \text{ya}\to -0.105624 & \text{xc}\to -19.1833 & \text{BC}\to 20.7846 \\
k\to -0.417029 & \text{b3}\to -0.184211 & \text{xa}\to 8.18383 & \text{ya}\to -0.105624 & \text{xc}\to 19.1833 & \text{BC}\to 20.7846 \\
k\to -2. & \text{b3}\to 1.16667 & \text{xa}\to -6.56 & \text{ya}\to 3.08 & \text{xc}\to 4. & \text{BC}\to 8.94427 \\
k\to 2. & \text{b3}\to 1.16667 & \text{xa}\to 6.56 & \text{ya}\to 3.08 & \text{xc}\to -4. & \text{BC}\to 8.94427 \\
\end{array}\]

王守恩

mathematica 发表于 2021-6-2 16:19
越来越堕落，只会使用方程思想。

求解结果

方程思想没错，就是恨你进步太慢。

\(\D\frac{BC}{\sin(\pi/2)}=\frac{8}{\cos(\theta)}\ \ \ \ \ \ \frac{BC}{\sin(2\theta)}=\frac{11}{\sin(3\theta)}\)

Solve[{BC/Sin[Pi/2]=8/Cos[a], BC/Sin[2a]=11/Sin[3a],Pi/2>a>0},{BC,a}]

在三角形BCE，使用正弦定理。
\(\D\frac{x+3}{\sin(\theta)}=\frac{8-x}{\sin(5\theta)}=\frac{\sqrt{73+6x}}{\sin(4\theta)}\)

在三角形ABC，使用正弦定理。
\(\D\frac{2x\cos(2\theta)}{\sin(5\theta)}=\frac{11}{\sin(3\theta)}=\frac{\sqrt{121-6x}}{\sin(2\theta)}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-6-3 08:53
方程思想没错，就是恨你进步太慢。

\(\D\frac{BC}{\sin(\pi/2)}=\frac{8}{\cos(\theta)}\ \ \ \ \ \ \ ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[{
   
3.     BC*Cos[a]==8,(*△BCD*)
   
4.     BC/Sin[2*a]==11/Sin[3*a],(*△ABC中使用正弦定理*)
   
5.     TanA==Tan[a],(*计算正切*)
   
6.     0<a<Pi/2
   
7. },{BC,a,TanA}]//FullSimplify
   

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求解结果
\[\left\{\left\{\text{BC}\to 4 \sqrt{5},a\to -2 \tan ^{-1}\left(2-\sqrt{5}\right),\text{TanA}\to \frac{1}{2}\right\}\right\}\]

帮你把你的解答mathematica化，这样你的结果才是完整的。
@王守恩

wangzhaoyu2

王守恩 发表于 2021-6-3 08:53
方程思想没错，就是恨你进步太慢。

\(\D\frac{BC}{\sin(\pi/2)}=\frac{8}{\cos(\theta)}\ \ \ \ \ \ \ ...

wangzhaoyu2

mathematica 发表于 2021-6-2 23:04
你怎么想到的？对着我的答案然后想到的？？？

和你前几天的那个题目应该是一摸一样的呢，只不过转了一个小弯。3倍角，二倍角之类的，估计有解题定式。

mathematica

wangzhaoyu2 发表于 2021-6-3 09:38
和你前几天的那个题目应该是一摸一样的呢，只不过转了一个小弯。3倍角，二倍角之类的，估计有解题定式。

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 269&fromuid=865

你说的是这个思路吗？

mathematica

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