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[转载] 中考题:已知圆O的半径为2,A为圆内一定点,AO=1.P为圆上一动点,以AP为边作等腰△AP...

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发表于 2021-6-9 08:22:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知圆O的半径为2,A为圆内一定点,AO=1.P为圆上一动点,以AP为边作等腰△APG,AP=PG,∠APG=120°,OG的最大值为()


奇怪,现在中考题都这么难了吗?反正我不知道怎么做!
QQ截图20210609081644.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-9 08:25:39 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. {x1,y1}=RotationMatrix[-120Degree].{0-x,1-y}+{x,y}(*利用向量旋转,求解出G点坐标*)
  3. ff=x1^2+y1^2//FullSimplify(*求解出OG^2*)
  4. f=ff+t*(x^2+y^2-4)(*拉格朗日乘子法目标函数*)
  5. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t}]//FullSimplify(*求解零点*)
  6. aaa=(Sqrt[ff]/.ans)//FullSimplify(*求解出极值*)
复制代码


G点坐标
\[\left\{\frac{3 x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} (1-y),\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y-1}{2}+y\right\}\]

OG^2
\[x \left(3 x+\sqrt{3}\right)+3 (y-1) y+1\]

拉格朗日乘子法目标函数
\[t \left(x^2+y^2-4\right)+x \left(3 x+\sqrt{3}\right)+3 (y-1) y+1\]

极值点
\[\left\{\left\{x\to -1,y\to \sqrt{3},t\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{3}-6\right)\right\},\left\{x\to 1,y\to -\sqrt{3},t\to -\frac{\sqrt{3}}{2}-3\right\}\right\}\]

极值
\[\left\{2 \sqrt{3}-1,2 \sqrt{3}+1\right\}\]
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-9 09:34:24 | 显示全部楼层
作点B为A绕O顺时针旋转120°,得到△OAP相似于△BAG,则BG/OP=BA/OA, 所以BG为定长,G在以B为圆心,BG为半径的圆上,最大值值为BG+BO

点评

还是微积分的思想比较自然  发表于 2021-6-9 10:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-9 10:13:22 | 显示全部楼层
yigo 发表于 2021-6-9 09:34
作点B为A绕O顺时针旋转120°,得到△OAP相似于△BAG,则BG/OP=BA/OA, 所以BG为定长,G在以B为圆心,BG为半径 ...

最最重要的是你的思路是怎么来的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-6-9 11:32:05 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-6-9 10:13
最最重要的是你的思路是怎么来的?

重要的是知道G是P关于A点旋转(固定角度)缩放(固定比例)后的点,所以G轨迹肯定还是圆,找到这个轨迹的圆心就好了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-6-9 12:02:41 | 显示全部楼层
yigo 发表于 2021-6-9 11:32
重要的是知道G是P关于A点旋转(固定角度)缩放(固定比例)后的点,所以G轨迹肯定还是圆,找到这个轨迹的 ...

看起来确实像一个圆!
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 楼主| 发表于 2021-6-9 13:05:13 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-6-9 08:25
G点坐标
\[\left\{\frac{3 x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} (1-y),\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y-1}{2}+y\ ...

G点轨迹方程:
\[\left(\text{xg}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\text{yg}+\frac{1}{2}\right)^2=\left(2 \sqrt{3}\right)^2\]

  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. {x1,y1}=RotationMatrix[-120Degree].{0-x,1-y}+{x,y}(*利用向量旋转,求解出G点坐标*)
  3. Eliminate[xg==x1&&yg==y1&&x^2+y^2==4,{x,y}](*(xg,yg)求解出轨迹表达式*)
  4. ff=x1^2+y1^2//FullSimplify(*求解出OG^2*)
  5. f=ff+t*(x^2+y^2-4)(*拉格朗日乘子法目标函数*)
  6. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t}]//FullSimplify(*求解零点*)
  7. aaa=(Sqrt[ff]/.ans)//FullSimplify(*求解出极值*)
复制代码


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-6-10 20:26:47 | 显示全部楼层
观察可知:OG 最大值满足托勒密定理。

\(\D OG=\frac{AO*PG+PO*AG}{AP}=\frac{1*x+2*\sqrt{3}x}{x}=1+2\sqrt{3}\)

点评

我感觉你的猜想很可能是正确的  发表于 2021-6-11 08:53
具体说说你的思路  发表于 2021-6-11 08:40
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 楼主| 发表于 2021-6-10 21:34:42 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-6-10 20:26
观察可知:OG 最大值满足托勒密定理。

\(\D OG=\frac{AO*PG+PO*AG}{AP}=\frac{1*x+2*\sqrt{3}x}{x}=1+2\ ...

你总是这么聪明,@hujunhua 他的猜测只是偶然的,还是具有必然性???

点评

驻点O,B,G共线,故A,O,P,G共圆,方有托勒密定理。  发表于 2021-6-11 07:02

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王守恩 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 一语道破天机!!!

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 楼主| 发表于 2021-6-11 08:36:33 | 显示全部楼层
@可以考虑再验算一个简单的。
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