中考题：已知圆O的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点,以AP为边作等腰△AP...

mathematica

已知圆O的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点,以AP为边作等腰△APG,AP=PG,∠APG=120°，OG的最大值为()


奇怪，现在中考题都这么难了吗？反正我不知道怎么做！

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {x1,y1}=RotationMatrix[-120Degree].{0-x,1-y}+{x,y}(*利用向量旋转，求解出G点坐标*)
   
3. ff=x1^2+y1^2//FullSimplify(*求解出OG^2*)
   
4. f=ff+t*(x^2+y^2-4)(*拉格朗日乘子法目标函数*)
   
5. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t}]//FullSimplify(*求解零点*)
   
6. aaa=(Sqrt[ff]/.ans)//FullSimplify(*求解出极值*)
   

复制代码

G点坐标
\[\left\{\frac{3 x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} (1-y),\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y-1}{2}+y\right\}\]

OG^2
\[x \left(3 x+\sqrt{3}\right)+3 (y-1) y+1\]

拉格朗日乘子法目标函数
\[t \left(x^2+y^2-4\right)+x \left(3 x+\sqrt{3}\right)+3 (y-1) y+1\]

极值点
\[\left\{\left\{x\to -1,y\to \sqrt{3},t\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{3}-6\right)\right\},\left\{x\to 1,y\to -\sqrt{3},t\to -\frac{\sqrt{3}}{2}-3\right\}\right\}\]

极值
\[\left\{2 \sqrt{3}-1,2 \sqrt{3}+1\right\}\]

yigo

作点B为A绕O顺时针旋转120°，得到△OAP相似于△BAG,则BG/OP=BA/OA, 所以BG为定长，G在以B为圆心，BG为半径的圆上，最大值值为BG+BO

mathematica

yigo 发表于 2021-6-9 09:34
作点B为A绕O顺时针旋转120°，得到△OAP相似于△BAG,则BG/OP=BA/OA, 所以BG为定长，G在以B为圆心，BG为半径 ...

最最重要的是你的思路是怎么来的？

yigo

mathematica 发表于 2021-6-9 10:13
最最重要的是你的思路是怎么来的？

重要的是知道G是P关于A点旋转（固定角度）缩放（固定比例）后的点，所以G轨迹肯定还是圆，找到这个轨迹的圆心就好了

mathematica

yigo 发表于 2021-6-9 11:32
重要的是知道G是P关于A点旋转（固定角度）缩放（固定比例）后的点，所以G轨迹肯定还是圆，找到这个轨迹的 ...

看起来确实像一个圆！

mathematica

mathematica 发表于 2021-6-9 08:25
G点坐标
\[\left\{\frac{3 x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} (1-y),\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y-1}{2}+y\ ...

G点轨迹方程:
\[\left(\text{xg}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\text{yg}+\frac{1}{2}\right)^2=\left(2 \sqrt{3}\right)^2\]

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. {x1,y1}=RotationMatrix[-120Degree].{0-x,1-y}+{x,y}(*利用向量旋转，求解出G点坐标*)
   
3. Eliminate[xg==x1&&yg==y1&&x^2+y^2==4,{x,y}](*(xg,yg)求解出轨迹表达式*)
   
4. ff=x1^2+y1^2//FullSimplify(*求解出OG^2*)
   
5. f=ff+t*(x^2+y^2-4)(*拉格朗日乘子法目标函数*)
   
6. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t}]//FullSimplify(*求解零点*)
   
7. aaa=(Sqrt[ff]/.ans)//FullSimplify(*求解出极值*)
   

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王守恩

观察可知：OG 最大值满足托勒密定理。

\(\D OG=\frac{AO*PG+PO*AG}{AP}=\frac{1*x+2*\sqrt{3}x}{x}=1+2\sqrt{3}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-6-10 20:26
观察可知：OG 最大值满足托勒密定理。

\(\D OG=\frac{AO*PG+PO*AG}{AP}=\frac{1*x+2*\sqrt{3}x}{x}=1+2\ ...

你总是这么聪明，@hujunhua 他的猜测只是偶然的，还是具有必然性？？？

mathematica

@可以考虑再验算一个简单的。