中考题：已知圆O的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点,以AP为边作等腰△AP...

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. a=2/3;
   
3. {x1,y1}=2*RotationMatrix[-135*Degree].{0-x,a-y}+{x,y}
   
4. ff=x1^2+y1^2//FullSimplify(*求解出OG^2*)
   
5. f=ff+t*(x^2+y^2-2^2)(*拉格朗日乘子法目标函数*)
   
6. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t}]//FullSimplify(*求解零点*)
   
7. bbb={x^2+y^2,x,y}/.ans[[2]]//FullSimplify;(*这是主动圆周上的点*)
   
8. bbb2={x1^2+y1^2,x1,y1}/.ans[[2]]//FullSimplify;(*这是从动的G点*)
   
9. ccc={{a^2,0,a},bbb,bbb2}
   
10. ddd=Det[ccc]//FullSimplify
    

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测试一下，看最后的行列式，我感觉是四点共圆，我感觉有必然性在里面！@hujunhua

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王守恩 发表于 2021-6-10 20:26
观察可知：OG 最大值满足托勒密定理。

\(\D OG=\frac{AO*PG+PO*AG}{AP}=\frac{1*x+2*\sqrt{3}x}{x}=1+2\ ...

数字相等的内角相等，其中∠2是构造出来的，所以相等，∠4由相似三角形相似得到对应内角相等，
由三角形的相似，容易证明数字相等的角相等，
所以可以证明∠AOP+∠AGP=∠2+∠5+∠1+∠4=180°，
所以AOPG四点共圆！

@hujunhua
@王守恩 你就是个大天才！这居然都被你发现了！