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[原创] 非随机正方形连棋

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发表于 2021-7-20 16:36:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这个游戏改编自《随机正方形连棋》:

https://bbs.emath.ac.cn/thread-1819-1-1.html

不同之处用红色标出了:

=======================
两人在$n*n$的正方形棋盘里下子。

双方的胜利条件都是将棋盘的对边用自己的棋子连起来。

其中一方连接上下两条边,棋子是四连通的(可以往上下左右四个方向相连),下图是四连通赢的一个例子:

w4.png

另一方连接左右两条边,棋子是八连通的(不仅上下左右,还可以往对角方向相连),下图是八连通赢的一个例子:

w8.png

每一步轮到谁下是完全确定的,具体规则如下:

八连通方每次只能下一个棋子,而四连通方有时可以一次下多个棋子,

双方的下子序列在任何时候都满足:

四连通方所下的棋子数所占的比例是最接近$p$的分数,$p$是游戏开始前双方约定好的一个大于$1/2$的常数。

例如,当$p=2/3$时,双方的下子序列如下:

○×○ ○×○ ○×○ ○×○ ○×○ ......
=======================

我们可以这样说:

$p$越大表明四连通方下子的机会越多,四连通方越容易赢;

$p$越小表明四连通方下子的机会越少,八连通方越容易赢。

链接里的《随机正方形连棋》每一步都需要抛硬币决定谁下(硬币抛出四连通方的概率$p$比八连通方的概率$(1-p)$大),输赢有很大的运气成分。

而本贴的非随机正方形连棋则完全不需要抛硬币,没有运气成分了,输赢全凭实力。

我们要解决的问题是:

当$p$的值取多少时,恰好是四连通方必胜与八连通方必胜的分界线?

#####

目前我已经证出$p=1/2$时,八连通方必胜;$p=2/3$时,四连通方必胜。

剩下的问题就是要在$(1/2,2/3)$区间里,找到更精准的分界线$p$。

当$n=1,2,3,4,5$时,准确的分界线$p$的值如下:

$1/2, 3/5, 4/7, 7/12, 11/19$。

当$n=6$时,单机单线程算了一个多月,还没算出最终结果。

根据已有的结果,我有较大的把握,认为这个分界线$p$是严格比《随机正方形连棋》的公平$p$值要小的。

例如,当$n=15$时,《随机正方形连棋》的公平$p$值约为$0.59$:

p15.png

但是非随机正方形连棋的$p$值即使只取$0.58$,对四连通方来说,也是太容易赢了。

为了验证上面这个论断,我编写了下面这个游戏:

P_Turn_Square.zip (124.06 KB, 下载次数: 2)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 前天 11:03 | 显示全部楼层
这个主题贴经过了一番修改,所以我顶一下,让更多坛友看到修改后的内容。
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