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发表于 2021-8-5 11:12:17
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本帖最后由 王守恩 于 2021-8-5 11:22 编辑
王守恩 发表于 2021-8-4 09:44
m=8时,公式⑦的合并\[\begin{split}
F(n,8)&=\left(\frac{- 48\lfloor n/8\rfloor^3 + 34\lfloor n/8\rfl ...
这题目不太好做。
先看一串数。
a(n)=Sum[EulerPhi[n/k]*(2 k)!/(2 n k! k!), {k, Divisors[n]}
{1, 2, 4, 10, 26, 80, 246, 810, 2704, 9252, 32066, 112720, 400024, 1432860,
5170604, 18784170, 68635478, 252088496, 930138522, 3446167860, 12815663844,
47820447028, 178987624514, 671825133648, 2528212128776, 9536895064400, 36054433810102}
譬如:第5个数=26,对应题目:在 1~5n 中任意取 5 个不同整数,使得这 5 个数之和能被 5 整除,有几种不同取法?
这26个数这样来找,可能会方便些(只要统计0就可以)。
\(5C_{n}^5\)={0,0,0,0,0}(本行有5个0,余同)
\(10C_{n}^3C_{n}^1C_{n}^1\)={0,0,0,1,4}+{0,0,0,2,3}+{0,1,1,1,2}+{0,1,3,3,3}+{0,2,2,2,4}+{0,3,4,4,4}(本行有10个0)
\(10C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^1\)={0,0,1,1,3}+{0,0,1,2,2}+{0,0,2,4,4}+{0,0,3,3,4}+{0,1,1,4,4}+{0,2,2,3,3}(本行有10个0)
\(1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)={0,1,2,3,4}(本行有1个0)
合计,\(5+10+10+1=26\)
\(a(n)=5C_{n}^5+10C_{n}^3C_{n}^1C_{n}^1+10C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^1+1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)
a(n)=1, 52, 603, 3104, 10630, 28506, 64932, 131608, 244359, 423760, 695761, 1092312, 1651988, 2420614, 3451890, ...
譬如:第6个数=80,对应题目:在 1~6n 中任意取 6 个不同整数,使得这 6 个数之和能被 6 整除,有几种不同取法?
这80个数这样来找,可能会方便些(只要统计0就可以)。
\(6C_{n}^6\)={0,0,0,0,0,0}(本行有6个0,余同)
\(6C_{n}^4C_{n}^2\)={0,0,0,0,3,3}+{0,0,3,3,3,3}(本行有6个0)
\(6C_{n}^3C_{n}^3\)={0,0,0,2,2,2}+{0,0,0,4,4,4}(本行有6个0)
\(12C_{n}^4C_{n}^1C_{n}^1\)={0,0,0,0,1,5}+{0,0,0,0,2,4}+{0,1,1,1,1,2}+{0,2,2,2,2,4}+{0,2,4,4,4,4,}+{0,4,5,5,5,5}
\(12C_{n}^3C_{n}^2C_{n}^1\)={0,0,0,1,1,4}+{0,0,0,2,5,5}+{0,0,1,1,1,3}+{0,0,3,5,5,5}+{0,2,2,2,3,3}+{0,3,3,4,4,4}
\(8C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^2\)={0,0,1,1,2,2}+{0,0,1,1,5,5}+{0,0,2,2,4,4}+{0,0,4,4,5,5}(本行有8个0)
\(12C_{n}^3C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)={000123}{000345}{011145}{012225}{012333}{012555}{014445}{033345}
\(12C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1\)={001335}{001344}{002334}{002235}{011244}{011335}{022355}{022455}
\(6C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)={0,0,1,2,4,5}+{0,1,1,2,3,5}+{0,1,2,2,3,4}+{0,1,3,4,5,5}+{0,2,3,4,4,5}
合计,\(6+6+6+12+12+8+12+12+6=80\)
\(a(n)=6C_{n}^6+6C_{n}^4C_{n}^2+6C_{n}^3C_{n}^3+12C_{n}^4C_{n}^1C_{n}^1+12C_{n}^3C_{n}^2C_{n}^1+8C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^2+12C_{n}^3C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1+12C_{n}^2C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1+6C_{n}^2C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1C_{n}^1\)
a(n)=0, 152, 3084, 22404, 98900, 324516, 874104, 2044952, 4304088, 8343360, 15142292, 26038716, 42807180, 67745132, 103766880, ...
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