给一道同射影几何和尺规作图都有关系的题目

mathe

平面上给定一线段， 请问如何只用单边直尺作出线段的中点。 （单边直尺就是说可以作出过任何两点的直线）

gxqcn

我记得曾有人在老“数学研发论坛”提到过“单用圆规作图”， 比如：单用圆规找出线段（这里的线段只告诉两点）的中点。 不知两者可有关系？

mathe

应该关系不是很大。 “单用圆规作图”的方法应该更复杂一些，可以证明“单用圆规作图”可以作出所有用“尺规作图”能够作出的"点"。 也就是说，只用圆规可以作出尺规作图所需要的任何图（除了图中的直线没有被画出来，但是像两条直线的交点之类的都可以作出）

zgg___

mathe这个问题的题目是非常贴切的。
这个问题我是这么捉摸的，先说结论吧：
1、对于给定线段，只用直尺，不能做出线段的中点，也不能做出其它给定比例的分割点；
2、对于给定线段，如果在其上或它的延长线上给定某个有理数的分割点，那么可以做出任意有理数分割点。比如说，如果已知某个3等分点，就可以将线段5等分。这里说的有理数点包括无穷远点，无穷远点表现为平行于给定线段的直线。
下面是一些猜测：
1、如果假设给定线段的端点是x轴的0和1，并给定某个代数数的点，比如说根号2，那么也许也存在做出有理数分割点的可能性。
2、或许给定一个非x轴上的有理点，也可以等分线段。
下面是一些心得，用问题来表述吧，呵呵：
1、那些图形有可能是一个正方形的影子（对于点光源）：A 五角星， B 任意四边形， C 任意凸四边形， D 其它。
2、mathe在铁轨上散步，突发感慨（或许是关于射影几何和摄影的），于是拍摄了一张铁轨的照片，照片上的铁轨汇聚到远方的地平线处，mathe发现铁轨上有一些标记，标记了0米、1米的点（有点象高速路上测距的牌子），另外，在距离Pi（圆周率）米的地方（距离0米的标记，是铁轨上的实际距离），有一朵花。mathe拿出尺子，这次是带刻度的，发现照片上0米的标记和1米的标记距离1厘米，发现0米的标记到铁轨消失的那点距离是e（自然对数）厘米，问：照片上那朵花到0米的标记距离是多少厘米？

下面暂时没有了，呵呵。

gxqcn

已知：线段AB 求作：仅用单边直尺作出线段AB的中点 作法：

• 任选直线AB外的一点E，过E作直线L//AB；（似乎有点问题，谁来修补下？）
• 连结AE并延长任意长度至点C；
• 连结BC交直线L于点F；
• 连结AF、BE交于点O；
• 连结CO并延长交线段AB于点D；

则点D即为所求的线段AB的中点。

zgg___

第一步中的平行线怎么做呢？ 在上面的帖子中说过：已知一条平行线，相当于已知无穷远点这个有理点。

mathe

对于这个问题的确切结论，我也记不清楚了。印象中过去在图书馆看过的射影几何的书中有些非常有意思的结论，应该是来解决一个非常类似的问题的。不过现在看来应该是不行，不然就可以解决尺规作图的所有问题

不过如果将单边直尺换成双边直尺（两边平行无限长），那么我们就很容易得出，所有尺规作图需要解决的问题都可以用双边直尺作出所有尺规作图可以作出的图（除了无法将圆直接画出来）

gxqcn

原来如此啊？我说怎么就无法修补5#第一步呢？

原帖由 mathe 于 2007-12-29 15:58 发表 可以证明“单用圆规作图”可以作出所有用“尺规作图”能够作出的"点"。...

现在，我很想知道如何“单用圆规找出线段（这里的线段只告诉两点）的中点”？

mathe

映象中是给定一个点和一个圆，可以只用圆规作出这个点关于圆的反演点（具体过程我记不住了，射影几何的书上可能也有）
然后对于任意线段，作出它的两倍的点是很简单的，然后两倍的点关于单倍距离为半径的圆做反演就可以找到中点了。
另外，给定四个点，求两个点连线的交点也可以通过反演变换来做。因为直线的反演是圆。只要作出反演后的圆的交点，在把这个交点做一次反演变换就可以得到两个线段的交点了。

northwolves

原帖由 gxqcn 于 2008-1-9 16:20 发表
原来如此啊？我说怎么就无法修补5#第一步呢？



现在，我很想知道如何“单用圆规找出线段（这里的线段只告诉两点）的中点”？

1.以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆相交于点D
2.以AB为半径，以B、D为圆心作圆相交于点E
3.以AB为半径，以B、E为圆心作圆相交于点C
4.分别以A、B为圆心，以AC为半径作圆相交于点D
5.分别以D、A、B为圆心，以AB为半径作圆.则⊙D分别切⊙A、⊙B于点E、点F
6.以AB为半径，分别以E、F为心作圆相交于点G
点G即为线段AB的中点.