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楼主: dlsh

[原创] 初中几何高手发现的巧妙结论

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发表于 2021-9-7 10:13:13 | 显示全部楼层
在球面三角形应该是成立的,这个等量关系是梅内劳斯定理的另一半。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-9-7 21:12:16 | 显示全部楼层
請問這個定理歷史上沒有人發現過嗎?類似的也沒有嗎?托勒密定理比這個還要簡單。

点评

在百度数学吧看到,作者自称是初中生,是否转自其它文献不清楚。  发表于 2021-9-7 22:07
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发表于 2021-9-7 21:19:25 | 显示全部楼层
各位老师,我是新手,长期灌水,还不会编辑公式,最近又要考证,也没时间,就把我的证法思路发出来大家参考。本题可把公式中的有向线段均用表示为点所对应复数的差(就像点几何那样),将所证明的等式改写成右边为0的复数形式;再把梅内劳斯定理也改成右边为0的复数等式形式。你们会发现两个等式是一模一样的。由于梅内劳斯定理的复数形式成立,所以待证明的等式复数形式也成立。又因为P、Q、R三点共线, 所以其向量点积形式也成立。斯图尔特定理也可以用这个方法来证明。这些公式为什么可以这么漂亮对称?也是因为他们都是代数恒等式的直接结果。
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发表于 2021-9-8 14:32:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 大漠孤烟 于 2021-9-8 14:33 编辑

屏幕快照 2021-09-08 上午11.43.58.png 仔细观察直线截三角形三边的构图,发现在三个顶角形成了三个小三角形,偶然发现了该有向线段等式可以转化为其他形式等价表示,如用有向角、有向面积。就是说,可以在小三角形中运用正弦定律,将有向线段等式转化为三角正弦的比值,再运用三角函数恒等式直接证明。

补充内容 (2021-9-11 20:32):
P、Q、R用有向角表示, 以截线为起始边,逆时针旋转至三角形三边正向,三边也是按逆时针取正方向

补充内容 (2021-9-11 21:01):
起始边方向都要相同,以防出错。需要用到的三角形恒等式是sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC(当然还有其他三角恒等式证法)。等式通分后在完全四线形的四个三角形中各用一次恒等式,积化和差后全消掉了。

点评

∠P、Q和R如何取值  发表于 2021-9-10 20:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-9-8 20:37:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-9-8 21:19 编辑

今天我也折腾出来了 “大漠孤烟” 网友在 6# 楼发布的有向线段恒等式,即楼主希望得到的 “统一的向量商” 公式。

向量恒等式.png

对于图 1,如果去掉各线段的向量符号,那么上式左边第三项前面要改成负号。现在以向量表示,那个负号就成了正号,这样公式就更优美了。

对于图 2,如果去掉各线段的向量符号,那么上式不成立。而改成向量表示,上式就仍然成立!

因此这个恒等式就是楼主想要的统一的“向量商”表达式。

证明如下。先按第 1 图证明:

按第一图证明.png

再按第 2 图证明:

按第二图证明.png

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 楼主| 发表于 2021-9-10 22:45:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2021-9-10 23:05 编辑

360截图20210910224720532.jpg
老朋友:
      十分感谢你发现了我想得到的结论,不过结论与主贴有距离。
\(假设e^{2i∠Q}=u,e^{2i∠QPA}=v,e^{2∠i QRC}=w,,对于上图,\frac{\overrightarrow{QA}}{{\overrightarrow{QP}}}\frac{\overrightarrow{QC}}{{\overrightarrow{QR}}}+\frac{\overrightarrow{PA}}{{\overrightarrow{PQ}}}\frac{\overrightarrow{PB}}{{\overrightarrow{PR}}}+\frac{\overrightarrow{RC}}{{\overrightarrow{RQ}}}\frac{\overrightarrow{BR}}{{\overrightarrow{PR}}}=1等价于\frac{QA}{QP}\frac{QC}{QR}u+\frac{PA}{PQ}\frac{PB}{PR}v+\frac{RC}{RQ}\frac{RB}{RP}w=1\)
如何利用你的发现推出原结论?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-9-11 18:02:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-11 18:28 编辑
mathe 发表于 2021-9-7 08:06
是过C做AB平行线交PQR于S.我前面弄错了,于是通过一批相似转化即可到三角形内部问题
$\frac{CQ^2}{QS\ti ...


谢谢 mathe!我来整理一下,不搞复杂,主帖((1),(2)是同一回事)实质还是斯图尔特定理。

1,求证:\(\D\frac{BR*RC}{QR*RP}+\frac{CQ*QA}{PQ*QR}-\frac{AP*PB}{RP*PQ}=1\ \ \ \ \ (1)\)

过C作AB的平行线,交RP于S。对应位置上的线段作交换(或不换)

\(\D\frac{BR*RC}{QR*RP}=\frac{CR*RC}{QR*RS}\)

\(\D\frac{CQ*QA}{PQ*QR}=\frac{CQ*QC}{SQ*QR}\)

\(\D\frac{AP*PB}{RP*PQ}=\frac{CS*SC}{RS*SQ}\)

\(\D(1)=\frac{CR*RC}{QR*RS}+\frac{CQ*QC}{SQ*QR}-\frac{CS*SC}{RS*SQ}=1\)   即斯图尔特定理

2,求证:\(\D\frac{BA*AP}{QA*AC}+\frac{PQ*QR}{CQ*QA}-\frac{RC*CB}{AC*CQ}=1\ \ \ \ \ (2)\)

过P作BR的平行线,交AC于S。对应位置上的线段作交换(或不换)

\(\D\frac{BA*AP}{QA*AC}=\frac{PA*AP}{QA*AS}\)

\(\D\frac{PQ*QR}{CQ*QA}=\frac{PQ*QP}{SQ*QA}\)

\(\D\frac{RC*CB}{AC*CQ}=\frac{PS*SP}{AS*SQ}\)

\(\D(2)=\frac{PA*AP}{QA*AS}+\frac{PQ*QP}{SQ*QA}-\frac{PS*SP}{AS*SQ}=1\)  即斯图尔特定理

注意字母的排列:中间 4 个字母相同,"+" ”-" 2 边字母相同,第 1 个与最后 1 个相同。
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 楼主| 发表于 2021-9-12 22:51:49 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-9-7 08:06
是过C做AB平行线交PQR于S.我前面弄错了,于是通过一批相似转化即可到三角形内部问题
$\frac{CQ^2}{QS\ti ...

原作者证明

原作者证明

原作者证明没有你的方法简明
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 楼主| 发表于 2021-9-14 22:54:31 | 显示全部楼层
主贴等价于
\(\frac{\overrightarrow{QA}\bullet\overrightarrow{QC}}{\overrightarrow{QP}\bullet\overrightarrow{QR}}+\frac{\overrightarrow{PA}\bullet\overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PQ}\bullet\overrightarrow{PR}}+\frac{\overrightarrow{RB}\bullet\overrightarrow{RC}}{\overrightarrow{RP}\bullet\overrightarrow{RQ}}=1\),这不算向量商。

点评

如果放在复平面,它与对应复数的比值相等。  发表于 2021-9-26 20:55
向量商的结论不是其对应的复数的比值,因为没有复平面,结论依然成立,不过,这种向量表示与主题有差异,应该可以推出主贴结论,但似乎并不显然。  发表于 2021-9-26 20:55
楼主的向量商是不是就是向量对应的复数的比值?如果是的话,那就是恒成立的,我在13#已经做了说明  发表于 2021-9-25 00:07
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发表于 2021-9-15 12:40:02 | 显示全部楼层
向量法应该可以证明,只是计算量会很大。

\(\overrightarrow{QA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{r}, \overrightarrow{QC}=u\overrightarrow{a},\overrightarrow{QP}=v\overrightarrow{r}\)
于是再设
\(\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{QA}+h\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{QR}+s\overrightarrow{RC}\)
得出
\(\overrightarrow{a}+h(v\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{r}+s(u\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r})\)
于是
\(s=\frac{1-v}{1-uv},h=\frac{1-u}{1-uv}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{QB}=\frac{u(1-v)\overrightarrow{a}+v(1-u)\overrightarrow{r}}{1-uv}\)

全部代入计算即可得到结果
\(\frac{u|\overrightarrow{a}|^2}{v|\overrightarrow{r}|^2}+\frac{(\overrightarrow{a}-v\overrightarrow{r})(\overrightarrow{b}-v\overrightarrow{r})}{(-v\overrightarrow{r})(\overrightarrow{r}-v\overrightarrow{r})}+\frac{(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r})(u\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r})}{(-\overrightarrow{r})(v\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r})}=1\)
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