第4串数是怎样的一串数？

mathe

? [c,d]=pv(3)
%17 = [[1, 2, 1, 0, 0], 4]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 2
4 4
5 4
6 2
7 2
8 4
9 4
10 2
11 2
12 4
13 4
14 2
15 2
16 4
17 4
18 2
19 2
20 4


? [c,d]=pv(5)
%19 = [[2, 6, 5, 0, -1, 0, 0], 12]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 6
4 12
5 12
6 6
7 6
8 12
9 12
10 6
11 6
12 12
13 12
14 6
15 6
16 12
17 12
18 6
19 6
20 12



? [c,d]=pv(7)
%21 = [[3, 12, 14, 0, -7, 0, 2, 0, 0], 24]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 12
4 24
5 24
6 12
7 12
8 24
9 24
10 12
11 12
12 24
13 24
14 12
15 12
16 24
17 24
18 12
19 12
20 24


? [c,d]=pv(9)
%23 = [[2, 10, 15, 0, -14, 0, 10, 0, -3, 0, 0], 20]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 10
4 20
5 20
6 10
7 10
8 20
9 20
10 10
11 10
12 20
13 20
14 10
15 10
16 20
17 20
18 10
19 10
20 20



? [c,d]=pv(11)
%25 = [[2, 12, 22, 0, -33, 0, 44, 0, -33, 0, 10, 0, 0], 24]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 12
4 24
5 24
6 12
7 12
8 24
9 24
10 12
11 12
12 24
13 24
14 12
15 12
16 24
17 24
18 12
19 12
20 24



? [c,d]=pv(13)
%27 = [[30, 210, 455, 0, -1001, 0, 2145, 0, -3003, 0, 2275, 0, -691, 0, 0], 420]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 210
4 420
5 420
6 210
7 210
8 420
9 420
10 210
11 210
12 420
13 420
14 210
15 210
16 420
17 420
18 210
19 210
20 420



? [c,d]=pv(15)
%29 = [[3, 24, 60, 0, -182, 0, 572, 0, -1287, 0, 1820, 0, -1382, 0, 420, 0, 0], 48]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 24
4 48
5 48
6 24
7 24
8 48
9 48
10 24
11 24
12 48
13 48
14 24
15 24
16 48
17 48
18 24
19 24
20 48



? [c,d]=pv(17)
%31 = [[10, 90, 255, 0, -1020, 0, 4420, 0, -14586, 0, 33150, 0, -46988, 0, 35700, 0, -10851, 0, 0], 180]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 90
4 180
5 180
6 90
7 90
8 180
9 180
10 90
11 90
12 180
13 180
14 90
15 90
16 180
17 180
18 90
19 90
20 180


? [c,d]=pv(19)
%33 = [[42, 420, 1330, 0, -6783, 0, 38760, 0, -176358, 0, 587860, 0, -1339158, 0, 1899240, 0, -1443183, 0, 438670, 0, 0], 840]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 420
4 840
5 840
6 420
7 420
8 840
9 840
10 420
11 420
12 840
13 840
14 420
15 420
16 840
17 840
18 420
19 420
20 840



? [c,d]=pv(21)
%35 = [[30, 330, 1155, 0, -7315, 0, 53295, 0, -319770, 0, 1469650, 0, -4910246, 0, 11191950, 0, -15875013, 0, 12063425, 0, -3666831, 0, 0], 660]
? for(u=3,20,findn(c,d,u))
3 330
4 660
5 660
6 330
7 330
8 660
9 660
10 330
11 330
12 660
13 660
14 330
15 330
16 660
17 660
18 330
19 330
20 660

mathe

的确对于k是奇数很特殊。我们同样记m=n+a, 那么对于奇数k必然有
$m|1^k+2^k+...+(m-a)^k$
由于对于奇数k有$m|x^k+(m-x)^k$
所以当m为奇数时，上面表达式要求$m|1^k+2^k+...+(a-1)^k$,
当m为偶数时，上面表达式要求$m|1^k+2^k+...+(a-1)^k+(\frac m2)^k$
另外如果m是4的倍数而且$k\ge 2$时，$m|(\frac m2)^k$, 但是$m -=2 (mod 4)$时, $(\frac m2)^k -= \frac m2 (mod m)$.
由此我们得出k为奇数时，如果
$1^k+2^k+...+(a-1)^k$是奇数或者4的倍数，只需要取$m=1^k+2^k+...+(a-1)^k$即可。
但是如果$1^k+2^k+...+(a-1)^k -=2 (mod 4)$, 那么m无法取$1^k+2^k+...+(a-1)^k$,
但是这时我们可以取$m=\frac{1^k+2^k+...+(a-1)^k}2$,满足要求，正好对应$a-=0,1 (mod 4)$

王守恩

mathe 发表于 2021-9-18 08:38
的确对于k是奇数很特殊。我们同样记m=n+a, 那么对于奇数k必然有
$m|1^k+2^k+...+(m-a)^k$
由于对于奇数k ...

谢谢mathe！先把奇数(2k+1)的规律解决。补充：

   1,    2,    3,   4, ... a-4, a-3, a-2, a-1, a, a+1, a+2, a+3, a+4, ... n-4,  n-3,  n-2,  n-1,  n,
a-1, a-2, a-3, a-4, ....   4,   3,    2,    1, n,  n-1,  n-2,  n-3,  n-4, ... a+4, a+3, a+2, a+1, a,

上下2个数(指数是奇数)相加，左边是a的倍数，右边是(n+a)的倍数。
同理我们是否可以，譬如(这方法不行)：
\(1^{6}+2^{6}+3^{6}+4^{6}+…+n^{6}=(1^2)^{3}+(2^2)^3+(3^2)^{3}+(4^2)^{3}+…+(n^2)^3\)
偶数不好做，看7楼的数据，我原以为:这1/5没有规律，5/25应该有规律了,..., 还是没有。

mathe

对于$f_4(x)$的情况，除以5的情况覆盖了4/5的数据，其出现周期为25，但是余下的部分看上去似否没有规律，但是实际上规律还是有的。
下面我们查看除以9的情况，（前面给出的数据部分会同时和除以5的情况重叠，这回破坏规律性），恢复被除以5情况覆盖的数据，我们会发现在a为
5,9,10,18,19,23 (mod 27)时，可以采用除以9的方案。所以这种方案又可以将余下的1/5覆盖掉2/9.余下1/5*7/9的数据。
而下一个可用的是除以14，其周期为28，分别在a为7, 11, 14, 15, 18, 22 (mod 28)时可以采用。

王守恩

mathe 发表于 2021-9-18 13:02
对于$f_4(x)$的情况，除以5的情况覆盖了4/5的数据，其出现周期为25，但是余下的部分看上去似否没有规律，但 ...

偶数不好做，要不丢了？不好玩，丢就丢了。

\(\D f_{2k}(x)=6\sum_{j=1}^{x-1}\ j^{2k}-x\)       x=2, 3, 4, 5, ...    k=1, 2, 3, 4, ...     

k=1,7,13,19,25.....好像对得上号,就是答案，是这样吗？我的电脑不行(跟天山草学了一点点)....

{4, 27, 80, 175, 324, 539, 832, 1215, 1700, 2299, 3024, 3887, 4900, 6075, 7424, 8959, 10692, 12635, 14800
{4, 99, 584, 2119, 5868, 13643, 28048, 52623, 91988, 151987, 239832, 364247, 535612, 766107, 1069856, 1463071,  
{4, 387, 4760, 29335, 123084, 403019, 1108912, 2681775, 5870420, 11870419, 22499784, 40415687, 69376540, 114553755,
{4, 1539, 40904, 434119, 2777868, 12855563, 47444368, 148107663, 406387988, 1006387987, 2292541272, 4872431447,  
{4, 6147, 360440, 6651895, 65245644, 428042699, 2122894192, 8565345135, 29486051540, 89486051539, 245110599144,
{4, 24579, 3213224, 103876519, 1568720268, 14629414283, 97677137488, 509993997903, 2204571216788,  8204571216787,
{4, 98307,  28796120, 1639408855, 38260502604, 508445487179, 4577783924272,  30966062990895, 168226817720660,
{4, 393219, 258673544,  26028477319, 941555821068, 17868215265803, 217265798683408, 1906115658947343, 13024236792058388,
{4, 1572867, 2326095800, 414642956215, 23302826549964, 632662566560459, 10403144154023152, 118489535210915055,

mathe

对于k是偶数情况，我们前面得出m=n+a需要时g(-a)的因子。对于$a>1,g(-a)=-g(a-1)<0$,
如果我们选择$m=\frac{-g(-a)}t$, 那么第一个要求是g(-a)是t的倍数。所以我们需要先限定a使得$g(-a)=0(mod t)$, 可以对于a关于t的剩余系一一做验算，验算t类，其中可能会有部分符合要求。
然后对于每个使得$g(-a_0)=0 (mod t)$的$a_0$, 我们可以统一查看 $a=t s+a_0$, 其中u为待定系数，于是可以先计算$m(s)=\frac{-g(-t s-a_0)}t$,这是一个关于s的整系数多项式。然后我们需要在尝试$\frac{f(m-a)}{m}=\frac{g(m-a)}{u m}=\frac{g(m(s)-t s -a_0)}{u m(s)}$
其中容易看出$r(s)=\frac{g(m(s)-t s -a_0)}{m(s)}$可以简化为关于s的整系数多项式.我们的任务是需要判断对于那些s,$r(s)$是u的倍数。为此，我们只需要检查s关于u的同余系中有哪些使得$r(s)$是u的倍数。整体上，这个方法说明了除以t的方案中的周期是$t u$的因子. 由此，我们可以直接使用计算机穷举 a在3~$t u+2$之间，就可以判断出除t法的适用性。

mathe

以$f_4$为例子，$-g(-a)=6a^5-15a^4+10a^3-a$
比如我们尝试除以4的方案，即t=4,
那么我们需要计算$-g(0)(mod 4), -g(-1)(mod 4), -g(-2)(mod 4),-g(-3)(mod 4)$
其中$-g(-2),-g(-3)$不是4的倍数，淘汰。
现在以-g(-1)为例子，那么我们可以选择a= 4s+1,
计算$m(s)=\frac{g(-a)}4=1536s^5+960s^4+160s^3-s$
我们需要先计算$\frac{g(m(s)-a)}{m(s)}$,得到一个关于s的20次整系数多项式r(s),
由于$f_4$的分母是30，我们分别计算$r(0),r(1),...,r(29)$关于30的余数，发现全部是5或20，没有0.
同样对于-g(0)也类似。
于是验证了除以4的方案无解。

mathe

计算前面若干项为:
? [c,d]=pv(4)
%6 = [[6, 15, 10, 0, -1, 0], 30]
? polymodt(c,d,1)
%22 = [0]
? polymodt(c,d,2)
%23 = [0]
? polymodt(c,d,3)
%24 = [0]
? polymodt(c,d,4)
%25 = [0]
? polymodt(c,d,5)
%26 = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
? polymodt(c,d,6)
%27 = [0]
? polymodt(c,d,7)
%28 = [0]
? polymodt(c,d,8)
%29 = [0]
? polymodt(c,d,9)
%30 = [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]
? polymodt(c,d,10)
%31 = [0]
? polymodt(c,d,11)
%32 = [0]
? polymodt(c,d,12)
%33 = [0]
? polymodt(c,d,13)
%34 = [0]
? polymodt(c,d,14)
%35 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
? polymodt(c,d,15)
%36 = [0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0]
? polymodt(c,d,16)
%37 = [0]
? polymodt(c,d,17)
%38 = [0]
? polymodt(c,d,18)
%39 = [0]
? polymodt(c,d,19)
%40 = [0]
? polymodt(c,d,20)
%41 = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
? polymodt(c,d,21)
%42 = [0]
? polymodt(c,d,22)
%43 = [0]
? polymodt(c,d,23)
%44 = [0]
? polymodt(c,d,24)
%45 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
? polymodt(c,d,25)
%46 = [0]
? polymodt(c,d,26)
%47 = [0]
? polymodt(c,d,27)
%48 = [0]
? polymodt(c,d,28)
%49 = [0]

mathe

1. polymodt(c,d,t)=
   
2. {
   
3.     local (g1,g2,r,n,divs,pass,pred,m);
   
4.     n=vector(d*t);pred=0;
   
5.     for(a=1,t,
   
6.       if(applyf(c,-Mod(a,t))==0,
   
7.           g1=-applyf(c, -t*x-a)/t;
   
8.           g2=applyf(c, g1-t*x-a)/(u*g1);
   
9.           for(h=0,d-1, r=subst(g2,x,Mod(h,d));
   
10.              if(r==0, n[t*h+a]=1))
    
11.       )
    
12.     );
    
13.     divs=divisors(d*t);
    
14.     for(u=1,length(divs),
    
15.         pass=1;
    
16.         for(v=1,d*t-divs[u],
    
17.             if(n[v]!=n[v+divs[u]],pass=0;break())
    
18.         );
    
19.         if(pass, pred=divs[u];break())
    
20.     );
    
21.     m=vector(pred);
    
22.     for(u=1,pred,m[u]=n[u]);
    
23.     m
    
24. }

复制代码

这部分依赖于9#的代码

王守恩

mathe 发表于 2021-9-18 16:20
以$f_4$为例子，$-g(-a)=6a^5-15a^4+10a^3-a$
比如我们尝试除以4的方案，即t=4,
那么我们需要计算$-g(0) ...

\(\D f_{2k}(x)=6\sum_{j=1}^{x-1}\ j^{2k}-x\)       x=2, 3, 4, 5, ...    k=1, 2, 3, 4, ...     

1，特别关注这个 6：根据题意，这个6当然越大越好，对偶数,好像不能大了(无端)。对奇数,已经确认只能是1或2。
具体到偶数4，6*5=30，也就是不会有1, 2, 3, 4。

2，2k=2,14,26,38,50.....,  6 好像就是全部答案(是不是太简单了?)。