n拆分成6份新解法

白新岭

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8&fromuid=10736
4 个不同的正整数之和为 1000，这四个数要么全为偶数，要么全为奇数，这样的四元数组（不考虑顺序）有多少个？
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 4&fromuid=10736
将正整数 n 拆分成 5 个不全相等的正整数相加，有a(n)种不同的拆分法。
在上述两个帖子的启发下，特发此贴，一共大家欣赏，这种问题的新解决方法（方案）
在数论中，有n的拆分，这里只讨论，把n表示成6个正整数之和的问题（无序）。

白新岭

我们用高中的排列组合知识，挡板法，可以把最简单的线性不定方程的正整数解组数问题，获得答案。
比如10个数的和是1000，问有多少个组合方案。
现在我们温习高中的挡板法，解决组合数问题。
把1000个1排列成一排，则有1000-1个空隙，在这些空隙中，我们放9个挡板，把这1000个1分成有序的10份，则有\(C_{1000-1}^{10-1}\)种组合方法，即\(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6+X_7+X_8+X_9+X_{10}=1000\),的正整数解组数，所以10元的加法运算，其多项式表达式的最高次项为9次方（即元数减1，也就是说m元加法运算，其多项式表达式的最高次项是m-1次），从挡板法的公式中\(C_{N-1}^{m-1}\)中，也可以看出，与n值相关的次方数为m-1)
这是我确定多项式表达式的理论根据。

白新岭

mod(n,24)        at^3        bt^2        ct        d        1周        21周        n值
1→→→        96        -336        390        -150        0        748920        481
2→→→        96        -324        364        -136        0        753680        482
3→→→        96        -312        336        -120        0        758400        483
4→→→        96        -300        312        -108        0        763200        484
5→→→        96        -288        286        -94        0        767960        485
6→→→        96        -276        264        -84        0        772800        486
7→→→        96        -264        240        -72        0        777600        487
8→→→        96        -252        220        -64        0        782480        488
9→→→        96        -240        198        -54        0        787320        489
10→→→        96        -228        180        -47        1        792241        490
11→→→        96        -216        160        -39        1        797121        491
12→→→        96        -204        144        -34        2        802082        492
13→→→        96        -192        126        -27        3        807003        493
14→→→        96        -180        112        -23        5        812005        494
15→→→        96        -168        96        -18        6        816966        495
16→→→        96        -156        84        -15        9        822009        496
17→→→        96        -144        70        -11        11        827011        497
18→→→        96        -132        60        -9        15        832095        498
19→→→        96        -120        48        -6        18        837138        499
20→→→        96        -108        40        -5        23        842263        500
21→→→        96        -96        30        -3        27        847347        501
22→→→        96        -84        24        -2        34        852514        502
23→→→        96        -72        16        -1        39        857639        503
24→→→        96        -60        12        -1        47        862847        504
那楼是套用以前的方法，系数没有简化，本楼是简化后的数据。
这是我发在第一个连接中的帖子，它很好的解决了N拆分成4份问题（无序，四个数的和等于N，问有多少种拆分法）。

白新岭

mod(n,600)        at^4        bt^3        ct^2        dt        e        1周
1→→→→        72000        -303600        479930        -337089        88759        0
2→→→→        72000        -301200        472370        -329157        85987        0
3→→→→        72000        -298800        464870        -321343        83273        0
4→→→→        72000        -296400        457430        -313661        80631        0
5→→→→        72000        -294000        450050        -306095        78045        0
6→→→→        72000        -291600        442730        -298659        75529        0
7→→→→        72000        -289200        435470        -291337        73067        0
8→→→→        72000        -286800        428270        -284143        70673        0
9→→→→        72000        -284400        421130        -277061        68331        0
10→→→        72000        -282000        414050        -270105        66055        0
11→→→        72000        -279600        407030        -263259        63829        0
12→→→        72000        -277200        400070        -256537        61667        0
13→→→        72000        -274800        393170        -249923        59553        0
14→→→        72000        -272400        386330        -243431        57501        0
15→→→        72000        -270000        379550        -237045        55496        1
16→→→        72000        -267600        372830        -230779        53550        1
17→→→        72000        -265200        366170        -224617        51649        2
18→→→        72000        -262800        359570        -218573        49806        3
19→→→        72000        -260400        353030        -212631        48006        5
20→→→        72000        -258000        346550        -206805        46262        7
21→→→        72000        -255600        340130        -201079        44559        10
22→→→        72000        -253200        333770        -195467        42910        13
23→→→        72000        -250800        327470        -189953        41301        18
24→→→        72000        -248400        321230        -184551        39744        23
25→→→        72000        -246000        315050        -179245        38225        30
26→→→        72000        -243600        308930        -174049        36756        37
27→→→        72000        -241200        302870        -168947        35324        47
28→→→        72000        -238800        296870        -163953        33940        57
29→→→        72000        -236400        290930        -159051        32591        70
30→→→        72000        -234000        285050        -154255        31289        84
31→→→        72000        -231600        279230        -149549        30020        101
32→→→        72000        -229200        273470        -144947        28796        119
33→→→        72000        -226800        267770        -140433        27604        141
34→→→        72000        -224400        262130        -136021        26455        164
35→→→        72000        -222000        256550        -131695        25337        192
36→→→        72000        -219600        251030        -127469        24260        221
37→→→        72000        -217200        245570        -123327        23212        255
38→→→        72000        -214800        240170        -119283        22204        291
39→→→        72000        -212400        234830        -115321        21224        333
40→→→        72000        -210000        229550        -111455        20282        377
41→→→        72000        -207600        224330        -107669        19366        427
42→→→        72000        -205200        219170        -103977        18487        480
43→→→        72000        -202800        214070        -100363        17633        540
44→→→        72000        -200400        209030        -96841        16814        603
45→→→        72000        -198000        204050        -93395        16019        674
46→→→        72000        -195600        199130        -90039        15257        748
47→→→        72000        -193200        194270        -86757        14518        831
48→→→        72000        -190800        189470        -83563        13811        918
49→→→        72000        -188400        184730        -80441        13125        1014
50→→→        72000        -186000        180050        -77405        12470        1115
51→→→        72000        -183600        175430        -74439        11835        1226
52→→→        72000        -181200        170870        -71557        11229        1342
53→→→        72000        -178800        166370        -68743        10642        1469
54→→→        72000        -176400        161930        -66011        10083        1602
55→→→        72000        -174000        157550        -63345        9542        1747
56→→→        72000        -171600        153230        -60759        9027        1898
57→→→        72000        -169200        148970        -58237        8529        2062
58→→→        72000        -166800        144770        -55793        8056        2233
59→→→        72000        -164400        140630        -53411        7599        2418
60→→→        72000        -162000        136550        -51105        7166        2611
61→→→        72000        -159600        132530        -48859        6747        2818
62→→→        72000        -157200        128570        -46687        6351        3034
63→→→        72000        -154800        124670        -44573        5969        3266
64→→→        72000        -152400        120830        -42531        5608        3507
65→→→        72000        -150000        117050        -40545        5260        3765
66→→→        72000        -147600        113330        -38629        4932        4033
67→→→        72000        -145200        109670        -36767        4616        4319
68→→→        72000        -142800        106070        -34973        4319        4616
69→→→        72000        -140400        102530        -33231        4033        4932
70→→→        72000        -138000        99050        -31555        3765        5260
71→→→        72000        -135600        95630        -29929        3507        5608
72→→→        72000        -133200        92270        -28367        3266        5969
73→→→        72000        -130800        88970        -26853        3034        6351
74→→→        72000        -128400        85730        -25401        2818        6747
75→→→        72000        -126000        82550        -23995        2611        7166
76→→→        72000        -123600        79430        -22649        2418        7599
77→→→        72000        -121200        76370        -21347        2233        8056
78→→→        72000        -118800        73370        -20103        2062        8529
79→→→        72000        -116400        70430        -18901        1898        9027
80→→→        72000        -114000        67550        -17755        1747        9542
81→→→        72000        -111600        64730        -16649        1602        10083
82→→→        72000        -109200        61970        -15597        1469        10642
83→→→        72000        -106800        59270        -14583        1342        11229
84→→→        72000        -104400        56630        -13621        1226        11835
85→→→        72000        -102000        54050        -12695        1115        12470
86→→→        72000        -99600        51530        -11819        1014        13125
87→→→        72000        -97200        49070        -10977        918        13811
88→→→        72000        -94800        46670        -10183        831        14518
89→→→        72000        -92400        44330        -9421        748        15257
90→→→        72000        -90000        42050        -8705        674        16019
91→→→        72000        -87600        39830        -8019        603        16814
92→→→        72000        -85200        37670        -7377        540        17633
93→→→        72000        -82800        35570        -6763        480        18487
94→→→        72000        -80400        33530        -6191        427        19366
95→→→        72000        -78000        31550        -5645        377        20282
96→→→        72000        -75600        29630        -5139        333        21224
97→→→        72000        -73200        27770        -4657        291        22204
98→→→        72000        -70800        25970        -4213        255        23212
99→→→        72000        -68400        24230        -3791        221        24260
100→→→        72000        -66000        22550        -3405        192        25337
101→→→        72000        -63600        20930        -3039        164        26455
102→→→        72000        -61200        19370        -2707        141        27604
103→→→        72000        -58800        17870        -2393        119        28796
104→→→        72000        -56400        16430        -2111        101        30020
105→→→        72000        -54000        15050        -1845        84        31289
106→→→        72000        -51600        13730        -1609        70        32591
107→→→        72000        -49200        12470        -1387        57        33940
108→→→        72000        -46800        11270        -1193        47        35324
109→→→        72000        -44400        10130        -1011        37        36756
110→→→        72000        -42000        9050        -855        30        38225
111→→→        72000        -39600        8030        -709        23        39744
112→→→        72000        -37200        7070        -587        18        41301
113→→→        72000        -34800        6170        -473        13        42910
114→→→        72000        -32400        5330        -381        10        44559
115→→→        72000        -30000        4550        -295        7        46262
116→→→        72000        -27600        3830        -229        5        48006
117→→→        72000        -25200        3170        -167        3        49806
118→→→        72000        -22800        2570        -123        2        51649
119→→→        72000        -20400        2030        -81        1        53550
120→→→        72000        -18000        1550        -55        1        55496
这是我发在第二个连接中的帖子，它很好的解决了N拆分成5份问题（无序，五个数的和等于N，问有多少种拆分法）。

白新岭

我将用同样的方法，解决N拆分成6个数之和的拆分方法数问题，根据前面的拆分成4份，拆分成5份的规律和性质，拆分成6份，需要统计6！*6=4320个自然数的拆分数，它是一个庞大的数据量，2003年版的Excel肯定解决不了此问题，用编程给出4320个自然数的拆分数，也可以获得公式解。
     用2007年版的Excel原则上，能解决此问题，就是不知道，它会多长时间内，计算出4320个自然数的拆分数。
我们即便用一定的算法处理此数据，那也是一个天文数字，估计有效位的精度达不到，怕4320的表法数，超过10^15，那就真的没辙儿了。
     \(X_1+2X_2+3X_3+4X_4+5X_5+6X_6=N\),
公倍数=（1*2*3*4*5*6）*6=4320个，需要4320个的数据，才可以获得公式。

northwolves

$1/((x - 1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1) (x^6 - 1))=1/(x^21 - x^20 - x^19 + x^16 + 2 x^14 - x^12 - x^11 - x^10 - x^9 + 2 x^7 + x^5 - x^2 - x + 1)$

$a(n)=a(n - 20) - a(n - 18) - a(n - 17) - a(n - 16) + 2 * a(n - 13) + 2 * a(n - 12) + a(n - 11) - a(n - 9) - 2 * a(n - 8) - 2 * a(n - 7) + a(n - 4) + a(n - 3) + a(n - 2) + 1$

northwolves

        Number of partitions of n into at most 6 parts.

这里有不少公式了，楼主可以参考下

王守恩

northwolves 发表于 2021-11-8 16:43
Number of partitions of n into at most 6 parts.

这里有不少公式了，楼主可以参考下

   A001402      a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\displaystyle\prod_{i=1}^6\frac{1}{1-x^i},(x,0,n)\bigg],x\bigg]\)  

{1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 14, 20, 26, 35, 44, 58, 71, 90, 110, 136, 163, 199, 235, 282, 331,
391, 454, 532,  612, 709, 811, 931, 1057, 1206, 1360, 1540, 1729, 1945, 2172, 2432,
2702, 3009, 3331, 3692, 4070, 4494, 4935, 5427, 5942, 6510, 7104, 7760, 8442, 9192,

白新岭

a(n) ~ n^5 / 86400.  最高次项，实际上可以以720为循环周期，获得720个直接公式，对于人们司空见怪的东东，我是不计划用的，我用另一种方法求出其公式表达式。母函数我只是了解，并没有掌握。

白新岭

白新岭 发表于 2021-11-7 20:14
我们用高中的排列组合知识，挡板法，可以把最简单的线性不定方程的正整数解组数问题，获得答案。
比如10个 ...

开辟新的数论合成数方法。不墨守成规。要别开蹊径，破旧立新。