数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 162|回复: 9

[分享] 介绍一种新的几何学-汇心几何学

[复制链接]
发表于 2021-11-13 13:34:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
汇心几何学的英文名称是Intercenter Geometry,下载网址是:arxiv.org/abs/2107.08388

首先提出一个问题: 给定一个四面体的六条棱的棱长, 如何计算该四面体的重心与内心之间距离? 这个问题无论使用欧氏几何学方法还是使用解析几何学方法都很难得到结果. 这是它们的缺点所决定的.

是否存在一种几何学, 既保留欧氏几何学与解析几何学的优点, 同时又克服两者的缺点呢?汇心几何学就是一次尝试.

在欧氏几何学中, 并没有将空间的点与一组实数建立对应的关系, 因此很难采用建立在实数运算基础之上的代数运算理论和方法来处理诸如长度、面积等等的一些度量问题. 无法与代数学建立有机联系是欧氏几何学的“软肋”, 或者说是欧氏几何学的“天然缺陷”. 欧氏几何(无论是平面几何还是立体几何)的另一个缺陷就是:许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何学引入了点的坐标, 将空间的基本要素“点”与实数建立了对应关系, 从而能够采用代数方法研究几何学. 由于采用了代数方法, 使得原本在欧氏几何学中难以计算的一些度量问题可以得到解决. 采用解析几何学方法, 首先就需要建立坐标系, 而坐标系的建立带有很大的人为因素. 对于不同的坐标系, 点的坐标是不同的. 即使是同一类坐标系, 坐标原点位置的不同也会导致空间点的坐标的不同. 与欧氏几何相比, 解析几何虽然能够比较方便地计算出一些几何量, 但是由于解析几何的基本参数是点的坐标, 其计算结果往往只包含点的坐标, 而不会包含像长度, 面积等等一些基本的几何量, 这就使得解析几何的计算结果不够“自然”. 例如, 计算三角形的面积, 解析几何方法通常会建立坐标系, 然后选择三角形的顶点坐标为变量(参数)进行计算, 所得到的结果也是三个点的坐标的函数, 与三角形三条边的边长似乎没有直接的联系. 从这三个点的坐标的函数很难想象出会有海伦公式那样优美对称的结果, 这是因为海伦公式这样的表达形式, 其基本参数是边长这样的“自然”量, 而不是抽象的点的坐标. 尽管通过对解析几何的计算结果进行代数运算, 可以将坐标表示的结果转换成由边长、面积等参数表示的几何量, 但是通常需要通过复杂而困难的代数运算. 特别是, 如果没有已知结果的提示(例如已知的海伦公式等), 代数运算就会显得很茫然, 没有目标. 总之, 解析几何的计算结果通常看不到由边长、面积等“自然”参数来表示的一些几何量之间的内在关系, 更难以体会这些“自然”量之间的对称美. 采用解析几何计算出来的几何量仿佛披上了一层人为的神秘面纱, 掩盖了原本优美迷人的“庐山真面目”.

现在来看看汇心几何学的一个结论. 给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见书中的定理26.2.1):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned}
        & \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}}  
\end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积;\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积;\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长;\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]       
以上公式无论使用欧氏几何学还是使用解析几何学方法都是很难得到的.

\(GI^2\)的表达式说明: 四面体的重心和内心之间的距离可以被该四面体的四个面的面积和六条棱的棱长来表示, 这些量都是四面体的“自然”参数, 不包含任何与坐标相关的信息. 四面体的四个面都是三角形,其面积可以利用海伦公式写成边长的函数. 所以,只要给定一个四面体的六条棱的棱长, 就可以计算出该四面体的重心与内心之间距离. 汇心几何学得到的这个创新公式确实对称优美.

以上仅仅是一个例子. 众所周知, 两个点之间的向量(或距离)是一切几何量的基础, 因此, 寻求两个点之间的向量(或距离)就成了几何学研究的重头戏. 汇心几何学能够在统一的观点下很好处理像三角形或四面体的重心与内心之间的向量、距离之类的问题. 具体说来, 汇心几何学能够在统一的观点下处理三角形的七个心(重心, 内心, 垂心, 外心和三个旁心), 四面体的重心, 内心, 外心, 三面角内的旁心(四个)之间的向量, 距离等几何量, 并且将这些几何量用三角形的三条边的边长或四面体六条棱的棱长来表示. 用边长或棱长表示的几何量便于揭示几何量之间的内在联系. 这些用统一观点推导出来的公式很容易程序化, 非常容易在计算机上实现. 因此在计算机, 人工智能, 物理, 化学等领域都有潜在的应用. 不仅如此, 三角形的边长和四面体的棱长都是最“直接”, 最“自然”, 最“亲民”的参数, 也是最容易测量的参数. 与用顶点坐标表示的解析几何公式相比, 用边长或者棱长表示的几何量的公式将更加受到工程师的青睐, 因此会有广泛的应用. 汇心几何学的这些成果是欧氏几何学和解析几何学无法做到的.

除此以外, 汇心几何学还得到了一些几何学的新定理, 也得到了一些新的几何不等式.

当然, 汇心几何学不是万能的. 在我们的地球村里不存在能够求解所有数学问题的万能之法, 但是, 追求某一类问题的一般求解方法一直是数学家们梦寐以求的愿望.

汇心几何学本身也需要进一步的发展和完善.

以上是根据个人理解介绍了汇心几何学, 是一家之谈. 欢迎其他学者补充完善.

点评

是不是相当于面积坐标法?  发表于 2021-11-14 10:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-13 20:03:14 | 显示全部楼层
有中文版就好了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-14 08:36:33 | 显示全部楼层
dlsh 发表于 2021-11-13 20:03
有中文版就好了

可惜arxiv不接受中文版文档,国内却没有一个类似于arxiv的网站。

点评

百度文库、中国预印本系统?  发表于 2021-11-17 18:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-17 19:00:52 | 显示全部楼层
欧氏几何(无论是平面几何还是立体几何)的另一个缺陷就是:许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何或复数可以,只是计算量大,可以用软件计算。

点评

不要妄称任何!不要忘记了哥德尔不完备定理!  发表于 2021-11-17 22:33
塔斯基早已证明:任何初等几何或代数问题都是可以用代数方法解决。  发表于 2021-11-17 21:44
据说有这么一句,只要头够铁,没有解析几何算不出来的题。  发表于 2021-11-17 20:30
属于机器证明范围,已经有软件可以完成。  发表于 2021-11-17 19:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-12-7 19:54 , Processed in 0.050586 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表