介绍一种新的几何学-汇心几何学

宇宙无理数

汇心几何学的英文名称是Intercenter Geometry，下载网址是：arxiv.org/abs/2107.08388

首先提出一个问题: 给定一个四面体的六条棱的棱长, 如何计算该四面体的重心与内心之间距离? 这个问题无论使用欧氏几何学方法还是使用解析几何学方法都很难得到结果. 这是它们的缺点所决定的.

是否存在一种几何学, 既保留欧氏几何学与解析几何学的优点, 同时又克服两者的缺点呢？汇心几何学就是一次尝试.

在欧氏几何学中, 并没有将空间的点与一组实数建立对应的关系, 因此很难采用建立在实数运算基础之上的代数运算理论和方法来处理诸如长度、面积等等的一些度量问题. 无法与代数学建立有机联系是欧氏几何学的“软肋”, 或者说是欧氏几何学的“天然缺陷”. 欧氏几何（无论是平面几何还是立体几何）的另一个缺陷就是：许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何学引入了点的坐标, 将空间的基本要素“点”与实数建立了对应关系, 从而能够采用代数方法研究几何学. 由于采用了代数方法, 使得原本在欧氏几何学中难以计算的一些度量问题可以得到解决. 采用解析几何学方法, 首先就需要建立坐标系, 而坐标系的建立带有很大的人为因素. 对于不同的坐标系, 点的坐标是不同的. 即使是同一类坐标系, 坐标原点位置的不同也会导致空间点的坐标的不同. 与欧氏几何相比, 解析几何虽然能够比较方便地计算出一些几何量, 但是由于解析几何的基本参数是点的坐标, 其计算结果往往只包含点的坐标, 而不会包含像长度, 面积等等一些基本的几何量, 这就使得解析几何的计算结果不够“自然”. 例如, 计算三角形的面积, 解析几何方法通常会建立坐标系, 然后选择三角形的顶点坐标为变量(参数)进行计算, 所得到的结果也是三个点的坐标的函数, 与三角形三条边的边长似乎没有直接的联系. 从这三个点的坐标的函数很难想象出会有海伦公式那样优美对称的结果, 这是因为海伦公式这样的表达形式, 其基本参数是边长这样的“自然”量, 而不是抽象的点的坐标. 尽管通过对解析几何的计算结果进行代数运算, 可以将坐标表示的结果转换成由边长、面积等参数表示的几何量, 但是通常需要通过复杂而困难的代数运算. 特别是, 如果没有已知结果的提示(例如已知的海伦公式等), 代数运算就会显得很茫然, 没有目标. 总之, 解析几何的计算结果通常看不到由边长、面积等“自然”参数来表示的一些几何量之间的内在关系, 更难以体会这些“自然”量之间的对称美. 采用解析几何计算出来的几何量仿佛披上了一层人为的神秘面纱, 掩盖了原本优美迷人的“庐山真面目”.

现在来看看汇心几何学的一个结论. 给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见书中的定理26.2.1):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned}
        & \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}}  
\end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积；\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积；\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长；\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]       
以上公式无论使用欧氏几何学还是使用解析几何学方法都是很难得到的.

\(GI^2\)的表达式说明: 四面体的重心和内心之间的距离可以被该四面体的四个面的面积和六条棱的棱长来表示, 这些量都是四面体的“自然”参数, 不包含任何与坐标相关的信息. 四面体的四个面都是三角形，其面积可以利用海伦公式写成边长的函数. 所以，只要给定一个四面体的六条棱的棱长, 就可以计算出该四面体的重心与内心之间距离. 汇心几何学得到的这个创新公式确实对称优美.

以上仅仅是一个例子. 众所周知, 两个点之间的向量(或距离)是一切几何量的基础, 因此, 寻求两个点之间的向量(或距离)就成了几何学研究的重头戏. 汇心几何学能够在统一的观点下很好处理像三角形或四面体的重心与内心之间的向量、距离之类的问题. 具体说来, 汇心几何学能够在统一的观点下处理三角形的七个心(重心, 内心, 垂心, 外心和三个旁心), 四面体的重心, 内心, 外心, 三面角内的旁心(四个)之间的向量, 距离等几何量, 并且将这些几何量用三角形的三条边的边长或四面体六条棱的棱长来表示. 用边长或棱长表示的几何量便于揭示几何量之间的内在联系. 这些用统一观点推导出来的公式很容易程序化, 非常容易在计算机上实现. 因此在计算机, 人工智能, 物理, 化学等领域都有潜在的应用. 不仅如此, 三角形的边长和四面体的棱长都是最“直接”, 最“自然”, 最“亲民”的参数, 也是最容易测量的参数. 与用顶点坐标表示的解析几何公式相比, 用边长或者棱长表示的几何量的公式将更加受到工程师的青睐, 因此会有广泛的应用. 汇心几何学的这些成果是欧氏几何学和解析几何学无法做到的.

除此以外, 汇心几何学还得到了一些几何学的新定理, 也得到了一些新的几何不等式.

当然, 汇心几何学不是万能的. 在我们的地球村里不存在能够求解所有数学问题的万能之法, 但是, 追求某一类问题的一般求解方法一直是数学家们梦寐以求的愿望.

汇心几何学本身也需要进一步的发展和完善.

以上是根据个人理解介绍了汇心几何学, 是一家之谈. 欢迎其他学者补充完善.

dlsh

有中文版就好了

宇宙无理数

dlsh 发表于 2021-11-13 20:03
有中文版就好了

可惜arxiv不接受中文版文档，国内却没有一个类似于arxiv的网站。

dlsh

欧氏几何（无论是平面几何还是立体几何）的另一个缺陷就是：许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何或复数可以，只是计算量大，可以用软件计算。

wayne

挺不错的. 感觉 汇心几何学  跟 有理表示 原理上差不多,是 等价的.
https://bbs.emath.ac.cn/thread-18088-1-1.html

宇宙无理数

wayne 发表于 2022-2-28 10:32
挺不错的. 感觉 汇心几何学  跟 有理表示 原理上差不多,是 等价的.
https://bbs.emath.ac.cn/thread-18088 ...

谢谢你能喜欢汇心几何学, 这样我花时间撰写的文章“介绍一种新的几何学-汇心几何学”就是有意义的.
也要感谢你在这里分享自己的作品. 我刚刚下载, 时间很短, 还无法做出评价. 但是, 对于所有脚踏实地, 认真做科研的人我都尊敬. 如果你的成果不错, 我也愿意为你宣传(前提是我能够理解). 我也希望这个论坛能够积极宣传和展示中华学者的优秀数学成果. 你的署是“creasson”, 冒昧问一句, 你是海外华人?
我有些疑问. 你提到 “感觉汇心几何学跟有理表示原理上差不多, 是等价的”. 首先, “差不多”是何意? “等价”又是何意? 单纯就“差不多”和“等价”两个词汇来解释的话, 其含义也是很不相同的. “差不多”是个模糊词汇; 而“等价”在数学上有着准确的定义, 简单地说“等价”就是前提和结论互为充分条件, 即前提和结论彼此都是对方的充分必要条件. 其次, 你提到的“有理表示原理”与汇心几何学中的许多结论不一致, 汇心几何学思路很清晰, 对于三角形的几何量, 都希望用三角形的三条边的边长来表示; 而对于四面体的几何量, 都希望用四面体的六条棱的棱长来表示. 汇心几何学中的这些公式多数情况下都不是有理式, 而是塔形根式. 例如, “介绍一种新的几何学-汇心几何学”一文中提到的四面体的重心与内心之间的距离公式给出的是平方表达式, 开方后就是根式, 并非有理式, 如何与有理式等价?

wayne

非常钦佩你的严谨和极度求真.
creasson 是 creasson , 他应该不是外籍人士..  wayne 是 wayne, wayne 是一个数学爱好者.
您说的对. 就“差不多”和“等价”两个词汇 来说,在数理逻辑上是完全矛盾. 只不过, 在我还没有深入看完文章,却又很想急于表达感受的时候,习惯用模糊的词汇, 比如我感觉,比如差不多.  给自己留点余地,以免被打脸.
谢谢您的回复, 现在看来好像并不一定是有理等价. 不过,我感觉我还可以挽救一下, 就是既然你提到了有根式, 那也好说, 根式也可以通过变换,变成有理表达,只不过这个时候的有理表达是 隐函数形式的有理表达.而不是目标变量的显式表达. 比如 $y=P_1(x)$是关于$y$的显式表达, 如果$P_1(x)$只是根式和多项式的组合,那么我们总可以稍微变换一下,成了$P_2(x,y)=0$, 这里的$P_2(x,y)$是关于 $x,y$的有理表达,或者说是多项式.

宇宙无理数

wayne 发表于 2022-3-1 11:28
非常钦佩你的严谨和极度求真.
creasson 是 creasson , 他应该不是外籍人士..  wayne 是 wayne, wayne 是 ...

你到底想表达什么? 不明白你为何要纠结于有理表示原理与汇心几何学的等价上? 你认为你能证明这种等价吗? 你上传的文档中并没有提到汇心几何学, 当然也就谈不上等价. 我不知道该如何回答你.

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2022-3-3 07:37
你到底想表达什么? 不明白你为何要纠结于有理表示原理与汇心几何学的等价上? 你认为你能证明这种等价吗?  ...

隔壁论坛里LaTeX公式无法正常显示了, 我们这里还正常.

nyy

看起来很不错，友情帮顶！希望更多人看到