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[讨论] 如何化简 1/(a+b√2+c√3+d√6)

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发表于 2021-11-17 07:15:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 uk702 于 2021-11-17 08:49 编辑

NAGASH1 同学 在 http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2049123 提出了个问题,如何证明 Q(√2,√3) = { a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈Q } 构成一个数域,显然,这问题的核心是如何证明 1/(a+b√2+c√3+d√6) 依然是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

不妨先拿 1/(√2+√3+√6) 开刀, 使用知乎 /question/23150321 提供的方法,使用 Mathematica,
ToRadicals[RootReduce[1/(Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[6])]]
= \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \)
似并不是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

第一步就卡壳了。

求助如何证明  \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \) 仍然是 a+b√2+c√3+d√6 形式?特别地,如何借助软件,求出 1/(a+b√2+c√3+d√6) 的形式解?

另外,Pari/GP 不知能不能做这样的形式运算和求解。

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 楼主| 发表于 2021-11-17 07:45:31 | 显示全部楼层
令 \( \left(a+\sqrt{2} b+\sqrt{3} c+\sqrt{6} d\right) \left(\sqrt{6} s+u+\sqrt{2} v+\sqrt{3} w\right) = 1 \),解方程大概是一招,不知有没有更直接的招数。
2021-11-17_073817.png

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其实你的方程解出来了,代入待定式就行了。  发表于 2021-11-18 09:32
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 楼主| 发表于 2021-11-17 08:19:03 | 显示全部楼层
不知道有没有其它神级的证法,比如说,把所有 u+v√2+w√3+s√6 形式的数排成一排,然后各自乘上 a+b√2+c√3+d√6,再证明乘出的结果依旧无重无漏地排成一排。
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发表于 2021-11-17 08:53:25 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-11-17 09:17:35 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-11-17 08:53
根式多项式的有理化

学习了!非常感谢! 但更希望能有一个幸福的花园,点一下鼠标就出结果了~,尤其是使用 gp 这种短小还特别能干的软件。

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分母是最小多项式的常数项,Mathematica一个命令的事。  发表于 2021-11-17 15:27
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 楼主| 发表于 2021-11-17 16:38:10 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2021-11-17 09:17
学习了!非常感谢! 但更希望能有一个幸福的花园,点一下鼠标就出结果了~,尤其是使用 gp 这种短小还特别 ...


我对 Mathamatica 了解非常有限,还想请继续指教。

首先,Mathematica 是否只能对具体的如  √2+√3+√6 求最小多项式,而无法对形式的 a+b√2+c√3+d√6 求最小多项式?

其次,即使是对具体的如 √2+√3+√6 求最小多项式,结果是不是还象 #1 那样,求得 \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \) , 依然无法判断它是否是 a+b√2+c√3+d√6  的形式?

点评

@hujunhua 多谢!如梦初醒。  发表于 2021-11-18 10:19
`\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}=5\sqrt3-\sqrt6`,这也容易观察出来吧。  发表于 2021-11-18 09:49
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发表于 2021-11-17 22:17:38 | 显示全部楼层
拆开根号和分母有理化是两回事。
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5520-1-1.html

\(\frac{1}{a+\sqrt{2} b+\sqrt{3} c+\sqrt{6} d}=\frac{a^3+\sqrt{2} \left(-a^2 b+6 a c d+2 b^3-3 b c^2-6 b d^2\right)+\sqrt{3} \left(-a^2 c+4 a b d-2 b^2 c+3 c^3-6 c d^2\right)+\sqrt{6} \left(-a^2 d+2 a b c-2 b^2 d-3 c^2 d+6 d^3\right)-2 a b^2-3 a c^2-6 a d^2+12 b c d}{a^4-4 a^2 b^2-6 a^2 c^2-12 a^2 d^2+48 a b c d+4 b^4-12 b^2 c^2-24 b^2 d^2+9 c^4-36 c^2 d^2+36 d^4}\)

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爆强!强爆!  发表于 2021-11-17 22:39

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 楼主| 发表于 2021-11-17 22:44:58 | 显示全部楼层
由衷感慨!数学研发论坛真是一个神仙出没的地方。
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发表于 2021-11-18 10:27:00 | 显示全部楼层
按4#的链接,分母有理化为\[
(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\\\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)\\=\left(a^4-4a^2b^2+4b^4-6a^2c^2-12b^2c^2+9c^4-12a^2d^2-24b^2d^2-36c^2d^2+36d^4\right)^2-(48abcd)^2
\]是个8次式,但显然可以因式分解为两个4次式。
这应该是`\sqrt6=\sqrt2\*\sqrt3`的缘故。若把`\sqrt6`换为`\sqrt5`,必定不能分解。
那么怎样预见和解释`\sqrt6=\sqrt2\*\sqrt3`可导致上述分解呢?
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发表于 2021-11-18 10:54:35 | 显示全部楼层
我的解释是将 `(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)`写成`(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt2\*\sqrt3)`, 然后符号的改变只是`\sqrt2`和`\sqrt3`的事。
所以可以选取乘积`(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)`
      或者`(-a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(-a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(-a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(-a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)`

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uk702 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 赞一个!多谢胡老师指教。

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