如何化简 1/(a+b√2+c√3+d√6)

uk702

NAGASH1 同学 在 http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2049123 提出了个问题，如何证明 Q(√2,√3) = { a+b√2+c√3+d√6｜a,b,c,d∈Q } 构成一个数域，显然，这问题的核心是如何证明 1/(a+b√2+c√3+d√6) 依然是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

不妨先拿 1/(√2+√3+√6) 开刀， 使用知乎 /question/23150321 提供的方法，使用 Mathematica，
ToRadicals[RootReduce[1/(Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[6])]]
= \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \)
似并不是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

第一步就卡壳了。

求助如何证明  \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \) 仍然是 a+b√2+c√3+d√6 形式？特别地，如何借助软件，求出 1/(a+b√2+c√3+d√6) 的形式解？

另外，Pari/GP 不知能不能做这样的形式运算和求解。

uk702

令 \( \left(a+\sqrt{2} b+\sqrt{3} c+\sqrt{6} d\right) \left(\sqrt{6} s+u+\sqrt{2} v+\sqrt{3} w\right) = 1 \)，解方程大概是一招，不知有没有更直接的招数。

uk702

不知道有没有其它神级的证法，比如说，把所有 u+v√2+w√3+s√6 形式的数排成一排，然后各自乘上 a+b√2+c√3+d√6，再证明乘出的结果依旧无重无漏地排成一排。

hujunhua

根式多项式的有理化

uk702

hujunhua 发表于 2021-11-17 08:53
根式多项式的有理化

学习了！非常感谢! 但更希望能有一个幸福的花园，点一下鼠标就出结果了~，尤其是使用 gp 这种短小还特别能干的软件。

uk702

uk702 发表于 2021-11-17 09:17
学习了！非常感谢! 但更希望能有一个幸福的花园，点一下鼠标就出结果了~，尤其是使用 gp 这种短小还特别 ...

我对 Mathamatica 了解非常有限，还想请继续指教。

首先，Mathematica 是否只能对具体的如  √2+√3+√6 求最小多项式，而无法对形式的 a+b√2+c√3+d√6 求最小多项式？

其次，即使是对具体的如 √2+√3+√6 求最小多项式，结果是不是还象 #1 那样，求得 \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \) ， 依然无法判断它是否是 a+b√2+c√3+d√6  的形式？

zeroieme

拆开根号和分母有理化是两回事。
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5520-1-1.html
而
\(\frac{1}{a+\sqrt{2} b+\sqrt{3} c+\sqrt{6} d}=\frac{a^3+\sqrt{2} \left(-a^2 b+6 a c d+2 b^3-3 b c^2-6 b d^2\right)+\sqrt{3} \left(-a^2 c+4 a b d-2 b^2 c+3 c^3-6 c d^2\right)+\sqrt{6} \left(-a^2 d+2 a b c-2 b^2 d-3 c^2 d+6 d^3\right)-2 a b^2-3 a c^2-6 a d^2+12 b c d}{a^4-4 a^2 b^2-6 a^2 c^2-12 a^2 d^2+48 a b c d+4 b^4-12 b^2 c^2-24 b^2 d^2+9 c^4-36 c^2 d^2+36 d^4}\)

uk702

由衷感慨！数学研发论坛真是一个神仙出没的地方。

hujunhua

按4#的链接，分母有理化为\[
(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\\\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)\\=\left(a^4-4a^2b^2+4b^4-6a^2c^2-12b^2c^2+9c^4-12a^2d^2-24b^2d^2-36c^2d^2+36d^4\right)^2-(48abcd)^2
\]是个8次式，但显然可以因式分解为两个4次式。
这应该是`\sqrt6=\sqrt2\*\sqrt3`的缘故。若把`\sqrt6`换为`\sqrt5`,必定不能分解。
那么怎样预见和解释`\sqrt6=\sqrt2\*\sqrt3`可导致上述分解呢？

hujunhua

我的解释是将 `(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)`写成`(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt2\*\sqrt3)`, 然后符号的改变只是`\sqrt2`和`\sqrt3`的事。
所以可以选取乘积`(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)`
      或者`(-a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)\*(-a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt6)\*(-a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt6)\*(-a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt6)`