求一个通解

northwolves

整数A,B,C满足A=B+C,其中A,B,C的所有位数相加都是45，请问A，B，C各是多少？有没有通解？

比如：
$A=99999x$
$B=99999y$
$C=99999z$
$x,y,z∈[1,100000]，且x=y+z$

若$100000≥x>y>z$ ,则有2499950000种组合,已全部验证，结论正确。

或者 A,B是123456789的两个错排，且A>B

.·.·.

首先可以假设a=9x,b=9y,c=9z
有x=y+z
然后考虑进位问题

首先，对任意所有位数相加为44的a有：
a000001 + 99999 = a100000
符合题意，这意味着“通解”的形状比想象中的复杂

然后，让我们计算一下加法“进位”的数量
可以看出，每有一个进位，和的所有位数的和与等号左边的所有位数和相比减少9——于是我们需要有5个进位

剩下的就是，确认五个进位在哪里，然后合理分配就好了：
如果进位的位右边的位不进位，进位的位上两个数字的和必须大于10，否则大于9

然后枚举就是了。

BTW坛子好冷清，昨天发的贺年问题好像没人看到……
你要不要来看看我的这个问题？
https://bbs.emath.ac.cn/thread-18243-1-1.html

mathe

A=B=900...00900..00900..00900..009
C = 1800...01800..01800..01800..018
也可以而且这样的组合无限

mathe

060606540909
060606450909
-------------------
121212991818
也是一类中间可以插入无数额外零的解

northwolves

若ABC都是123456789的的某个全排列，ABC需要满足什么条件？

mathe

可以根据没有发生进位的位置进行分割，然后就可以24组分成一类, 比如:
37 459 286 1+15 482 397 6=52 941 683 7
=>
482 397 6 15 + 459 286 1 37 = 941 683 7 52
但是总数很多