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[讨论] 求一个通解

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发表于 2022-1-2 11:33:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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整数A,B,C满足A=B+C,其中A,B,C的所有位数相加都是45,请问A,B,C各是多少?有没有通解?

比如:
$A=99999x$
$B=99999y$
$C=99999z$
$x,y,z∈[1,100000],且x=y+z$

若$100000≥x>y>z$ ,则有2499950000种组合,已全部验证,结论正确。

或者 A,B是123456789的两个错排,且A>B
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-1-2 12:46:39 | 显示全部楼层
首先可以假设a=9x,b=9y,c=9z
有x=y+z
然后考虑进位问题

首先,对任意所有位数相加为44的a有:
a000001 + 99999 = a100000
符合题意,这意味着“通解”的形状比想象中的复杂

然后,让我们计算一下加法“进位”的数量
可以看出,每有一个进位,和的所有位数的和与等号左边的所有位数和相比减少9——于是我们需要有5个进位

剩下的就是,确认五个进位在哪里,然后合理分配就好了:
如果进位的位右边的位不进位,进位的位上两个数字的和必须大于10,否则大于9

然后枚举就是了。

BTW坛子好冷清,昨天发的贺年问题好像没人看到……
你要不要来看看我的这个问题?
https://bbs.emath.ac.cn/thread-18243-1-1.html
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发表于 2022-1-5 13:11:25 | 显示全部楼层
A=B=900...00900..00900..00900..009
C = 1800...01800..01800..01800..018
也可以而且这样的组合无限
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发表于 2022-1-5 13:15:56 | 显示全部楼层
060606540909
060606450909
-------------------
121212991818
也是一类中间可以插入无数额外零的解
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 楼主| 发表于 2022-1-5 14:43:42 | 显示全部楼层
若ABC都是123456789的的某个全排列,ABC需要满足什么条件?
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发表于 2022-1-5 16:41:56 | 显示全部楼层
可以根据没有发生进位的位置进行分割,然后就可以24组分成一类, 比如:
37 459 286 1+15 482 397 6=52 941 683 7
=>
482 397 6 15 + 459 286 1 37 = 941 683 7 52
但是总数很多
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