长度的向量特征

dlsh

向量既有长度，又有方向，一般地说，长度只有正值，并且没有方向，不过，如果把平面向量放在复平面上，可以认为长度是特殊向量，与实轴正方向相同。下面的案例对理解这种思想很有帮助。
O、H是△ABC的外心和垂心，BC是其最短边，E和F在HB、HC延长线上，且`BE\*AB=CA^2-CB^2，CF\*AC=AB^2-BC^2`，M和N分别是BC和EF中点，求证：MN//OH，且`MN/OH=\sin A`。
本题多种构图方法参考：https://bbs.emath.ac.cn/thread-18272-1-1.html

先构造长度

hujunhua

涉及外心和垂心的题目，把外心设为原点、把外接圆设为单位圆可以简化计算。
进一步，还可以把B,C设置为沿实轴对称。

这样设置，会带来以下简化：
`a\bar a=b\bar b=c\bar c= bc=\bar b\bar c=1, b=\bar c,c=\bar b,h=a+b+c`
`HB=b-h=-a-c\\HC=c-h=-a-b`
复斜率和方向单位:
`k_{HB}=\D\frac{-a-c}{-\bar a-\bar c}=ac,HB^o=\pm_1\sqrt{ac},AC^o=\mathsf{i}HB^o=\pm_1\mathsf{i}\sqrt{ac}\\k_{HC}=\D\frac{-a-b}{-\bar a-\bar b}=ab,HC^o=\pm_2\sqrt{ab},AB^o=-\mathsf{i}HC^o=-\pm_2\mathsf{i}\sqrt{ab}`
`\pm_1,\pm_2`表示不同根式的正负号选择。
平方差：
`|AC|^2-|BC|^2=(a-c)(\bar a-\bar c)-(b-c)(\bar b-\bar c)=(b-a)\bar c+(\bar b-\bar a)c\\|AB|^2-|BC|^2=(a-b)(\bar a-\bar b)-(b-c)(\bar b-\bar c)=(c-a)\bar b+(\bar c-\bar a)b`
有向线段：
`BE=\D\frac{(b-a)\bar c+(\bar b-\bar a)c}{|b-a|}\*HB^o=(AB^o\bar c+\overline{AB}^oc)\*\pm_1\sqrt{ac}=(-\mathsf i\pm_2\sqrt{ab}\bar c+\mathsf i\pm_2\sqrt{\bar a\bar b}c)\*\pm_1\sqrt{ac}=\pm_1\pm_2\mathsf i(-a\bar c+\bar bc)\\
CF=(AC^o\bar b+\overline{AC}^ob)\*HC^o=(\mathsf i\pm_1\sqrt{ac}\bar b-\mathsf i\pm_1\sqrt{\bar a\bar c}b)\*\pm_2\sqrt{ab}=\pm_1\pm_2\mathsf i(a\bar b-b\bar c)`
`MN=\D\frac{BE+CF}2=\pm_1\pm_2\frac{\mathsf i}2(ac-ab+c^2-b^2)=\pm_1\pm_2\frac{\mathsf i}2(c-b)(a+b+c)=-\pm_1\pm_2\sin A\*h`
在本图中 MN 与 OH 同向，所以应有`-\pm_1\pm_2=1\to \pm_1\pm_2=-1`，即`\pm_1,\pm_2`一正一负。