全部由1,3,5,7,9组成的素数由多少个

数论爱好者

把素数分成两类:一类只含有1,3,5,7,9的数字,另一类则含有0,2,4,6,8数字的素数.
那么,在10^10的455052511个素数中,全部由1,3,5,7,9组成的素数由多少个?
可能要分段统计,比如100里面的25个素数,含有0,2,4,6,8数字的素数2,23,29,41,43,47,61,67,83,89,共计10个,那么
全部由1,3,5,7,9组成的素数有25-10=15个
是不是全部由1,3,5,7,9组成的素数会多一些?

10^10的455052511个素数中,4n+1型素数有多少?4n+3型素数有多少?哪种类型的素数多一些?

northwolves

Number of primes of the form 4k+1 less than 10^n.       
1, 11, 80, 609, 4783, 39175, 332180, 2880504, 25423491, 227523275, 2059020280, 18803924340, 173032709183, 1602470783672, 14922284735484, 139619168787795, 1311778575685086, 12369977142579584, 117028833597800689, 1110409801150582707
Number of primes of the form 4k+3 less than 10^n.               
2, 13, 87, 619, 4808, 39322, 332398, 2880950, 25424042, 227529235, 2059034532, 18803987677, 173032827655, 1602470967129, 14922285687184, 139619172246129, 1311778581969146, 12369977145161275, 117028833678543917, 1110409801410336132

数论爱好者

A091098 https://oeis.org/A091098
4k + 1小于10^n形式 的素数数。第一列为指数n值,第二列为统计素数个数
1 1
2 11
3 80
4 609
5 4783
6 39175
7 332180
8 2880504
9 25423491
10 227523275
11 2059020280
12 18803924340
13 173032709183
14 1602470783672
15 14922284735484
16 139619168787795
17 1311778575685086
18 12369977142579584
19 117028833597800689
20 1110409801150582707
A091099                4k+3 形式的素数数量小于 10^n。
1 2
2 13
3 87
4 619
5 4808
6 39322
7 332398
8 2880950
9 25424042
10 227529235
11 2059034532
12 18803987677
13 173032827655
14 1602470967129
15 14922285687184
16 139619172246129
17 1311778581969146
18 12369977145161275
19 117028833678543917
20 1110409801410336132

经统计,4k+3型素数是一直大于4k+1型素数的

数论爱好者

已经解决了把素数分成两类的一种分类:4k+1与4k+3
全部由1,3,5,7,9组成的素数还没有解决,允许1,3,5,7,9重复使用

数论爱好者

https://oeis.org/A030096
https://oeis.org/A030096/b030096.txt前1万个由奇数组成的素数
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282842712474

用Mathematica暴力算：

1. n = PrimePi[10^8];
   
2. Sum[If[MemberQ[IntegerDigits[Prime[i]], _?EvenQ], 0, 1], {i, 1, n}]

复制代码

结果：
$$\begin{array}{c|c}
\hline
10^1 &  3 / 4\\
10^2 &  15 / 25\\
10^3 &  57 / 168\\
10^4 &  182 / 1229\\
10^5 &  790 / 9592\\
10^6 &  3217 / 78498\\
10^7 &  13298 / 664579\\
10^8 &  56866 / 5761455\\
10^9 & 254689 / 50847534 \\
\hline
\end{array}
$$

后面算起来太费劲了。

数论爱好者

10^1,3,
10^2,3*4=12≈15,
10^3,15*4=60≈57,
一直到10^9,都是4倍到5倍之间,据此预测
10^10时,由纯奇数组成的素数个数大约在1018756～1273455之间

northwolves

10^9时,由纯奇数组成的素数个数大约在250424-258051之间，准确值 254689/50847534
10^10时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120566-1154695之间，准确值 1128121/455052511
10^11时,由纯奇数组成的素数个数大约在5070354-5224782之间，准确值 5106701/4118054813
10^12时,由纯奇数组成的素数个数大约在23152370-23857519之间，准确值 23266331/37607912018
10^13时,由纯奇数组成的素数个数大约在105982570-110308389之间，准确值 107019385/346065536839
10^14时,由纯奇数组成的素数个数大约在490756705-510787591之间，准确值 ？
10^15时,由纯奇数组成的素数个数大约在2284974922-2378239205之间，准确值 ？
10^16时,由纯奇数组成的素数个数大约在10689592742-11125902650之间，准确值 ？
10^17时,由纯奇数组成的素数个数大约在50216523720-52266177750之间，准确值 ？
10^18时,由纯奇数组成的素数个数大约在236769093769-246433138413之间，准确值 ？
10^19时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120002509427-1165716897567之间，准确值 ？
10^20时,由纯奇数组成的素数个数大约在5313484400658-5530361314971之间，准确值 ？

northwolves

对于a(14) 的计算，在总计3204941750802素数中，大约只有1/6468 的素数满足条件，估计a(14)在495584000左右。

northwolves

$a(14)=494689488$,   $\frac{a(14)}{\pi(10^14)}=494689488/3204941750802≈1/6479$