有点麻烦的几何题，需要用到微分吗？

henkl

请教大家一个问题。如图，L是一个常数，坐标原点O为L的中点，h往坐标原点移动，X和Y值会不断变化，并且X与Y的任意位置与它们前一位置的变化量ΔX和ΔY不是线性关系。现在设想h的长度可以任意变化，变化条件要满足任何位置时都有ΔX=ΔY，那么h的长度与坐标原点的距离即X，会是什么函数呢？麻烦大神能解答一下，先谢谢了

henkl

先分析y与x的函数关系，
x=h/(2*tan(θ/2))
y=L*sin(θ/2)
h若为常量，那么x与y的函数关系确定

L=1075          剪叉臂长
θ              剪叉夹角（°）
h               推动杆长度
x               推动杆到剪叉中心的距离
y               剪叉竖直高度

gxqcn

若要满足保持 \(\Delta y \) 与 \( \Delta x\) 呈比例关系，则 \(x\) 与 \(y\) 呈线性关系，
由 \((x,y)\) 两组特殊值：\((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)，
可得：\(y=-2x+L\)

联立上楼的两个方程，消去 \(y\) 和 \(\theta\)，得：\[h=\frac{2x}{\sqrt{\left(\frac{L}{L-2x}\right)^2-1}}=(L-2x)\sqrt{\frac{x}{L-x}} \qquad \left(0\leqslant x \leqslant \frac{L}{2}\right)\]

注意到：\(y=-2x+L \implies \Delta y=-2\Delta x\)，并不完全满足楼主要求，
但若强求 \(\abs{\Delta y}=\abs{\Delta x}\)，则无法保证 \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)

henkl

gxqcn 发表于 2022-6-28 11:43
若要满足保持 \(\Delta y \) 与 \( \Delta x\) 呈比例关系，则 \(x\) 与 \(y\) 呈线性关系，
由 \((x,y)\) ...

感谢回复，很好理解，感觉也正确。我这边用的另一种方法，做出的曲线不一样，也觉得是正确的，麻烦在看看问题出在哪里

按楼上思路，绘出的曲线图

henkl

h长度可以任意变化，但满足条件Δy=kΔx时，
穷竭法
Δx= h/(2*tan((θ+Δθ)/2))- h/(2*tan(θ/2))
Δy= L*sin((θ+Δθ)/2)- L*sin(θ/2)

h=2*L/k*(sin((θ+Δθ)/2)-sin(θ/2))/(cot((θ+Δθ)/2)-cot(θ/2))
x=L/k*(sin((θ+Δθ)/2)-sin(θ/2))/(cot((θ+Δθ)/2)-cot(θ/2))*cot(θ/2)

k=-1            竖直与水平变化量比例
L=1075          剪叉臂长
θ              剪叉夹角（°）
h               推动杆长度
x               推动杆到剪叉中心的距离
y               剪叉竖直高度
Δx             推动杆到剪叉中心变化量
Δy             剪叉竖直高度变化量

Δx和Δy使用微分求导计算
h=-2*L/k*cos(θ*pi/180/2)*sin2(θ*pi/180/2)
x=-L/K*sin(θ*pi/180/2)*cos2(θ*pi/180/2)

曲线图

gxqcn

当 \(x\) 取到最大值 \(L/2\) 时，剪叉只能闭合，此时 \(h=y=0\)
而上楼图像并不满足

gxqcn

我在 3# 里叙述的“ \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)”是不严谨的，
因为当 \(x=0\) 时，剪叉开口已不受控，\(y\) 可不必等于 \(L\)

重新推导一下，

由相似原理：\(\D \frac{h}{y}=\frac{\sqrt{(h/2)^2+x^2}}{L/2}=\frac{\sqrt{h^2+4x^2}}{L} \implies \frac{h^2}{y^2}=\frac{h^2+4x^2}{L^2}=\frac{4x^2}{L^2-y^2} \implies h=\frac{2xy}{\sqrt{L^2-y^2}}\)

沿用楼主的符号意义，新增待定变量 \(b\)，令 \(y=kx + b\)，则 \[h=\frac{2x(kx+b)}{\sqrt{L^2-(kx+b)^2}}\label{※}\tag*{[※]}\]
\(\therefore\) 当 \(k=-1\) 时，\(\D h = \frac{2x(b-x)}{\sqrt{L^2-(b-x)^2}}\)

注意到：\(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{(L/2)^2-(y/2)^2}=\sqrt{L^2-(kx+b)^2}/2\) 及 \(0 \leqslant y=kx + b \leqslant L\)
故选用不同的待定值 \(b\)，对应的 \(x\) 将有不同的取值范围，也即公式的适用范围。

3# 的结果，仅相当于上述结论 \(\ref{※}\) 的特例：\(k=-2, b=L\)，此时对应的 \(x\) 的取值范围正好为 \([0, L/2]\)

henkl

gxqcn 发表于 2022-7-7 17:12
我在 3# 里叙述的“ \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)”是不严谨的，
因为当 \(x=0\ ...

感谢您耐心的解答，我反向验证了一下，你得出的公式完全正确，满足给出的条件Δy=kΔx，谢谢您哈。但是我给出的公式我正向去理解，也感觉正确呀，能不能再麻烦你帮我解释一下，哪些地方有问题。

gxqcn

楼主在 5# 里，得到 x、h 关于参数 θ 的表达式，
再代入 2# 里的 “x=h/(2*tan(θ/2))”，看看是否仍成立？

楼主也可在公式适用范围内，选取两个特殊值，看看 ΔY:ΔX 是否满足要求？


针对楼主需要的 h 关于 x 表达式，仅仅通过几何关系即可得到，
再进一步，需要满足运动过程中变化量的保持比例，才引入变量 \(k, b\)，最终得到表达式 \(\ref{※}\)

henkl

gxqcn 发表于 2022-7-8 13:54
楼主在 5# 里，得到 x、h 关于参数 θ 的表达式，
再代入 2# 里的 “x=h/(2*tan(θ/2))”，看看是否仍成立 ...

我推导出的公式，验证了不满足ΔY=kΔX，仅是接近。你公式我验证后完全满足条件。
现在我想近一步，将可以任意变化长度的杆变成任意变化直径的圆，看看圆的直径与圆心到剪叉中心变化的方程又是怎样的呢？
我将现在推导出的杆，作为圆的弦长并且交点与剪叉相切。


推导出下面的公式


请您帮忙再看看最后得出这个公式正确不？如果不对，麻烦指正，谢谢了