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[求助] 有点麻烦的几何题,需要用到微分吗?

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发表于 2022-6-25 15:58:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
请教大家一个问题。如图,L是一个常数,坐标原点O为L的中点,h往坐标原点移动,X和Y值会不断变化,并且X与Y的任意位置与它们前一位置的变化量ΔX和ΔY不是线性关系。现在设想h的长度可以任意变化,变化条件要满足任何位置时都有ΔX=ΔY,那么h的长度与坐标原点的距离即X,会是什么函数呢?麻烦大神能解答一下,先谢谢了
22.png
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-6-28 10:07:35 | 显示全部楼层
先分析y与x的函数关系,
x=h/(2*tan(θ/2))
y=L*sin(θ/2)
h若为常量,那么x与y的函数关系确定

L=1075          剪叉臂长
θ              剪叉夹角(°)
h               推动杆长度
x               推动杆到剪叉中心的距离
y               剪叉竖直高度
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发表于 2022-6-28 11:43:53 | 显示全部楼层
若要满足保持 \(\Delta y \) 与 \( \Delta x\) 呈比例关系,则 \(x\) 与 \(y\) 呈线性关系,
由 \((x,y)\) 两组特殊值:\((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\),
可得:\(y=-2x+L\)

联立上楼的两个方程,消去 \(y\) 和 \(\theta\),得:\[h=\frac{2x}{\sqrt{\left(\frac{L}{L-2x}\right)^2-1}}=(L-2x)\sqrt{\frac{x}{L-x}} \qquad \left(0\leqslant x \leqslant \frac{L}{2}\right)\]

注意到:\(y=-2x+L \implies \Delta y=-2\Delta x\),并不完全满足楼主要求,
但若强求 \(\abs{\Delta y}=\abs{\Delta x}\),则无法保证 \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)
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 楼主| 发表于 2022-7-6 11:06:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 henkl 于 2022-7-6 11:24 编辑
gxqcn 发表于 2022-6-28 11:43
若要满足保持 \(\Delta y \) 与 \( \Delta x\) 呈比例关系,则 \(x\) 与 \(y\) 呈线性关系,
由 \((x,y)\) ...


感谢回复,很好理解,感觉也正确。我这边用的另一种方法,做出的曲线不一样,也觉得是正确的,麻烦在看看问题出在哪里

按楼上思路,绘出的曲线图
2.png
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 楼主| 发表于 2022-7-6 11:21:20 | 显示全部楼层
h长度可以任意变化,但满足条件Δy=kΔx时,
穷竭法
Δx= h/(2*tan((θ+Δθ)/2))- h/(2*tan(θ/2))
Δy= L*sin((θ+Δθ)/2)- L*sin(θ/2)

h=2*L/k*(sin((θ+Δθ)/2)-sin(θ/2))/(cot((θ+Δθ)/2)-cot(θ/2))
x=L/k*(sin((θ+Δθ)/2)-sin(θ/2))/(cot((θ+Δθ)/2)-cot(θ/2))*cot(θ/2)

k=-1            竖直与水平变化量比例
L=1075          剪叉臂长
θ              剪叉夹角(°)
h               推动杆长度
x               推动杆到剪叉中心的距离
y               剪叉竖直高度
Δx             推动杆到剪叉中心变化量
Δy             剪叉竖直高度变化量

Δx和Δy使用微分求导计算
h=-2*L/k*cos(θ*pi/180/2)*sin2(θ*pi/180/2)
x=-L/K*sin(θ*pi/180/2)*cos2(θ*pi/180/2)

曲线图
1.png
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发表于 2022-7-6 14:55:07 | 显示全部楼层
当 \(x\) 取到最大值 \(L/2\) 时,剪叉只能闭合,此时 \(h=y=0\)
而上楼图像并不满足
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发表于 2022-7-7 17:12:43 | 显示全部楼层
我在 3# 里叙述的“ \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)”是不严谨的,
因为当 \(x=0\) 时,剪叉开口已不受控,\(y\) 可不必等于 \(L\)

重新推导一下,

由相似原理:\(\D \frac{h}{y}=\frac{\sqrt{(h/2)^2+x^2}}{L/2}=\frac{\sqrt{h^2+4x^2}}{L} \implies \frac{h^2}{y^2}=\frac{h^2+4x^2}{L^2}=\frac{4x^2}{L^2-y^2} \implies h=\frac{2xy}{\sqrt{L^2-y^2}}\)

沿用楼主的符号意义,新增待定变量 \(b\),令 \(y=kx + b\),则 \[h=\frac{2x(kx+b)}{\sqrt{L^2-(kx+b)^2}}\label{※}\tag*{[※]}\]
\(\therefore\) 当 \(k=-1\) 时,\(\D h = \frac{2x(b-x)}{\sqrt{L^2-(b-x)^2}}\)

注意到:\(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{(L/2)^2-(y/2)^2}=\sqrt{L^2-(kx+b)^2}/2\) 及 \(0 \leqslant y=kx + b \leqslant L\)
故选用不同的待定值 \(b\),对应的 \(x\) 将有不同的取值范围,也即公式的适用范围。

3# 的结果,仅相当于上述结论 \(\ref{※}\) 的特例:\(k=-2, b=L\),此时对应的 \(x\) 的取值范围正好为 \([0, L/2]\)
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 楼主| 发表于 2022-7-8 09:58:44 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2022-7-7 17:12
我在 3# 里叙述的“ \((x,y)\) 必经的两个特殊点 \((0,L)\) 及 \((L/2, 0)\)”是不严谨的,
因为当 \(x=0\ ...

感谢您耐心的解答,我反向验证了一下,你得出的公式完全正确,满足给出的条件Δy=kΔx,谢谢您哈。但是我给出的公式我正向去理解,也感觉正确呀,能不能再麻烦你帮我解释一下,哪些地方有问题。
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发表于 2022-7-8 13:54:48 | 显示全部楼层
楼主在 5# 里,得到 x、h 关于参数 θ 的表达式,
再代入 2# 里的 “x=h/(2*tan(θ/2))”,看看是否仍成立?

楼主也可在公式适用范围内,选取两个特殊值,看看 ΔY:ΔX 是否满足要求?


针对楼主需要的 h 关于 x 表达式,仅仅通过几何关系即可得到,
再进一步,需要满足运动过程中变化量的保持比例,才引入变量 \(k, b\),最终得到表达式 \(\ref{※}\)
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 楼主| 发表于 2022-7-9 15:38:00 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2022-7-8 13:54
楼主在 5# 里,得到 x、h 关于参数 θ 的表达式,
再代入 2# 里的 “x=h/(2*tan(θ/2))”,看看是否仍成立 ...


我推导出的公式,验证了不满足ΔY=kΔX,仅是接近。你公式我验证后完全满足条件。
现在我想近一步,将可以任意变化长度的杆变成任意变化直径的圆,看看圆的直径与圆心到剪叉中心变化的方程又是怎样的呢?
我将现在推导出的杆,作为圆的弦长并且交点与剪叉相切。
44.JPG

推导出下面的公式
66.JPG

请您帮忙再看看最后得出这个公式正确不?如果不对,麻烦指正,谢谢了

点评

屏幕截图,用 jpg 格式会失真,请改用 png 格式。  发表于 2022-7-9 16:09
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