求极值

wayne

$a,b,c$是某三角形的三个边长，求表达式的值域：$\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

数学星空

值域为[9/8,2)
当a=b=c 时,值为9/8
当a=b,c->0时,极限为2

wayne

正确，。
可否授我以渔？
用什么方法做的
或者用什么软件了？

数学星空

呵呵,利用了杨路教授的BOTTEMA2009验算了一下,得到最小值,至于最大值是凭直觉,只能在极限时取得...试着随机的试算了一些数据,便推测最大值可能为2

jmouse

如果是填空题就好了。
ABC是对等的，所以就往2个极端方向去想好了，三角形也就2楼所提的那2种极端了。

gxqcn

$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) <=(((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))/3)^3=8((a^2+b^2+c^2)/3)^3$

由平均值定理，

$((a^3+b^3+c^3)/3)^(1//3)>=((a^2+b^2+c^2)/3)^(1//2)\quad=>\quad(a^3+b^3+c^3)^2>=9((a^2+b^2+c^2)/3)^3$

两式相除（后式除以前式），即可得到当且仅当 $a=b=c$ 时，可取得最小值 $9//8$

〇〇

记录学习

mathe

下界容易计算，上界比较难，但是结果容易猜到。
所以问题就变成求证
$(a^3+b^3+c^3)^2<2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
倒是这个问题可以用数学分析的方法去做。而且不妨假设c=1,0<a<1,0<b<1,a+b>1
通过计算机分析发现函数$2(a^2+b^2)(b^2+1)(a^2+1)-(a^3+b^3+1)^2$在上面区域没有极值点
于是我们只要分析边界上的情况，也就是分别a=1,b=1,a=0,b=0,a+b=1等几种情况，都变成单变量函数的问题很容易分析了。

wayne

4# 数学星空
好像基于maple的吧，我还知道有一个MMP。
不知BOTTEMA2009 哪可以下载，
可否提供一下链接

wayne

8# mathe

我最初以为上限值也是通过什么不等式变换得到的。
现在看来，应该就是这样了。