求极值

数学星空

中国不等式小组网站有下载:   http://old.irgoc.org/bbs/dispbbs.asp?boardid=12&Id=688

数学星空

呵,何灯老师已经通过代数变换的方法证明了
$2*(x^2+y^2)*(x^2+z^2)*(z^2+x^2)>(x^3+y^3+z^3)^2$
作代换:$a=x+y,\quadb=y+z,\quadc=z+x$
$(y^2+z^2+30*y*z)*x^4+(-2*z^3+50*z^2*y-2*y^3+50*z*y^3)*x^3+(z^4+y^4+50*y^3*z+58*y^2*z^2+50*y*z^3)*x^2+(30*y^4*z+50*z^3*y^2+30*z^4*y+50*y^3*z^2)*x+y^4*z^2+y^2*z^4-2*y^3*z^3>=0$
化简为$(x-y)^2*(y-z)^2*(z-x)^2+32*x*y*z*(x*(x-y)*(x-z)+y*(y-x)*(y-z)+z*(z-x)*(z-y))+80*x*y*z*((y+z)*(x-y)*(x-z)+(x+z)*(y-x)*(y-z)+(x+y)*(z-x)*(z-y))+448*x^2*y^2*z^2>=0$
注:$x*(x-y)*(x-z)+y*(y-x)*(y-z)+z*(z-x)*(z-y)>=0$
        $(y+z)*(x-y)*(x-z)+(x+z)*(y-x)*(y-z)+(x+y)*(z-x)*(z-y)>=0$
     为许尔不等式的变形

数学星空

仅当x,y,z中至少有两个为零时时,取等号,在三角形中不成立
证毕

wayne

呵呵,利用了杨路教授的BOTTEMA2009验算了一下,得到最小值,至于最大值是凭直觉,只能在极限时取得...试着随机的试算了一些数据,便推测最大值可能为2
数学星空 发表于 2009-10-29 22:17

你用的是啥命令啊
为啥我的运行不出来

数学星空

你命令用错了,用xmin 和xmax 试一下...

数学星空

呵,又发现了一个更简洁的证明:
依题意可令a=x+y,b=y+z,c=z+x,其中x,y,z为正数,代入展开整理即得等价于
30*z*x^4*y+50*y*z^2*x^3+50*y*z^3*x^2+30*y*z^4*x+30*y^4*z*x+50*y^2*z*x^3+58*y^2*z^2*x^2+50*y^2*z^3*x+50*y^3*z*x^2+z^2*x^4+x^4*y^2+50*y^3*z^2*x-2*y^3*z^3-2*y^3*x^3+y^4*x^2+y^4*z^2+y^2*z^4+z^4*x^2-2*z^3*x^3 >= 0

大系数的全部为正就不管了, 只需证
z^2*x^4+x^4*y^2-2*y^3*z^3-2*y^3*x^3+y^4*x^2+y^4*z^2+y^2*z^4+z^4*x^2-2*z^3*x^3 >= 0

而这正好为
x^2*y^2*(x-y)^2+x^2*z^2*(x-z)^2+y^2*z^2*(y-z)^2>=0

证毕(一个广东网友提供)

wayne

15# 数学星空

谢谢，
你有bottema的完整教程吗，
我不知道哪有详细的语法说明，

数学星空

呵呵,自已到下列网站下载哟
http://old.irgoc.org/bbs/dispbbs.asp?boardid=11&Id=443

wayne

这好像是简易教程啊：

注：由于这是一个简易的使用指南，以上介绍的只是软件的主要功能，并不包括所有的函数。

你给的这个网站昨天我逛了很长时间，感觉挺不错的。

数学星空

当然,有不懂的只能去请教杨路教授或者姚勇了(程序是他们编写的),
有很多功能只能靠自已慢慢摸索了.....