有多少种选法？

aimisiyou

陈九章 发表于 2023-5-26 13:38
https://www.docin.com/p-915338368.html
周长为定值时整边三角形个数的探究
是这个问题的推广，难度大 ...

不能整成统一公式么？

王守恩

陈九章 发表于 2023-5-26 13:38
https://www.docin.com/p-915338368.html
周长为定值时整边三角形个数的探究
是这个问题的推广，难度大 ...

周长为n, 有a(n)个3边为整数的3边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {3}], Max[#]2<n &], {n, 3, 100}]
{1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, 24, 21, 27, 24, 30, 27, 33,30, 37, 33, 40, 37, 44, 40,

周长为n, 有a(n)个4边为整数的4边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {4}], Max[#]2<n &], {n, 4, 100}]
{1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 18, 23, 24, 31, 33, 41, 43, 53, 55, 67, 69, 83, 86, 102, 104, 123, 126, 147,150, 174, 177, 204, 207, 237,

周长为n, 有a(n)个5边为整数的5边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {5}], Max[#]2<n &], {n, 5, 100}]
{1, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 23, 25, 35, 39, 52, 57, 74, 81, 103, 111, 139, 150, 184, 197, 239, 256, 306, 325, 385, 409, 480, 507, 590, 623,

周长为n, 有a(n)个6边为整数的6边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {6}], Max[#]2<n &], {n, 6, 100}]
{1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 22, 28, 37, 46, 59, 71, 91, 107, 134, 157, 193, 222, 271, 308, 371, 419, 499, 559, 661, 734, 860, 952, 1106, 1216,

周长为n, 有a(n)个7边为整数的7边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {7}], Max[#]2<n &], {n, 7, 100}]
{1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 19, 24, 34, 42, 58, 70, 93, 112, 145, 171, 218, 256, 320, 372, 458, 528, 643, 735, 884, 1006, 1198, 1352, 1597, 1795,

周长为n, 有a(n)个8边为整数的8边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {8}], Max[#]2<n &], {n, 8, 100}]
{1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 20, 27, 36, 48, 63, 82, 104, 134, 167, 211, 258, 322, 389, 480, 572, 698, 825, 996, 1165, 1395, 1620, 1923, 2216, 2611,  

周长为n, 有a(n)个9边为整数的9边形。Table[Length@Select[IntegerPartitions[n, {9}], Max[#]2<n &], {n, 9, 100}]
{1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 14, 21, 28, 39, 50, 69, 87, 116, 145, 189, 233, 299, 363, 458, 553, 687, 820, 1009, 1195, 1453, 1709, 2058, 2404, 2872, 3331,

(* Frank M Jackson, Nov 04 2022 *)

王守恩

主帖：1个四面体的6条边是6个不同正整数，请问有多少种不同的形状？
最大数=6,a(6)=0,
最大数=7,a(7)=4,
最大数=8,a(8)=20,
最大数=9,a(9)=73,
{0, 4, 20, 73, 188, 415, 845, 1553}
这是一串在OEIS没有的数字串。

相近的话题：1个四面体的6条边是6个不同正整数，请问有多少种不同的体积？
最大数=6,a(6)=0,
最大数=7,a(7)=4,
最大数=8,a(8)=20,
最大数=9,a(9)=69,
{0, 4, 20, 69, 183, 387, 777, 1386, 2367, 3861, 5863}
虽然在OEIS也是没有，但好像容易些。

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-5-27 08:33
主帖：1个四面体的6条边是6个不同正整数，请问有多少种不同的形状？
最大数=6,a(6)=0,
最大数=7,a(7)=4,
...

四个面都能构成三角形就可以吧？

王守恩

各位网友！走不了了, 可有好的方法？谢谢！！！

主帖：1个四面体的6条边是6个不同正整数，请问有多少种不同的形状？
最大数=6,a(6)=0,
最大数=7,a(7)=4,
最大数=8,a(8)=20,
最大数=9,a(9)=73,
{0, 4, 20, 73, 188, 415, 845, 1553, 2684, 4367, 6838, 10279, 15065, 21370, 29769, 40443}
这是一串在OEIS没有的数字串。

相近的话题：1个四面体的6条边是6个不同正整数，请问有多少种不同的体积？
最大数=6,a(6)=0,
最大数=7,a(7)=4,
最大数=8,a(8)=20,
最大数=9,a(9)=69,
{0, 4, 20, 69, 183, 387, 777, 1386, 2367, 3861, 5863, 8570, 12563}
虽然在OEIS也是没有，但好像容易些。

王守恩

1个四面体的6条边与体积都是正整数，体积可以是这样一些整数: {0, 6, 9, 15, 21, 24, 30, 36, 48, 72, 84, 96, 120, 168}

1. Select[Union@Flatten@Table[Sqrt[(a^2A^2(b^2+B^2+c^2+C^2)+b^2B^2(a^2+A^2+c^2+C^2)+c^2C^2(a^2+A^2+b^2+B^2)-(a^2A^2(a^2+A^2)
   
2. +b^2B^2(b^2+B^2)+c^2C^2(c^2+C^2)+a^2(b^2c^2+B^2C^2)+A^2 (b^2C^2+B^2c^2)))/144],{a,1,12},{b,1,12},{c,1,12},{A,1,12},{B,1,12},{C,1,12}],IntegerQ[#]&]

复制代码

说明:
把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC, P是顶点,
记6条棱BC=a,CA=b,AB=c,Pa=A,PB=B,PC=C,
譬如:a=2,b=5,c=6,A=4,B=8,C=7 体积=6。
我真不知道这个算式应该怎样编排(憋着很久了),  谢谢各位！

王守恩

1个四面体的6条边与体积都是正整数，体积可以是这样一些整数：6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,......
[投票] 体积=不是3的倍数的数。举个例子就行。谢谢网友！

northwolves

四面体的6条边是正整数,体积一定是3的倍数

northwolves

体积为39,45,81的整边四面体也是有的，最长棱分别为308,84,91

northwolves

可参考文献：
Tetrahedra with Integer Edges and Integer Volume