如何用一對相互垂直的直線，四等分一個邊長為三、四、五的三角形？

ejsoon

如何用一對相互垂直的直線，四等分一個邊長為三、四、五的三角形？

有解且唯一。

王守恩

我来试试，请查验。
三角形ABC,BC=3,CA=4,AB=5。一条直线: x在CB,z在AC,   一条直线: w在AB,z+y在AC,
{{x -> 1.81456609, y -> 2.66702948, z -> 0.693424377, w -> 2.97578852, a -> 0.643501109, b -> 1.06889409}}

1. N[Solve[{Cot[a]==4/3, Cot[b]==x/(4-z), Sin[b]/Sin[a+b]==w/(y+z), x(4-z)==w(y+z)Sin[a]==y y Sin[2b]==6,1>a>0,Pi>b>0,4>y>0},{x,y,z,w,a,b}],9]

复制代码

nyy

题目我都没读懂。你自己明白了吗？

mathe

a=0.79128784747792000329402359686400424449

mathe

换成面积就不唯一了，比如我们可以同样先限定有长度为4的边上有两个端点的情况
可以有如下两种

c=0.15504752683463430752682441945497006791
        u=0.47983752362132696460638958391562514150
        a=2.3036644976390638547682324247873339740
        b=2.6045459337282693017388143535481352753


c=0.63954614724828167051759250935868659606
        u=0.40484229582194868217559727099611627023
        a=3.3065756225153436171769519661006322736
        b=1.8145660904122140616690028773106511642

实部是可以长度为5的边上有两个端点或其它更多情况还没有计算过

mathe

b=6/a
u=(c-2)/(c-4)
(6*a^3 - 6*c*a^2)/(a^4 + 36)*(a-c)-3=0 =>(3*a^4 - 12*c*a^3 + 6*c^2*a^2 - 108)=0
(4*u-c)*(a-0)+(3*(1-u)-0)*(0-b)=0 => ((-a*c^2 + 8*a*c - 8*a)*a + 36)=0

得出
a^8 - 32*a^7 + 224*a^6 - 512*a^5 - 248*a^4 + 3456*a^3 - 5760*a^2 + 1296=0
得出
a1=0.57409937260508065080987276515851946679
        c=7.9753214092945178198155421485936941199,(要求0<c<a,舍去)
a2=3.3065756225153436171769519661006322736
        c=0.63954614724828167051759250935868659606 或 c=5.9736050977824055638363114228425779512(舍去)

王守恩

面积4等分只有唯一解, 周长4等分也只有唯一解。跟上mathe, 记直角在原点。

1. (面积):NSolve[{Sin[a] == 4/5, w/Cos[b] == (x + y)/Sin[b], z/Sin[b] == (4 - x)/Cos[b - a], w(x + y) ==6, z(4-x)Cos[a]==6, y^2Sin[2b]==6, 4>y>0,1>a>0,Pi>b>0},{x,y,z,w,a,b}]
   
2. (周长):NSolve[{Sin[a] == 4/5, w/Cos[b] == (x + y)/Sin[b], z/Sin[b] == (4 - x)/Cos[b - a], w+(x + y)==6, z + (4 - x) ==6,  y == 3,  1 > a > 0, Pi/2 > b > 0},{x,y,z,w,a,b}]

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(面积):{{x -> 0.639546, y -> 2.66703, z -> 2.97579, w -> 1.81457, a -> 0.927295, b -> 1.06889}} 其中:x+y=3.30658,
(周长):{{x -> 0.791288, y -> 3.00000, z -> 2.79129, w -> 2.20871, a -> 0.927295, b -> 1.04329}}

ejsoon

感謝各位大神的參與和解答！

gxqcn

推广一下：在平面上，对于任意一条连续封闭曲线，是否必定存在一个十字线，可将其周长四等分？是否必定存在一个十字线，可将其所围面积四等分？
再进一步：推广到空间情形，寻找三个相互垂直的平面，将已知物体表面积或体积八等分。

hujunhua

gxqcn 发表于 2023-8-11 13:29
推广一下：在平面上，对于任意一条连续封闭曲线，是否必定存在一个十字线，可将其周长四等分？是否必定存在 ...

需要作些限制，不能太任意。平面上的，至少要限于简单闭曲线。
可以先讨论凸闭曲线，又称为卵形线。