绳多长时, 牛能吃到一半面积的草

王守恩

在贴吧看到的“牛吃草”问题

有一块半径为R的草地，一头牛被拴在这块草地的边界，问绳长多长时，这头牛能吃到一半面积的草（注意：牛是被拴在边界，而不是草地中心）

不知道答案是多少，但相信我，微积分真的很难很难算，不晓得有无好做的方法

northwolves

设半径为R的草地方程为$x^2+y^2=R^2$,牛系到(0,-R),绳长r,两圆交点$(x1,y1),(x2,y1)$

易知两交点分别为$(-\sqrt{-16 r^4 + 40 r^2 R^2 - 9 R^4}/(4 R) ,
(4 r^2 - 5 R^2)/(4 R)), (\sqrt{-16 r^4 + 40 r^2 R^2 - 9 R^4}/(4 R),
(4 r^2 - 5 R^2)/(4 R))$

两个弓形的面积和$S=(R^2/2)×(\alpha-sin\alpha)+(r^2/2)×(\beta-sin\beta)=\frac{1}{2}\pi R^2$
其中$\alpha=2arctan\frac{y_1}{x_1},\beta=2arctan\frac{R-y_1}{x_1}$

令$k=\frac{r}{R}$,得：
$k^2 \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{9-4 k^2}{\sqrt{-16 k^4+40 k^2-9}}\right)-\sin \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{9-4 k^2}{\sqrt{-16 k^4+40 k^2-9}}\right)\right)\right)+\left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{4 k^2-5}{\sqrt{-16 k^4+40 k^2-9}}\right)-\sin \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{4 k^2-5}{\sqrt{-16 k^4+40 k^2-9}}\right)\right)\right)=\pi$

解得：$k=1.095,即r=1.095R$

王守恩

我先找找，我错在那里了。改一道简单的。
有一块边长为2R的正方形草地，一头牛被拴在这块草地的边界，问绳长多长时，这头牛能吃到一半面积的草
（桩有3种情形: 1,顶点,  2,边的中点,  3,不在1,2）

northwolves

顶点比较简单,1/4个圆。$\frac{1}{4}\pir^2=\frac{1}{2}*(2R)^2\rightarrow r=\sqrt\frac{8}{\pi}*R$

northwolves

边的中点时，显然半圆面积$\frac{1}{2}\piR^2<2R^2$,故$r>R$

$x=arccos(R/r)$
牛能吃到的面积$\frac{1}{2}(\pi-2x)r^2+R*rsinx=\frac{1}{2}*(2R)^2$

解得：$x=0.5396,r=1.16562R$

northwolves

设栓牛点距某个顶点距离为s
如图1：$S=\frac{1}{2}(\pi-arccos(s/r))*r^2+\frac{1]{2}s*\sqrt{r^2-s^2}=\frac{1]{2}*(2R)^2$


如图2：$S=\frac{1}{2}(\pi-arccos(s/r)-arccos({2R-s}/r))*r^2+\frac{1]{2}s*\sqrt{r^2-s^2}+\frac{1]{2}(2R-s)*\sqrt{r^2-(2R-s)^2}=\frac{1]{2}*(2R)^2$


解方程求r即可

王守恩

northwolves 发表于 2023-10-2 23:43
设半径为R的草地方程为$x^2+y^2=R^2$,牛系到(0,-R),绳长r,两圆交点$(x1,y1),(x2,y1)$

易知两交点分别为$(- ...

我先找找，我错在那里了。设半径为R=1, 绳长=r,

1. NSolve[{(r/2)/Sin[a]==1,r^2(Pi-2a-Sin[2a])+4a-Sin[4a]==Pi,1>a>0},{a,r}]

复制代码

{{a -> 0.617948, r -> 1.15873}}

yuange1975

L/R=x。
两圆相交面积等于两个弓形面积，弓形面积等于扇形面积减三角形面积。就计算两个角度的简单问题。f1是三角形面积直接角度表示，f2是三角形面积的长度表示，两个都是一样的结果。

解方程Python代码：

from mpmath import *
mp.dps=30
f1=lambda x:x*x*(acos(1/2*x)-1/2*sin(2*acos(1/2*x)))+acos(1-1/2*x*x)-1/2*sin(2*acos(1-1/2*x*x))-pi/2

f2=lambda x:x*x*(acos(1/2*x)-1/2*x*sqrt(1-1/4*x*x))+acos(1-1/2*x*x)-(1-1/2*x*x)*x*sqrt(1-1/4*x*x)-pi/2
print(findroot(f1,1))
print(findroot(f2,1))

运行结果：
Python3IDE(Python 3.7) running!
1.15872847301812151782823350993
1.15872847301812151782823350993
Pytho3IDE run end!

王守恩

有一块半径为1的草地，一头牛被拴在这块草地的边界，问绳长=r时，这头牛能吃到一半面积的草
r=1.158728473018121517828233509933509149688292266492096511820695884820669802559196093199321610730860438}
参考 OEIS--A133731        2023 年 7 月 8 日

1. NSolve[{r^2==4Sin[a]^2==(Pi-4a+Sin[4a])/(Pi-2a-Sin[2a]),1>a>0},{a,r}]

复制代码

王守恩

假如草地是正三角形, 还可以有吗？
有一块边长为2R的正三角形草地, 一头牛被拴在这块草地的边界, 问绳长多长时, 这头牛能吃到一半面积的草
（桩有3种情形: 1,顶点,  2,边的中点,  3,不在1,2）