抛硬币概率问题

EulerKepler

同时向空中抛出两枚硬币，落地后，发现其中一枚是正面朝上，而另外一枚掉到了沙发底下看不到，问这枚看不到的硬币，正面朝上的概率是多少？有没有软件或者通过编程获得正确答案？

sheng_jianguo

两枚硬币是独立的，如果假定硬币正面朝上和反面朝上概率相等，则看不到的硬币正面朝上的概率为0·5。

EulerKepler

sheng_jianguo 发表于 2023-10-1 23:11
两枚硬币是独立的，如果假定硬币正面朝上和反面朝上概率相等，则看不到的硬币正面朝上的概率为0·5。
...

答案是1/3。因为两枚硬币的结果是｛正正，正反，反正， 反反｝，四种情况都是等概率的。
问题等价于，现在发现了一枚是正面朝上，问另外一枚也正面朝上的概率。
根据古典概型，假设A事件表示有一枚硬币朝上，B事件表示两枚硬币都朝上，那么P(B|A) = n(AB)/n(A)=1/3。
您看对吗？

EulerKepler

这个问题和高中数学人教版上的这个例题第2问等价。

Jack315

这个问题让我想起了“三门问题”：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/79224318

楼上的两个答案看起来都没毛病，但正确答案貌似应该只有一个。
究竟哪个是正确的呢？
还是说两个都对，只是因为看问题的角度不同而得到了不同的结论？

有没有大侠能说明白这个问题，能让（大部分）人信服的那种？

mathe

如果抛硬币，已知一枚朝上，另外一枚看不到，那么另外一枚朝上的概率自然是1/2，它的状态不受另外一枚干扰。
如果两枚状态都看不到，现在有一个可靠的人去查看了状态，告诉你至少有一枚状态朝上，那么现在两枚硬币的状态就纠缠在一起，不再独立了，已经和前面的问题不同了（淘汰了两者都朝下的状态），这时两枚硬币都朝上的概率为1/3

EulerKepler

mathe 发表于 2023-10-5 07:30
如果抛硬币，已知一枚朝上，另外一枚看不到，那么另外一枚朝上的概率自然是1/2，它的状态不受另外一枚干扰 ...

应该不需要一个可靠的人去查看吧？因为2枚硬币掉到地上是所有人都看到的结果。如果这两枚硬币有编号，而你看到是1号硬币朝上，那么2号硬币是否朝上的概率就是0.5，但题目没有交代这两枚硬币有编号，所以另外那枚看不到的硬币朝上的概率是1/3。他们的状态已经纠缠在一起了。

EulerKepler

Jack315 发表于 2023-10-5 07:07
这个问题让我想起了“三门问题”：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/79224318

你说的三门问题，高中数学教材中有解释，利用贝叶斯公式求解。

EulerKepler

EulerKepler 发表于 2023-10-5 12:23
应该不需要一个可靠的人去查看吧？因为2枚硬币掉到地上是所有人都看到的结果。如果这两枚硬币有编号，而 ...

和是否编号是无关，但和你是否知道那枚已经正面朝上的是哪一枚有关系。

Jack315

EulerKepler 发表于 2023-10-5 13:50
你说的三门问题，高中数学教材中有解释，利用贝叶斯公式求解。

"公认的答案"是用条件概率来计算。
换句话说，不使用条件概率就是“错的”，就像 2# 的答案。
这种”错的”答案和我们的直觉是如此的契合，很难认为是“错的”。
造成这种情况的原因究竟是什么呢？

在这里我们没有“标准答案”，更没有考试压力。
思维可以天马行空，不受任何约束。
引经据典当然没问题，但经典也得把理说明白，让人信服。
就像 4# 的答案，就没有说明白造成两种结果差异的原因是什么。
也只是引经据典而已。

在“三门”问题上，如果是参加考试或者实际参加娱乐节目，
当然选择换个门，可以显得自己“正确”，合大流。
但这个概率真得提高了吗？

假如主持人打开的门为 C，一开始选的是 A，
然后换 B 和一开始选的是 B，然后换 A 。
这两种情形下概率提高的原因究竟是什么？
两种情况的差别又是什么？