抛硬币概率问题

EulerKepler

EulerKepler 发表于 2023-10-5 14:00
和是否编号是无关，但和你是否知道那枚已经正面朝上的是哪一枚有关系。 ...

这个说法有问题，我才疏学浅，也不知道该用什么来表述了。

sheng_jianguo

　　不好意思，由于最近较忙，我对本问题答复后，刚看到后面大家的讨论。在此关于本问题再谈一点我的看法，有什么不正确的地方请这里的高手多多指教：
1. 我认为：mathe 的答复最正确，他看到了问题的本质。
2. 讨论本问题的一个关键是要搞清楚问题的提法在什么情况下是等价的，楼主认为本问题和高中数学人教版上的例题第2问等价是不正确的，原因是：发现其中不在沙发底下的一枚是正面朝上是可以推出两枚硬币至少有一枚是正面朝上，但两枚硬币至少有一枚是正面朝上推不出发现其中不在沙发底下的一枚一定是正面朝上。故本问题和和高中数学人教版上的例题第2问是不等价的。本问题和以下的生男孩生女孩问题才是等价的问题：一位你多年不见的朋友邀请你去他家，你只知道他有两个孩子，当你到他家时只看到他的一个女儿。如果生男生女概率相等，问你这个朋友的两个孩子都是女儿的概率是多少？
3. 解决数学问题（包括做习题）最不好的方法就是不清楚问题本质下乱套用已有的“标准答案”，要搞清楚他人的“标准答案”是在什么确切条件下用什么方法解决的，要把“标准答案”变成自己完全搞清楚的东西。
4. 不要相信教科书上的内容都是正确的。我记得我国一位很著名的数学家（我的一门专业课是他教的）曾经说过，不要以为数学成文的内容全部都是正确无误的，据调查研究发现：由于种种原因，90%以上的数学书或数学论文中都是有错误的地方。我当时不能理解他的说法，认为数学是世界上最严谨的学科，数学成文的内容不可能有那么多错误。但随着参加工作后接触东西越多，我觉得他的说法是有道理的，其中不光有需要仔细分析才能得出其中有错误的内容，也有许多是明显的错误。下面就举我碰到很多事例中的两个简单例子：
a）三年前，有朋友让我看一篇数学论文（据说此论文发表在《中国科技论文》上，没查证），问我论文是否有问题。此论文作者认为，他用严格的数学推理方法，得出了可以让世界感到十分吃惊数学结论。我告诉朋友，他论文中的推理是错误的，结论不成立，关键是用了一个错误的数学推理公式（只要懂得基本逻辑推理的都能看出这个错误）。论文作者的依据是此推理公式是世界上一些著名大学（也包括我国在内的其它高校）用了几十年的数学教材中作为定理的推理公式，论文参考文献中的这本教材是2001年第4版。我查了资料确认，此教材在2012年第六版中，已去掉了这错误的推理公式。
b）上面例子说明经典书有从错误到正确的情况，也有反过来的情况。数学书中可能有错，著名标准规范（具有法律效力）中不会有错误了吧，不一定。我在为某期刊审一篇论文时，发现论文中用到的一个计算公式采用了美国国家标准中一个规范的公式，我查了此规范的最新版（论文应采用最新现行版标准规范），看到作者采用的公式变了，由以前版的反比例公式改成了正比例公式（就好比v=s/t改成了v=st），这是明显不符合事实的错误公式，我估计是排版问题，以后新版规范的此公式必定会改回来。
5. 我对“三门概率问题”比较感兴趣，曾经结合国内外研究成果仔细分析了三门概率的合理结果。其中主要观点已在本论坛用通俗方式叙述，详见蒙特门难题
6. 本问题不同于“三门概率问题”，在已给定的条件下概率结果是确定的。为了使对概率计算分析不是很清楚者更能理解本问题，下面将我编程模拟本问题的计算情况说一下：为了分析清楚本问题，假设两个硬币分别记为1号币和2号币。在某一个计算过程中，先产生三个0至1之间的随机数R1，R2，R3（随机数Ri满足0≤Ri＜1）。R1模拟1号币出现正面概率（R1＜0.5模拟1号币正面朝上，R1≥0.5模拟1号币正面朝下），同样方法R2模拟2号币出现正面概率，R3模拟1号币不在沙发底下概率P1（R3＜P1模拟1号币不在沙发底下，R3≥P1模拟1号币在沙发底下），P1在某个计算过程中可在区间[0,1]中随意取一个定值，不同的计算过程可以取不同的值。如果R1，R2，R3之间关系在本问题中不存在，如：R3＜P1且R1≥0.5（1号币不在沙发底下且1号币正面朝下），R3≥P1且R2≥0.5（1号币在沙发底下且2号币正面朝下）则重新计算随机数R1，R2，R3，否则记录一个过程的计算次数NJ（NJ=NJ+1），以及发生两枚硬币都朝上的次数NS（当R1＜0.5且R2＜0.5时，NS=NS+1），记录完后如果NJ值没有达到预定值NZ则重新开始上面计算。一个过程结束前，计算模拟发生两枚硬币都朝上概率P（P=NS/NJ）。在实际计算中，按P1的不同值（其中包括0和1）算了许多个过程，每个过程都算了1千万次（NZ=10000000）。所有结果P都在0.499到0.501之间（其中有的非常接近0.5），计算结果P与0.5的偏差与P1大小无关，产生偏差的主要原因是一般计算软件产生的随机数不是真正的随机数而是伪随机数。上面计算结果表明：不管硬币是否编号及规定的其中一个硬币不在沙发底下的概率是多少，本问题发生两枚硬币都朝上概率都应是0.5（至少不是1/3），这也说明了mathe和我以前答复中认为本问题沙发底下硬币出现正面朝上的概率和另一枚硬币状况无关是独立的观点没错。当然楼主也可以自己编程来证实你的观点。