正2023多边形

王守恩

边长=1的正2023多边形, 有2023个顶点, 连接顶点, 可以得到多少条线段? 长度各是多少?

nyy

以前有人研究过，可以分成多少个部分。
这个问题你可以用CAD研究一下，然后自己慢慢数就行了

northwolves

边长=1的正2023多边形, 有2023个顶点, 连接顶点, 可以得到多少条线段?
---------------------------
$C_2023^2=2045253$

northwolves

设单位圆内接正n多边形的边长为s,显然$s=2sin\frac{\pi}{n}$

设该正n多边形任意两顶点A,B的坐标为$(cos\frac{2a\pi}{n},sin\frac{2a\pi}{n}),(cos\frac{2b\pi}{n},sin\frac{2b\pi}{n})$
则有$d_{AB}=\sqrt{(cos\frac{2a\pi}{n}-cos\frac{2b\pi}{n})^2+(sin\frac{2a\pi}{n}-sin\frac{2b\pi}{n})^2}=\sqrt{2(1-cos\frac{2(a-b)\pi}{n})}$
$a \in[0,2021],b \in[a+1,2022],a-b \in [1,2022]$

将单位圆放大到边长为1，此时$d_{AB}=\frac{|sin \frac{n\pi}{2023}|}{sin\frac{pi}{2023}},n \in[1,2022]$，共有2022/2=1011种数值。

mathe

应该没有三线共点，https://bbs.emath.ac.cn/thread-1112-1-1.html

王守恩

我从来不做复杂的题(走的是大路货), 题目源自一道悬赏题。
平面上有 n 个点, 我们总可以构造出 n(n-1)/2 条线段。问题是：
怎么设计这 n 个点，使得我们构造的 n(n-1)/2 条线段中，有 n-1 条线段的长度相同,
有 n-2 条线段的长度相同,...有 2 条线段的长度相同，有 1 条线段的长度与其他的都不相同。

nyy

Regular Polygon Division by Diagonals

https://mathworld.wolfram.com/Re ... ionbyDiagonals.html

nyy

王守恩 发表于 2023-12-19 08:18
我从来不做复杂的题(走的是大路货), 题目源自一道悬赏题。
平面上有 n 个点, 我们总可以构造出 n(n-1)/2 条 ...

可以帮你算一下2023变形所对应的圆周率

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. aa=(360deg)/2023/2
   
4. pi=2023*(1*Sin[aa]*2)/2
   
5. N[pi,10]
   

复制代码

得到结果如下
3.141591391

可以看出精确到小数点后5位

王守恩

我从来不做复杂的题(走的都是大路货), 题目源自一道悬赏题。
平面上有 n 个点, 我们总可以构造出 n(n-1)/2 条线段。问题是：
怎么设计这 n 个点，使得我们构造的 n(n-1)/2 条线段中，有 n-1 条线段的长度相同,
有 n-2 条线段的长度相同,...有 2 条线段的长度相同，有 1 条线段的长度与其他的都不相同。

譬如: n=9,圆内接9边形(顶点1,2,3,4,5,6,7,8,9), 8条边长度相同(21,32,43,54,65,76,87,98), 1条稍短(91)。则:
"1"有8条=21,32,43,54,65,76,87,98，
"2"有7条=31,42,53,64,75,86,97，
"3"有6条=41,52,63,74,85,96,
"4"有5条=51,62,73,84,95,
"5"有4条=61,72,83,94,
"6"有3条=71,82,93,
"7"有2条=81,92,
"稍短1条=91。
一般地,  圆内接n边形,  n-1条边长度相同,  1条稍短。则:
"1"有n-1条，
"2"有n-2条，
"3"有n-3条，
"4"有n-4条，
......
"n-4"有4条，
"n-3"有3条，
"n-2"有2条，
"稍短有1条。
"k"表示连续k条相同边对应的弦长。
各位看看！这解法有问题吗？谢谢！

mathe

一段圆弧n-1等分包含两段点的n个点