如何根据莱布尼茨级数求圆周率得到应该多少项？

northwolves

1. s = {2, 18, 118, 1687, 10793, 136120, 1530011, 18660269, 156001208,
   
2.   1695509435}; Table[{n, N[p3[n], 30]}, {n, s}] // MatrixForm

复制代码

\begin{array}{cc}
2 & 3.46666666666666666666666666667 \\
18 & 3.19418790923194119578549953994 \\
118 & 3.14999586659346998324282737797 \\
1687 & 3.14100023658016021431039880615 \\
10793 & 3.14150000952847637080565879976 \\
136120 & 3.14159999999482983463504338118 \\
1530011 & 3.14159200000014818999687635402 \\
18660269 & 3.14159260000000059344736321673 \\
156001208 & 3.14159265999999996961688712845 \\
1695509435 & 3.14159265300000000065019395736 \\
\end{array}

northwolves

6楼数据有误，前10项如下： {2, 18, 118, 1687, 10793, 136120, 1530011, 18660269, 156001208, 1695509435}

nyy

northwolves 发表于 2023-12-25 12:42
6楼数据有误，前10项如下： {2, 18, 118, 1687, 10793, 136120, 1530011, 18660269, 156001208, 1695509435 ...

你看起来是对的，因为我找到了一个与你接近的结果。
A126809                Minimum number of terms required in the Gregory-Leibniz series, i.e., 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...), to obtain a value of Pi correct to n decimal digits.

https://oeis.org/A126809

3, 19, 119, 1688, 10794, 136121, 1530012, 18660270, 156001209, 1695509436, 11136696006, 102111268282, 1260654956982, 10725187563686, 147895359776637, 1313133218365935, 16250291773636035, 118166387818704586, 1860961545617561679, 15963377896404315146

nyy

nyy 发表于 2023-12-25 12:54
你看起来是对的，因为我找到了一个与你接近的结果。
A126809                Minimum number of terms required in the  ...

对上面的数取自然对数，依次精确到小数点后零位开始。

1. 0        1.09861
   
2. 1        2.94444
   
3. 2        4.77912
   
4. 3        7.4313
   
5. 4        9.28675
   
6. 5        11.8213
   
7. 6        14.2408
   
8. 7        16.7419
   
9. 8        18.8654
   
10. 9        21.2512
    
11. 10        23.1335
    
12. 11        25.3493
    
13. 12        27.8627
    
14. 13        30.0036
    
15. 14        32.6275
    
16. 15        34.8112
    
17. 16        37.3269
    
18. 17        39.3109
    
19. 18        42.0676
    
20. 19        44.2168
    

复制代码

对这两列数进行回归。
y=a*x+b回归，求解结果

1. DataFit version 9.0.59                                               
   
2. Results from project "Untitled1"                                               
   
3. Equation ID: a*x+b                                               
   
4. Model Definition:                                               
   
5. Y = a*x+b                                               
   
6.                                                
   
7. Number of observations = 20                                               
   
8. Number of missing observations = 0                                               
   
9. Solver type: Nonlinear                                               
   
10. Nonlinear iteration limit = 250                                               
    
11. Diverging nonlinear iteration limit =10                                               
    
12. Number of nonlinear iterations performed = 11                                               
    
13. Residual tolerance = .0000000001                                               
    
14. Sum of Residuals = -1.16462395283179E-13                                               
    
15. Average Residual = -5.82311976415895E-15                                               
    
16. Residual Sum of Squares (Absolute) = 1.18948014687759                                               
    
17. Residual Sum of Squares (Relative) = 1.18948014687759                                               
    
18. Standard Error of the Estimate = .257064642419155                                               
    
19. Coefficient of Multiple Determination (R^2) = 0.9996591553                                               
    
20. Proportion of Variance Explained = 99.96591553%                                               
    
21. Adjusted coefficient of multiple determination (Ra^2) = 0.9996402195                                               
    
22. Durbin-Watson statistic = 1.37189817427394                                               
    
23.                                                
    
24. Regression Variable Results                                               
    
25. Variable        Value        Standard Error        t-ratio        Prob(t)               
    
26. a        2.29042193984962        9.96853926163001E-03        229.7650518        0.0               
    
27. b        .499532571428571        .110780928926492        4.509192839        0.00027               
    
28.                                                
    
29. 68% Confidence Intervals                                               
    
30. Variable        Value        68% (+/-)        Lower Limit        Upper Limit               
    
31. a        2.29042193984962        .010194825102869        2.28022711474676        2.30061676495249               
    
32. b        .499532571428571        .113295656013123        .386236915415448        .612828227441694               
    
33.                                                
    
34. 90% Confidence Intervals                                               
    
35. Variable        Value        90% (+/-)        Lower Limit        Upper Limit               
    
36. a        2.29042193984962        1.72864439335926E-02        2.27313549591603        2.30770838378322               
    
37. b        .499532571428571        .192105208851429        .307427362577142        .69163778028               
    
38.                                                
    
39. 95% Confidence Intervals                                               
    
40. Variable        Value        95% (+/-)        Lower Limit        Upper Limit               
    
41. a        2.29042193984962        2.09429041347585E-02        2.26947903571487        2.31136484398438               
    
42. b        .499532571428571        .232739653581666        .266792917846905        .732272225010237               
    
43.                                                
    
44. 99% Confidence Intervals                                               
    
45. Variable        Value        99% (+/-)        Lower Limit        Upper Limit               
    
46. a        2.29042193984962        2.86934434106758E-02        2.26172849643895        2.3191153832603               
    
47. b        .499532571428571        .318871825822013        .180660745606558        .818404397250585               
    
48.                                                
    
49. Variance Analysis                                               
    
50. Source        DF        Sum of Squares        Mean Square        F Ratio        Prob(F)       
    
51. Regression        1        3488.6117205921        3488.6117205921        52791.97903        0       
    
52. Error        18        1.18948014687759        6.60822303820882E-02                       
    
53. Total        19        3489.80120073898                               
    
54.                                                
    

复制代码

Adjusted coefficient of multiple determination (Ra^2) = 0.9996402195，由此可见求解结果很棒！

mathematica自身也能回归，看结果挺好的。

northwolves

1. a[n_]:=If[x=Pi*10^(n-1);x-Floor[x]<1/2,1+2*Floor[(1/(Ceiling[x]/10^(n-1)-Pi)+1)/2],2*Ceiling[(1/2)/(Pi-Floor[x]/10^(n-1))]]-1
   
2. Table[{n, a[n]}, {n, 50}]//TableForm

复制代码

1        2
2        18
3        118
4        1687
5        10793
6        136120
7        1530011
8        18660269
9        156001208
10        1695509435
11        11136696005
12        102111268281
13        1260654956981
14        10725187563685
15        147895359776636
16        1313133218365934
17        16250291773636034
18        118166387818704585
19        1860961545617561678
20        15963377896404315145
21        135932051103571157542
22        1554283475897382471529
23        17662626715564397587762
24        151132271710116102119050
25        1621480078376944259664240
26        12007756595167627295803303
27        148798516355071747953955428
28        1387930608002124805665571032
29        12578160026496293421654498813
30        105231209730817042685043045519
31        1988529378391153472498106713627
32        10296985360295099300242378337134
33        140532280588161380216741968668848
34        1130969465418316613122144411099901
35        11876883832717324052606712046064011
36        172329690253634524448691120059890634
37        1245592780371894546757396650798812590
38        10291305765302421001925255485214600385
39        139481698212026291352792154938807594551
40        1203948046785304256294604316354115306036
41        14409351647261785287940860003798052603575
42        106390051332317419361281881968008708348223
43        1664932655458558697546185038928282779926142
44        10062882366148198857375507339778071671640807
45        106665462672719686056964495868703945738453809
46        1600270947570955944191396831740654374784922782
47        13314547221760633025741680683682907005848330079
48        195854888940921370122870495649678333741246283067
49        1118344282273938514999816256095191322694097116362
50        10618075515346192427279269236869564149056602208656

northwolves

https://oeis.org/A126809 里面的公式栏有解释

nyy

northwolves 发表于 2023-12-25 13:10
1        2
2        18
3        118

莱布尼茨的这个级数，收敛的不是一般的慢！

nyy

northwolves 发表于 2023-12-25 13:28
https://oeis.org/A126809 里面的公式栏有解释

计算圆周率的100位，
割圆术差不多需要开177次根号。
马青公式需要计算72项，
莱布尼茨级数需要计算10^99项（只精确到数量级）
拉马努金级数需要计算前13项！

northwolves

下面两个数列等价，收敛于圆周率，但比莱布尼茨级数收敛更慢：$\{3,27,187......\}$
$a[0]=2,a[1]=4,a[n]=( (2 n^2-1) a[ n-1]+(n-1) n (2n+1) a[n-2] )/(n (
   n+1) ( 2 n-1))$
$b[0]=2,b[n]=b[n - 1]*(n/(n + 1))^((-1)^n)$

nyy

northwolves 发表于 2023-12-25 13:10
1        2
2        18
3        118

1. a[n_]:=If[x=Pi*10^(n-1);x-Floor[x]<1/2,1+2*Floor[(1/(Ceiling[x]/10^(n-1)-Pi)+1)/2],2*Ceiling[(1/2)/(Pi-Floor[x]/10^(n-1))]]-1

复制代码

你的这个代码写的不好，因为容易与外部的x变量打架，最好把x局部变量化。

我用最笨的改变量名的办法。

1. a[n_]:=If[xx=Pi*10^(n-1);xx-Floor[xx]<1/2,1+2*Floor[(1/(Ceiling[xx]/10^(n-1)-Pi)+1)/2],2*Ceiling[(1/2)/(Pi-Floor[xx]/10^(n-1))]]-1
   

复制代码

我线性回归失败，因为你的变量名x与我的回归变量名打架了。