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[求助] 连乘积(1+12/(Pi-2)^2/(Pi-3))的极限值

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发表于 2024-3-4 18:23:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如题\[ \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \left(1+{{12}\over{(P_i-2)^2*(P_i-3)}}\right)\],\(P_i \geq 7\),\(P_i\)∈素数
求其极限值,这是解决一道数学题时涉及到的一个极限值,我是用vfp编程求出来的(近似值,素数P到10亿右边,即大于10亿后某一节点截止)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-3-5 09:16:03 | 显示全部楼层
这个题,即使聪明如郭先强,也求解不出来。论坛上应该没人能求解出来。

取个对数,然后求和?

点评

看来现在的数学对此类问题求极限还没有好方法。我是用最笨的办法,编程求近似值。  发表于 2024-3-5 09:46
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发表于 2024-3-5 20:43:05 | 显示全部楼层
下列代码没计算出结果:
  1. f[n_] := 1 + 12/((Prime[n] - 2)^2 (Prime[n] - 3))
  2. p[n_] := Product[f[i], {i, 5, n}]
  3. DiscreteLimit[p[n], n -> \[Infinity]]
复制代码


计算个近似值:
  1. N[p[10000], 30]
  2. 1.03921509108900480230886146352

  3. N[p[100000], 30]
  4. 1.03921509113586173885204156521
复制代码


不知道 1.039215 是不是一个好的近似。

点评

它的近似值为:1.1639209020696900 (计算到10亿右边某位置,因为我只有那么大的素数表)。  发表于 2024-3-5 21:13
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发表于 2024-3-5 20:52:00 | 显示全部楼层
(软件)求不出结果的原因可能与素数的特性有关。
如果能找到两个特性比较丝滑的序列把题目中的序列夹在中间,
且这两个序列有相同的极限,这个题就可能有解。
至少可以估计出这个极限的范围。

点评

原来是前辈……班门弄斧哈,失敬了。  发表于 2024-3-5 22:45
这样可以通过求最密k生素数的系数来间接求出其极限值。  发表于 2024-3-5 21:22
如果是z-(y-x)=n,就变成了一个含有三组孪生素数对,和一组表兄素数构成的7生素数了,与它的系数(公式表达式中的)成有理数比例关系,这样可  发表于 2024-3-5 21:21
它是在x+y+z=n中,x,y均为孪中,z是最密3生素数(0,2,6)的中项,或者(P,P+2,P+6)的中项。  发表于 2024-3-5 21:18
如果知道问题的产生,可以求出另一种极限值,然后用其比例获得。它与最密7生素数的系数相关联。  发表于 2024-3-5 21:16
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 楼主| 发表于 2024-3-19 22:19:07 | 显示全部楼层
2024年3月19日18:19周二农历二月初十
现在我们分析一下孪中加最密6生素数(P,P+4,P+6,P+10,P+12,P+16)的中项之和的分布。
对于此类问题,我们一般情况下是从,剩余类个数与合成方法数的关系恒等式谈起,
\((P-2)*(P-6)=P^2-8P+12=P*(P-8)+12\),常数项是12,这12种合成方法,花落谁家,
取决于内部合成,当然需要满足一定的条件,就是P-8≥0,即素数P≥8,所以,要想
步入正规(满射),需要素数P≥11,这样对于小于11的素数P,要具体素数具体分析。
它们就只能分析外部合成(弱化的合成,合二为一的整体分析)。
从内部合成看,常数12种合成方法涉及到10种剩余类,只有2个剩余类分到2种合成方法
(在平均数以外),其余8个剩余类,每个剩余类只有一个合成方法(常数项12种之一)
合成方法数与剩余类的关系恒等式:
\((P-2)*(P-6)=2*(P-6)+8*(P-7)+(P-10)*(P-8)\)

孪生素数对        0        2                               
中项置零        -1        1                               
求其逆元        1        -1                               

最密6生素数        0        4        6        10        12        16
中项置零        -8        -4        -2        2        4        8
求其逆元        8        4        2        -2        -4        -8

内部合成        8        4        2        -2        -4        -8
1        9        5        3        -1        -3        -7
-1        7        3        1        -3        -5        -9

相对距离        统计2
9        1
7        1
5        1
3        2
1        1
-1        1
-3        2
-5        1
-7        1
-9        1
合计        12

素数        2        3        5        7        11        13
1        1        1        1        1        1        1
-1        1        2        4        6        10        12
未占剩余类        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        2        2        2        2
未占剩余类        申        占        3        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        4        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        5        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        8        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        9        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        10
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        11

素数        2        3        5        7        11        13
8        0        2        3        1        8        8
4        0        1        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
-4        0        2        1        3        7        9
-8        0        1        2        6        3        5
未占剩余类        1        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        占        1        1
未占剩余类        申        占        申        占        5        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        6        6
未占剩余类        戌        占        戌        占        10        7
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        10
未占剩余类        子        占        子        占        子        12

外部合成                                               
素数2        0                                       
1        1                                       
合成除2余1的剩余类                                               
2n+1                                               

素数3        0                       
0        0                       
合成整除3的剩余类                               
素数2,3的作用结果,只能合成6n+3的正整数                               

素数5        0        2        3       
0        0        2        3       
不能合成除5余1或余4的正整数                               

素数7        0        2        3        4        5
0        0        2        3        4        5
不能合成除7余1或余6的正整数                                       

素数11        0        2        3        4        5        6        7        8        9
0        0        2        3        4        5        6        7        8        9
1        1        3        4        5        6        7        8        9        10
5        5        7        8        9        10        0        1        2        3
6        6        8        9        10        0        1        2        3        4
10        10        1        2        3        4        5        6        7        8
能合成11的所有剩余类,即完全剩余系。                                                                       

11剩余类        统计2
0        3
1        4
2        4
3        5
4        4
5        4
6        4
7        4
8        5
9        4
10        4
合计        45

素数13        0        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11
0        0        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11
1        1        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12
3        3        5        6        7        8        9        10        11        12        0        1
6        6        8        9        10        11        12        0        1        2        3        4
7        7        9        10        11        12        0        1        2        3        4        5
10        10        12        0        1        2        3        4        5        6        7        8
12        12        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
能合成13的所有剩余类,即完全剩余系。                                                                                       

13剩余类        统计2
0        5
1        6
2        5
3        7
4        6
5        6
6        6
7        6
8        6
9        6
10        7
11        5
12        6
合计        77
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 楼主| 发表于 2024-3-20 22:09:47 | 显示全部楼层
从外部合成,分析公共系数,有了公共系数,加上调节系数,对一切都能迎刃而解。
对于素数2来说,就是:\(2*{1\over1}\),对于素数3来说,就是:\(3*{1\over1}\),
对于素数5来说,就是:\(5*{1\over3}\),对于素数7来说,就是:\(7*{1\over5}\),
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 楼主| 发表于 2024-3-20 22:43:16 | 显示全部楼层
2024年3月19日18:19周二农历二月初十
现在我们分析一下孪中加最密6生素数(P,P+4,P+6,P+10,P+12,P+16)的中项之和的分布。
对于此类问题,我们一般情况下是从,剩余类个数与合成方法数的关系恒等式谈起,
\((P-2)*(P-6)=P^2-8P+12=P*(P-8)+12\),常数项是12,这12种合成方法,花落谁家,
取决于内部合成,当然需要满足一定的条件,就是P-8≥0,即素数P≥8,所以,要想
步入正规(满射),需要素数P≥11,这样对于小于11的素数P,要具体素数具体分析。
它们就只能分析外部合成(弱化的合成,合二为一的整体分析)。
从内部合成看,常数12种合成方法涉及到10种剩余类,只有2个剩余类分到2种合成方法
(在平均数以外),其余8个剩余类,每个剩余类只有一个合成方法(常数项12种之一)
合成方法数与剩余类的关系恒等式:
\((P-2)*(P-6)=2*(P-6)+8*(P-7)+(P-10)*(P-8)\)
2024年3月20日22:15周三农历二月十一
从外部合成,分析公共系数,有了公共系数,加上调节系数,对一切都能迎刃而解。
对于素数2来说,就是:\(2*{1\over1}\),对于素数3来说,就是:\(3*{1\over1}\),
对于素数5来说,就是:\(5*{1\over3}\),对于素数7来说,就是:\(7*{1\over5}\),
对于素数11来说,就是:\(11*{{(11-8)}\over{(11-2)*(11-6)}}\),,
对于素数13来说,就是:\(13*{{(13-8)}\over{(13-2)*(13-6)}}\)
当素数P≥11时,就有统一表达式:\(P*{{(P-8)}\over{(P-2)*(P-6)}}\)
从素数2到素数7,经过约分是:14,然后当素数P≥11后,统一口径,都是:
\(P*{{(P-8)}\over{(P-2)*(P-6)}}\),此极限交给vfp了,因为我只会vfp编程,其他的不会。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-3-20 22:53:20 | 显示全部楼层
SELECT 1
USE H:\素数式系数\素数表十亿.dbf ALIAS 素数表
kssj=SECONDS()  &&取出开始时间
s=14.000000000000000000
SELECT 1
  GO 5
  A=素数
  s=s*(A*(A-8)/(A-2)/(A-6))
        SKIP 1
        FOR  j=1 TO 50876200
        SELECT 1
        B=素数
        s=s*(B*(B-8)/(B-2)/(B-6))
        SELECT 1  
        SKIP
        ENDFOR

?s
=MESSAGEBOX("运行时间:"+LTRIM(STR(INT((SECONDS()-kssj)/60)))+"分"+LTRIM(STR(MOD(SECONDS()-kssj,60),5,2))+"秒",64,"运行时间提示")
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-3-20 23:18:04 | 显示全部楼层
2024年3月19日18:19周二农历二月初十
现在我们分析一下孪中加最密6生素数(P,P+4,P+6,P+10,P+12,P+16)的中项之和的分布。
对于此类问题,我们一般情况下是从,剩余类个数与合成方法数的关系恒等式谈起,
\((P-2)*(P-6)=P^2-8P+12=P*(P-8)+12\),常数项是12,这12种合成方法,花落谁家,
取决于内部合成,当然需要满足一定的条件,就是P-8≥0,即素数P≥8,所以,要想
步入正规(满射),需要素数P≥11,这样对于小于11的素数P,要具体素数具体分析。
它们就只能分析外部合成(弱化的合成,合二为一的整体分析)。
从内部合成看,常数12种合成方法涉及到10种剩余类,只有2个剩余类分到2种合成方法
(在平均数以外),其余8个剩余类,每个剩余类只有一个合成方法(常数项12种之一)
合成方法数与剩余类的关系恒等式:
\((P-2)*(P-6)=2*(P-6)+8*(P-7)+(P-10)*(P-8)\)
2024年3月20日22:15周三农历二月十一
从外部合成,分析公共系数,有了公共系数,加上调节系数,对一切都能迎刃而解。
对于素数2来说,就是:\(2*{1\over1}\),对于素数3来说,就是:\(3*{1\over1}\),
对于素数5来说,就是:\(5*{1\over3}\),对于素数7来说,就是:\(7*{1\over5}\),
对于素数11来说,就是:\(11*{{(11-8)}\over{(11-2)*(11-6)}}\),,
对于素数13来说,就是:\(13*{{(13-8)}\over{(13-2)*(13-6)}}\)
当素数P≥11时,就有统一表达式:\(P*{{(P-8)}\over{(P-2)*(P-6)}}\)
从素数2到素数7,经过约分是:14,然后当素数P≥11后,统一口径,都是:
\(P*{{(P-8)}\over{(P-2)*(P-6)}}\),此极限交给vfp了,因为我只会vfp编程,其他的不会。
14*∏(\({{P_i*(P_i-8)}\over{(P_i-2)*(P_i-6)}}\)),\(P_i\)≥11,\(P_i\)∈素数,i=1,i趋于∞。
上式的极限值:6.504078220968740000
14*\(\displaystyle\prod_{i=1}^∞ ({{P_i*(P_i-8)}\over{(P_i-2)*(P_i-6)}}) \),\(P_i\)≥11,\(P_i\)∈素数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-3-28 21:46:35 | 显示全部楼层
2024年3月28日21:17周四农历二月十九
今天对二三四生素数中项和合成分布做分析,还是从合成方法数与剩余类个数的
关系恒等式谈起,\((P-2)*(P-3)*(P-4)=P^3-9P^2+26P-24=P*(P^2-9P+26)-24\)
平均每个剩余类都拥有:\((P^2-9P+26)\),素数P满足一定条件后,也就最小
素数P问题,从内部合成来看,素数P≥11时就满足了最小条件,之前需具体
问题具体分析,它是弱化版的,或者说是化为“整体1”的存在。
只于后边的常数项-24是如何分配的,完全取决于内部合成。那缺少的24种
合成方法,分布到9个剩余类上,具体来说,它们的分布是:
‘±1≡N)(mod P),这里的N是合成值,一种合成方法;-6,4≡N)(mod P),二种
合成方法;2,4,6≡N)(mod P,三种合成方法);-2≡N)(mod P),四种合成方法
0≡N)(mod P),五种合成方法。
所以,它们的关系式为:
\((P-2)*(P-3)*(P-4)=1*(P^2-9P+21)+1*(P^2-9P+22)+3*(P^2-9P+23)\\+2*(P^2-9P+24)+2*(P^2-9P+2)+(P-9)*(P^2-9P+26)\)

孪生素数对        0        2               
中项置零        -1        1               
求其逆元        1        -1               

最密3生素数        0        2        6       
中项置零        -3        -1        3       
求其逆元        3        1        -3       

最密4生素数        0        2        6        8
中项置零        -4        -2        2        4
求其逆元        4        2        -2        -4

内部合成        3        1        -3       
1        4        2        -2       
-1        2        0        -4       

相对距离        统计2
4        1
2        2
0        1
-2        1
-4        1
合计        6

内部合成        4        2        0        -2        -4
4        8        6        4        2        0
2        6        4        2        0        -2
-2        2        0        -2        -4        -6
-4        0        -2        -4        -6        -8

统计1/2        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1

相对距离        统计3
8        1
6        3
4        3
2        3
0        5
-2        4
-4        2
-6        2
-8        1
合计        24
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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