"四色定理"

小铃铛

一路走来，我们都是心里有数的，我们很早就应该知道红色的和值是8，蓝色的和值是9，金色的和值是22，黄色的和值知道的最晚，它是14.

小铃铛

现在，我们可以确定，4楼的框色是正确的，不用推倒重来，只要把R7C4的红色擦掉就好。

这个关键的黄色框和值14，是一个彩蛋。

祝各位“愚人节”快乐！

mathe

小铃铛 发表于 2024-3-29 10:51
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如图，行用字母表示，列用数字表示，字母数字组合可以表示一个格子，如B6代表第B行第6列的蓝色格子。
这部分推理结果没有错，但是不够严格。
根据D3+D4+D5<=7+8+9=24, 得到G6+H6<=24-(G5+H5+I5+H7)<=24-(1+2+3+4)=14
所以G6,H6两格最多一格不小于7，而B6~F6这5格都小于6，于是A6和I6都必须不小于7, 由此得出A5～A7金色，并且红色和不小于7。
如果蓝色和为6，那么I4=E5=6, 第二宫格4,5列都不能使用6，第6列B,C行都小于6，只能A6=6,和前面A6>=7结论矛盾。所以蓝色和也不小于7.
由此E4,E5都不小于7.
于是金色和=D3+D4+D5<=6+8+9=23, 而且金色和=G5+H5+I5+G6+H6+H7>=1+2+3+4+5+7=22。即金色和22或23。

mathe

金色和22或23, 得到{D3,D4,D5}只能为23={6,8,9},22={5,8,9},22={6,7,9}三者之一。
{G5,H5,I5,G6,H6,H7}只能为22={1,2,3,4,5,7},23={1,2,3,4,5,8},23={1,2,3,4,6,7}三者之一。
如果红色和为7，得到{D6,E6,F6}={1,2,4},I6=7, 所以{A6,B6,C6,G6,H6}={3,5,6,8,9}, B6+C6+C5<=9, 只能{B6,C6}={3,5}, {G6,H6} \in {6,8，9},不符合{G5,H5,I5,G6,H6,H7}的任意一种。所以淘汰。

于是
红色和如果为8，有
i) {D6,E6,F6}={1,2,5},I6=8, {A6,B6,C6,G6,H6}={3,4,6,7,9} {C5,B6,C6}=9{2,3,4} {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=23{1,2,3,4,6,7}
ii){D6,E6,F6}={1,3,4},I6=8, {A6,B6,C6,G6,H6}={2,5,6,7,9} {C5,B6,C6}=9{1,2,6}  {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=22{1,2,3,4,5,7}
这两种都对应B6+C6>=7,所以蓝色和大于7，只能为9. 其中i)要求{D3,D4,D5}=23{6,8,9}，中间宫格8,9之一必须两个矛盾，淘汰。
  其中ii)要求{D3,D4,D5}=22{6,7,9},而且D3=9,{D4,D5}={6,7}
由此，得到部分已知结果

注意到根据中间宫格只能{F4,F5}={2,5}，根据第5列F5=5,F4=2。

红色和如果为9，有
iii){D6,E6,F6}={1,2,6},I6=9, {A6,B6,C6,G6,H6}={3,4,5,7,8}，{C5,B6,C6}=8{1,3,4}
     如果 {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=23{1,2,3,4,5,8}，得到{D3,D4,D5}=23{6,8,9}中间宫格8或9必须重复出现，冲突。
    所以 {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=22{1,2,3,4,5,7}
得到如图结果，然后{D4,D5}={6,7}和{D6,E6,F7}={1,26}矛盾。
iv){D6,E6,F6}={1,3,5},I6=9, {A6,B6,C6,G6,H6}={2,4,6,7,8}  {C5,B6,C6}=7{1,2,4} {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=23{1,2,3,4,6,7}
，如图，根据中间宫格分布可以得到{F4,F5}={2,4}，第5列得到矛盾，所以淘汰。
v){D6,E6,F6}={2,3,4},I6=9, {A6,B6,C6,G6,H6}={1,5,6,7,8}  {C5,B6,C6}=8{1,2,5} {G5,H5,I5,G6,H6,H7}=23{1,2,3,4,6,7}
其中v)要求金色和23，也就是{D3,D4,D5}={6,8,9},而{E4,E5}={8,9},得出中间宫格冲突。所以v)可以淘汰。

由此我们得出只有ii)满足条件，进一步简单推理可以得到

mathe

由于A4+B4+C4=12, 所以黄色和>=13,如果黄色和=13,那么E3+F3=6，只能{E3,F3}={1,5}或{2,4},这两种都有数字和{F4,F5}重合，淘汰。所以黄色和>=14, 由于I行{8,9}都已经使用，所以I2+I3<=6+7=13,I7+I8<=6+7=13,所以这两部分都不能黄色，显然它们也不能金色（和22），所以只能前者红色，后者蓝色。进一步得出{H3,H4}黄色。由于H3不能是9，所以H3+H4<=8+6=14。得出只能黄色和为14，H3=8。
现在如果{G1,H1,I1,H2}不是金色，那么只能蓝色，得到G1+H1+I1+H2=9, I2+I3=8, 所以G2+G3=45-9-8-8=20, {F2,G2,G3}只能金色，F2=2,同F4=2矛盾。
所以{G1,H1,I1,H2}只能是金色。所以G2+G3=45-22-8-8=7, 由于F2!=2,只能F2=1, {F2,G2,G3}红色。

mathe

现在根据E3+F3=7, 而它们中间不能有1和2，所以只能{E3,F3}={3,4}。（F6!=1,这时如果我们知道最终只有唯一解，必然根据E3,F3,F6,E6的分布得出E6=1,但是这里解是否唯一未知，所以这个条件先不使用)
又根据G2+G3=7, 而它们不能有1，而G3既不能是3也不能是4，所以得出{G2,G3}={2,5},由此G6!=5,所以G6=7,H6=5。根据A3=2,得出G3=5,G2=2.
由此进一步根据第3列有{B3,C3}={6,7}. 而B2+B3=8或9(只能蓝或红，不能金色），而且B2!=1和2（第2列）, 所以只能B2=3,B3=6，C3=7.

mathe

第2列只有E2可以填数字6,E2=6。 B3=6得出B6=2，C6=6。
如果{G9,H9}黄色，那么和14，它们只能9+5或8+6，根据H行，不能是8+6, 根据G3=H6=5,也不能是9+5,所以G9+H9=8或9
于是{G9,H9}的组合只能是1,8;2,7;3,6;4,5;1,7;2,6;3,5;根据G3=H6=5,G4=H7=1;淘汰含5或1的组合，余2,7;3,6;2,6. 由于第G行同时已经使用了2,7所以又淘汰组合2,7; 只有余下3,6或2,6. 和H9!=6, 只能G9=6, H9=2或3.
又根据I7+I8=9, 它们不能使用数字1,7,8,6,得到只能{I7,I8}={4,5}, 所以I5!=4, I1=6. I9是2或3. (同样如果唯一解已经可以确定H5=4)
有因为最后宫格只有H8可以取7,H8=7.， {G7,G8}={8,9}

mathe

如上图，如果{D1,D2}={2,5}, 那么C1只能为1,2,7三者之一才能构成红、蓝、黄三色之一，但是1,2,7都不行（B3,C3,C5)，所以淘汰。
如果{D1,D2}={5,8},那么C1只能取1构成黄色，但是1也不能使用(C5=1)。
所以只能{D1,D2}={2,8},C1=4,构成黄色。
由此,H2=4, {H1,G1}={3,9}。根据{G7,G8}={8,9},得出G1=3,H1=9。 另外有H2=4,得出H5!=4,所以G5=4。
由{D1,D2}={2,8}得出F1!=8,所以F1=7， E1=5。
再由第一列只有D1可以取2，得到D1=2,D2=8。然后A2=5,C2=9.

mathe

由于B7+C7+D7+C8=14, 而且根据第C行和第7列它们不能含1，其中最小3个数值和为2+3+4=9,所以四个数字中不能含8
于是第C行只能C9=8.
于是{C7,C8}必须从2,3,5中选择两个数
i){C7,C8}={2,3} => B7+D7=9 ={1,8},{2,7},{3,6},{4,5}, 其中第7列的1淘汰{1,8},B,D行都已经有2,6淘汰{2,7},{3,6}
  所以这种情况只能{B7,D7}={4,5}
ii){C7,C8}={2,5} => B7+D7=7 ={1,6},{2,5},{3,4}, 同样得出只能{B7,D7}={3,4},即B7=4,D7=3
iii){C7,C8}={3,5}=> B7+D7=6={1,5},{2,4}, 全部淘汰。
由此得出只能{C7,C8}={2,3},{B7,D7}={4,5} 或 {C7,C8}={2,5},B7=4,D7=3.这两种情况第7列都必然已经使用4,所以I7!=4,得出I7=5,I8=4.
由此第7列5已经使用，不能{B7,D7}={4,5},只能B7=4,D7=3, C7=2,C8=5. 然后C4=3,A4=4,B4=5.
根据A2=5,A7=6.
然后B行和9列3都已经确定，得出A8=3. 然后D行只能D9=5，第7列只能E7=7， 第E行只能E8=2,第F行只能F8=6


进一步根据普通数独条件处理得到如下结果


最后再利用和的约束，进一步得到

小铃铛

这2个1可以早利用，可以省力一些，这也是制作者给的方便。