数学研发网设为首页收藏本站
切换到窄版

 找回密码
 欢迎注册
数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 刨根究底 › 这样的数组有多少？
1234567下一页
返回列表 发新帖
查看: 13229|回复: 108

[讨论] 这样的数组有多少？

[复制链接]
王守恩
发表于 2024-3-23 12:11:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看，没有账号？欢迎注册

×
a,b,c,d=正整数,  a<b<c<d<90, 满足  \(\tan(a^\circ)*\tan(b^\circ)*\tan(c^\circ)*\tan(d^\circ)\)=1, 这样的数组有多少？

补充内容 (2024-3-24 06:32):
不好意思，还得限制：a+d≠90。
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复

使用道具 举报

northwolves
发表于 2024-3-23 17:14:14 | 显示全部楼层
$C_44^2=946$:  {a,b,90-b,90-a},0,a<b<45

点评

王守恩
不好意思，还得限制：a+d≠90。  发表于 2024-3-23 18:23
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

mathe
发表于 2024-3-23 18:10:29 | 显示全部楼层
计算结果好像还有
  1. Special value 1 59 61 87 1.00000000000000
  2. Special value 2 58 62 84 1.00000000000000
  3. Special value 3 29 31 89 1.00000000000001
  4. Special value 3 39 75 81 1.00000000000000
  5. Special value 3 57 63 81 1.00000000000000
  6. Special value 3 63 69 75 1.00000000000000
  7. Special value 4 56 64 78 1.00000000000000
  8. Special value 5 55 65 75 1.00000000000000
  9. Special value 6 28 32 88 1.00000000000000
  10. Special value 6 42 66 78 1.00000000000000
  11. Special value 6 54 66 72 1.00000000000000
  12. Special value 7 53 67 69 1.00000000000000
  13. Special value 8 52 66 68 1.00000000000000
  14. Special value 9 15 51 87 1.00000000000000
  15. Special value 9 27 33 87 1.00000000000000
  16. Special value 9 33 69 75 1.00000000000000
  17. Special value 9 51 63 69 1.00000000000000
  18. Special value 10 50 60 70 1.00000000000000
  19. Special value 11 49 57 71 1.00000000000000
  20. Special value 12 24 48 84 1.00000000000000
  21. Special value 12 26 34 86 1.00000000000000
  22. Special value 12 48 54 72 1.00000000000000
  23. Special value 13 47 51 73 1.00000000000000
  24. Special value 14 46 48 74 1.00000000000000
  25. Special value 15 21 27 87 1.00000000000000
  26. Special value 15 21 57 81 1.00000000000000
  27. Special value 15 25 35 85 1.00000000000000
  28. Special value 15 51 57 63 1.00000000000000
  29. Special value 16 42 44 76 1.00000000000000
  30. Special value 17 39 43 77 1.00000000000000
  31. Special value 18 24 36 84 1.00000000000000
  32. Special value 18 36 42 78 1.00000000000000
  33. Special value 19 33 41 79 1.00000000000000
  34. Special value 20 30 40 80 1.00000000000000
  35. Special value 21 23 37 83 1.00000000000000
  36. Special value 21 27 39 81 1.00000000000000
  37. Special value 22 24 38 82 1.00000000000000
  38. Special value 27 33 39 75 1.00000000000000
复制代码

评分

参与人数 1威望 +3 金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
王守恩 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 对！就是这些数(我就是搞不出来)。.

查看全部评分

毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

mathe
发表于 2024-3-23 19:06:13 | 显示全部楼层
上面代码通过浮点计算找出了38组解，但是并没有证明它们的正切值乘积严格等于1。
如果我们记\(s_1(x)=1, c_1(x)=x\),于是\(\sin(x)=\sin(x) s_1(\cos(x)),\cos(x)=c_1(\cos(x))\)
假设已经存在整系数多项式\(s_n(x),c_n(x)\)使得\(\sin(nx)=\sin(x) s_n(\cos(x)), \cos(nx)=c_n(\cos(nx))\)
于是我们可以得到\(sin((n+1)x) = \sin(x) s_n(\cos(x))\cos(x)+c_n(x)\sin(x), \cos((n+1)x)=c_n(\cos(x))cos(x)-s_n(\cos(x))\sin^2(x)=c_n(\cos(x))cos(x)-s_n(\cos(x))(1-\cos^2(x))\)
于是我们可以得到\(s_{n+1}(x)=x*s_n(x)+c_n(x), c_{n+1}(x)=x*c_n(x)-s_n(x)(1-x^2)\). 所以我们知道\(s_n,c_n\)都是整系数多项式。
如果\(\tan(a\degree)\tan(b\degree)\tan(c\degree)\tan(d\degree)=1\)，那么\(\sin(a\degree)\sin(b\degree)\sin(c\degree)\sin(d\degree)=\cos(a\degree)\cos(b\degree)\cos(c\degree)\cos(d\degree)\)
于是设\(u=\cos(1\degree),v=\sin(1\degree)\),那么必然有\(v^4 s_a(u)s_b(u)s_c(u)s_d(u)=c_a(u)c_b(u)c_c(u)c_d(u)\),故\((1-u^2)^2 s_a(u)s_b(u)s_c(u)s_d(u)-c_a(u)c_b(u)c_c(u)c_d(u)=0\), 我们可以得到一个以u为零点的整系数多项式，这个多项式必然是u的极小多项式的倍数。
另外\(c_{90}(u)=0\), 当然，对于1到180之间的任意一个奇数h都有\(c_{90}(\cos(h\degree))=0\),而如果h含因子3或5,显然\(\cos(h\degree)\)可以有次数更低的多项式作为极小多项式。
由此，我们可以知道u的极小多项式的次数很可能是1到180之间和90互素的整数数目。
计算\(c_{90}(x)\)并且因子分解发现它正好有一个48次不可约因式\(m(x)=281474976710656*x^48 - 3377699720527872*x^46 + 18999560927969280*x^44 - 66568831992070144*x^42 + 162828875980603392*x^40 - 295364007592722432*x^38 + 411985976135516160*x^36 - 452180272956309504*x^34 + 396366279591591936*x^32 - 280058255978266624*x^30 + 160303703377575936*x^28 - 74448984852135936*x^26 + 28011510450094080*x^24 - 8500299631165440*x^22 + 2064791072931840*x^20 - 397107008634880*x^18 + 59570604933120*x^16 - 6832518856704*x^14 + 583456329728*x^12 - 35782471680*x^10 + 1497954816*x^8 - 39625728*x^6 + 579456*x^4 - 3456*x^2 + 1\)
这个验证了这个多项式的48个根正好都是\(\cos(h\degree)\)其中h为和90互素的整数。
而如果一组a,b,c,d满足要求，那么必然\(m(x)|(1-x^2)^2 s_a(x)s_b(x)s_c(x)s_d(x)-c_a(x)c_b(x)c_c(x)c_d(x)\)。
于是，如果a,b,c,d满足要求，那么我们将它们都乘上一个和90互素的整数h以后，结果也会满足要求，只是乘上h以后这些角度可能会超过90度，而正切函数以180度为周期，大于180度的可以减去180的倍数，90度到180度之间的可以变换为用180度减这个角，是的正切值变号，由于最终乘积是正数1，所以变号的数目必然会正好是偶数个。
于是，这38组解中，如果任意两组解之间可以通过上面乘h的方法相互变换的，我们就认为它们等价，这样每个等价组中只需要验证一组即可。
我们可以分析出38组等价关系如下
  1. {0}:1 59 61 87 =>{0}
  2. {1}:2 58 62 84 =>{1}
  3. {2}:3 29 31 89 =>{0}
  4. {3}:3 39 75 81 =>{3}
  5. {4}:3 57 63 81 =>{4}
  6. {5}:3 63 69 75 =>{3}
  7. {6}:4 56 64 78 =>{6}
  8. {7}:5 55 65 75 =>{7}
  9. {8}:6 28 32 88 =>{6}
  10. {9}:6 42 66 78 =>{9}
  11. {10}:6 54 66 72 =>{10}
  12. {11}:7 53 67 69 =>{0}
  13. {12}:8 52 66 68 =>{6}
  14. {13}:9 15 51 87 =>{3}
  15. {14}:9 27 33 87 =>{4}
  16. {15}:9 33 69 75 =>{3}
  17. {16}:9 51 63 69 =>{4}
  18. {17}:10 50 60 70 =>{17}
  19. {18}:11 49 57 71 =>{0}
  20. {19}:12 24 48 84 =>{19}
  21. {20}:12 26 34 86 =>{1}
  22. {21}:12 48 54 72 =>{21}
  23. {22}:13 47 51 73 =>{0}
  24. {23}:14 46 48 74 =>{1}
  25. {24}:15 21 27 87 =>{3}
  26. {25}:15 21 57 81 =>{3}
  27. {26}:15 25 35 85 =>{7}
  28. {27}:15 51 57 63 =>{3}
  29. {28}:16 42 44 76 =>{6}
  30. {29}:17 39 43 77 =>{0}
  31. {30}:18 24 36 84 =>{21}
  32. {31}:18 36 42 78 =>{10}
  33. {32}:19 33 41 79 =>{0}
  34. {33}:20 30 40 80 =>{33}
  35. {34}:21 23 37 83 =>{0}
  36. {35}:21 27 39 81 =>{4}
  37. {36}:22 24 38 82 =>{1}
  38. {37}:27 33 39 75 =>{3}
复制代码

最后还余12组需要验证。
使用pari/gp计算上面过程验证全部通过，输出结果如下
  1. Pol for [1, 59, 61, 87]is -12855504354071922204335696738729300820177623950262342682411008*x^206 + 662058474234703993523288382044558992239147633438510648144166912*x^204 - 16799733783705613835653442694380684428068371198502207696658235392*x^202 + 280009355946640120260755780080970668780144502217400097249473593344*x^200 - 3448135014441917322517970311640666032626779451810805653010225561600*x^198 + 33457202580428215692073619396979059519562228680928429179432054292480*x^196 - 266402975546659667448136194448445761424514245871892617341227732303872*x^194 + 1790140023405963974980817550706874766557189948660338007625672784084992*x^192 - 10361113468804215733979883399545850921588584248306804832015257629097984*x^190 + 52462998401686320784999663406329879666419354252213389948909743578808320*x^188 - 235253720894092384377225531468486383871510053327909940949473334854156288*x^186 + 943482579949384492589782113966272315736440668416477979961699003768242176*x^184 - 3411613555847903203874908004883196028294397571619377850222329129605267456*x^182 + 11198223770101796267641213580795361056603631407362051130133914526450450432*x^180 - 33557177257503708681491806321914670130558873134784717951349955919106539520*x^178 + 92255883654006269259954698950981116678306095722908143435884093471847350272*x^176 - 233674442149950089901858941421892960007551624034997600150101157806981775360*x^174 + 547313107500606723173495008923266564125997431271513986906189313126810255360*x^172 - 1189241512840414076682833569921033997050372078055390764102012417086712709120*x^170 + 2404088704186961470806206618620272075376948339609581807813876776168115404800*x^168 - 4532870476120254773181379898656609767928471950005808279571648308613753077760*x^166 + 7989402982042070671649806655354217602545743031573943936773966999545089884160*x^164 - 13190014853998803927528571610111718438194960642294631257277772099298378383360*x^162 + 20433711536112901166417213395992744137859406240931846783815564973503225528320*x^160 - 29752382181702850599453634889769654926004080515642524163247938010870081126400*x^158 + 40775557591122702318787119727935141441682719407239141126714273497107360907264*x^156 - 52668428555200157161766696315249557695506845901017223955339269933763674505216*x^154 + 64192712270723469017460526514582561474318865255522854895287806651114199187456*x^152 - 73904049560475775526121288350857692162849448000840718577279581573854990958592*x^150 + 80447862248033975404676154034758884660027525950652155669306382630803577241600*x^148 - 82870439918003180345839697309669237436721536675302476266166177107753912238080*x^146 + 80846415348577296217577253089663491084580411585997853573951058496366374289408*x^144 - 74748086604611336373578968912641460507079733987916118929364232963235290021888*x^142 + 65537142669361016678568843736596046692623508228501337064447831160881808408576*x^140 - 54520895876614457274493403689900780978046061479421854449134524384009917562880*x^138 + 43056476919100790694718976197212371143314070105678762749178668254139160461312*x^136 - 32292357689325593021039232147909278357485552579259072061884001190604370345984*x^134 + 23009531374506665553372828855750805968619363428256644102306759524186434043904*x^132 - 15581172326439898995493536833241029793599860291408751950857161877045418917888*x^130 + 10029796557438857137817695865709046124622664558840963082138592226241811578880*x^128 - 6138718856842095693989625903349633049769052525170131621357114278229928050688*x^126 + 3572979378982372770891966296295518127637197977510331597796546558836709785600*x^124 - 1977899299079527783886624199735018963513448880407504991637373987927464345600*x^122 + 1041437774754315492428818177931529103273845497666414206254491183114040115200*x^120 - 521595518500688314810729642987592438087489958848077822156079338344153088000*x^118 + 248486809124240954943993562839430683237953290954332726455722268639730073600*x^116 - 112595585384421682708997083161617028342197584963682016675249152977377689600*x^114 + 48523227984816008184708297380166953000943037919916758290196694388283801600*x^112 - 19885310202638205885821913008644368397538365223510190501836936466084659200*x^110 + 7748110923229952182861196443963537536932438549001923310705344736395264000*x^108 - 2869781084257863058498204682898802556948437816418789287772787300441784320*x^106 + 1010141159639152936150696335251855548982799269346651637346967825867079680*x^104 - 337806946242963481894551047178380264757234820593198437164732746962042880*x^102 + 107290885441947520979086967814517002328555713458846044508295620890460160*x^100 - 32351966553218824856632583496701946974071075878489761227830368141312000*x^98 + 9257609694608613759396428016846740154591199497318593324255131834777600*x^96 - 2512779774250909448979030461715543756246182720700761045154964355153920*x^94 + 646612527566862427969347824570743068324035362780114596042172918661120*x^92 - 157660766565405762085256872882871067334833101422232292955417391136768*x^90 + 36402131332552177859532674731690223952269476832170945916811954094080*x^88 - 7953616366495989546021180300965192767690511889127253811927405559808*x^86 + 1643327745593151033957456981346963231795590732442274801066319020032*x^84 - 320824401945437080218172885135277433307528219351369611045012242432*x^82 + 59132969189743397902350546760697993471580453096345051704391106560*x^80 - 10280599837125282645875205092638971338856988352869038224792616960*x^78 + 1684268483954567582409342110921743886064995728562955583112609792*x^76 - 259749198012473896637804383989641189655245483717927881114910720*x^74 + 37666841180698593085939527604369759638194641841086528613253120*x^72 - 5129819163356010439453401138188877248784185260561563301969920*x^70 + 655268871231607172922879707783958659732919164793291538432000*x^68 - 78398239950924429617558822607225808706867663518340627824640*x^66 + 8772260025807663094922466521720489331477949237684110098432*x^64 - 916504778815725994991899918110535010581737648829457498112*x^62 + 89252782817001640566983714652804343593511207155076694016*x^60 - 8086477558665689179134237311112264416178879842547138560*x^58 + 680251776309128967588419286154004848821273618670419968*x^56 - 53015573659719565287868828792779781367402215944224768*x^54 + 3818850594334979257428548422678160467439461752373248*x^52 - 253595547280057216340788745208912314818861373325312*x^50 + 15481637865945883098233496755996159225671503052800*x^48 - 866234499642210130114844513307984847634033541120*x^46 + 44274207759490741465582314062122902094276984832*x^44 - 2059569263398812475563533327292398015403261952*x^42 + 86849306287901850305053803305243542508535808*x^40 - 3305155098778494497710796099851617315061760*x^38 + 112956929238765357970326253220615948337152*x^36 - 3447813247114566621671345474353925980160*x^34 + 93413659404757188742793010415140864000*x^32 - 2230988783959441127652434639604154368*x^30 + 46599448818030381503621870083112960*x^28 - 843610711669808165504470556344320*x^26 + 13099545239526595687381267906560*x^24 - 172362439384133479944405647360*x^22 + 1894363217785138986758963200*x^20 - 17093899257838802395955200*x^18 + 124010045901303852285952*x^16 - 704610371034844092416*x^14 + 3032415535152034816*x^12 - 9457971471265280*x^10 + 20125865365760*x^8 - 26846685616*x^6 + 20023176*x^4 - 7386*x^2 + 1
  2. Verify passed for [1, 59, 61, 87]
  3. Pol for [2, 58, 62, 84]is -803469022129495137770981046170581301261101496891396417650688*x^202 + 40575185617539504457434542831614355713685625593015519091359744*x^200 - 1009307742236295173378684252936407098377929936626261037397573632*x^198 + 16486205106226519904861372684270307905916890748762118100808105984*x^196 - 198896072967164643549179818179548979849792791798512674814673551360*x^194 + 1890118468029588473037662627481896676024350687949216134622083022848*x^192 - 14735209281373526463273206606083357760026570669318378845421137035264*x^190 + 96912337965956654816143012678471314498636291709747799329500555116544*x^188 - 548816068545614071636005759298379112840537608142379773393672924561408*x^186 + 2718013949144297669112688281153889647789709138770766839734640951951360*x^184 - 11916792408279530093015942682684084924528006005298080862961566423711744*x^182 + 46711444016366525502633410739288330031390001645231958565882903513792512*x^180 - 165026614715715948650750931361827850176687045286115537828152099913859072*x^178 + 529032206271199295705185067509742393942480875944684181401481487574892544*x^176 - 1547700603452976662967296740055097429087045115795618615802206479607398400*x^174 + 4152306913114215998987661895645146418037275586067710478866133640743485440*x^172 - 10259379278269096182982620268373239788920728287753990306150094307925688320*x^170 + 23430204027398341282757605748041588166589230819330058942423864027560017920*x^168 - 49619399471066414781781958549747493780331179035863838593647639580104458240*x^166 + 97718964014416817721671544771180892626062050172009673503020480881439539200*x^164 - 179410944095699888141189816952143380609882604752621057148540075200730890240*x^162 + 307774022882402294297455459467627180548997507048004631185755211877496913920*x^160 - 494303733720221866598943616720734562699905087077098347055909885742646558720*x^158 + 744577266132124339498020121227504345538853873575085110339379440474380042240*x^156 - 1053597746668701224781257404686391331643813592172609899813096609940924006400*x^154 + 1402535034294233799903728077357104664191612195410792907310518775334918160384*x^152 - 1758685757600592994721938747350320490194814418109075546798023761554143444992*x^150 + 2079715697480066319155308518692045659039899589668668702165916987869582327808*x^148 - 2321751576066108520091486665263964765910922386742177559745571120078542340096*x^146 + 2449246604809623149807493158443199825310655118962123726321194967712913162240*x^144 - 2443550682472856584342824569702634244321560572173839717655331723601952899072*x^142 + 2307336906454986537054896884294762442926159487646888267633232020843156996096*x^140 - 2063454788585203952715454658473165309712456968272446952580087092169477718016*x^138 + 1748775158373312978753737931374110782921988140674147484556173864288871514112*x^136 - 1405265752264269357927110837711339021990883327327439942946925426660700323840*x^134 + 1071199582414619696192342572698523697601433817777144339743374891101240426496*x^132 - 774898894708567762155203638182014381648426772799631020868575912689200529408*x^130 + 532148012459569261725747953002145011476008066332916143323751763136686850048*x^128 - 347023350872222317017560924422451432387435298712607703220110264022383722496*x^126 + 214944855129679939162599675934151724874237295686785092249360416011976704000*x^124 - 126479125402695927164659346348290204775535001304585116781915318866306662400*x^122 + 70712196985100639176060493515886229468885308637262744051455610403894067200*x^120 - 37565854648334714562282137180314559405345320213545832777335793027068723200*x^118 + 18964245622162829795482930594976700568604559414517104260783163614586470400*x^116 - 9097491247110621025307188367987240563333746497038915809797446872072192000*x^114 + 4146988048311359520453191810205648723880584655868907058096628117694054400*x^112 - 1796103519251909892637753643550607055995102718846232321148874050974515200*x^110 + 739028181051146177512926087377205854542940343135426408049931361399603200*x^108 - 288832848357245847786098953792308943963007934431581019055228855936614400*x^106 + 107199866687213094766549331589582451190752244571945336203971494150144000*x^104 - 37773847761625877340107777631171290038004540916272317151873113333432320*x^102 + 12632975575907992090565846161418212893504829909084450438209220022108160*x^100 - 4008540326970805182583393493526932937362109490382566004431771737784320*x^98 + 1206318359762709701963965383989712058457775510180342928901115048099840*x^96 - 344144877409782047106836971408476413073539559961359093830648437145600*x^94 + 93027659811883570062089326037504663051604292924619703100418325217280*x^92 - 23814443736090057747058825757888608092833787948379303846357204205568*x^90 + 5769924208290422339804633827002049329210904633736590837477508382720*x^88 - 1322274297733221786205228585354636304647897977527353264085087027200*x^86 + 286411790815155009397896792667488188800715145186398652785387110400*x^84 - 58593398050565162133865505823876986392321482479673079993024380928*x^82 + 11311979707355360042237376167951142752644894278243539286197534720*x^80 - 2059093080371136966213715938405868671961201248142594261009825792*x^78 + 353057926250686554158946497832221019621097078410722068727332864*x^76 - 56964169486778571068444153013096713169417786242117601434009600*x^74 + 8638979325311000587078475984905809145985497295006206085038080*x^72 - 1230015104472756099630825792217562913758202037001985007288320*x^70 + 164205996534090988425010740432159128853162570439863935434752*x^68 - 20525749566761373553126342968892817543309344761073090166784*x^66 + 2398808587812092528683448500078337908678744422476802949120*x^64 - 261688209579501003129103888194289076228093175579979808768*x^62 + 26602107532245801360990318646018911785824364246949953536*x^60 - 2515263372439907500478509136194740211800804387576610816*x^58 + 220756629215417176292566227693612736834890371119972352*x^56 - 17945798616540458799222164209323040759666084381982720*x^54 + 1348054478754299031112988365455199574741572556685312*x^52 - 93333345803477470537665309818697552826224410099712*x^50 + 5939394732948566317533837707265726533533414981632*x^48 - 346341876487075211083719423837224067360236765184*x^46 + 18445191013899499300458361579618068586467164160*x^44 - 893911408767875722695913105906483686631538688*x^42 + 39264244615301656131415891447600280332402688*x^40 - 1556204817069907439049914609789176435965952*x^38 + 55381795403475047039680547124401997348864*x^36 - 1760014684433402186185349048565005025280*x^34 + 49641439817501012817518534211047260160*x^32 - 1234069474232763569684244265821011968*x^30 + 26827597268406361810636345075302400*x^28 - 505424231089505406604052812267520*x^26 + 8166594190836196586954948608000*x^24 - 111804564980317332949581168640*x^22 + 1278430678158312740775526400*x^20 - 12001083593919543052566528*x^18 + 90567719676460601163776*x^16 - 535276676931659438080*x^14 + 2396129784832676864*x^12 - 7773148763184640*x^10 + 17203721967872*x^8 - 23868123064*x^6 + 18517140*x^4 - 7134*x^2 + 1
  4. Verify passed for [2, 58, 62, 84]
  5. Pol for [3, 39, 75, 81]is -784637716923335095479473677900958302012794430558004314112*x^192 + 37662610412320084583014736539245998496614132666784207077376*x^190 - 889779170991061998273723150739686714482508884252776892203008*x^188 + 13792361788078384308338188310143045032780900500348599833460736*x^186 - 157777649311096144963403277843092479912895873077458550621470720*x^184 + 1420505082246852778932544163511393043750542737503792598001647616*x^182 - 10482589251652290377149612418098635673662719278416204248066818048*x^180 + 65202514611628725087212454075509274402589346554164112137589358592*x^178 - 348891036914737536106948977259340217277170508243120672046007189504*x^176 + 1631123851999683684288711065511183772334069771385567197786433126400*x^174 - 6744517883639351409953129188738688724560462672836310959858133237760*x^172 + 24908307382420969822895710158109280859715259685266396026035586990080*x^170 - 82825887858443803589327980653064773043937431800660134007870649794560*x^168 + 249652246428502294102082705758743583210217940115956244061540497489920*x^166 - 685992679542202832609956391526082137251993316590694374482904717721600*x^164 + 1726737882252558015191087971589004490868200126092508664658852063477760*x^162 - 3998293452140555588797403806372906172835972628617259498546890937466880*x^160 + 8547612220374431443613945616313170843440936443027149717901924827660288*x^158 - 16924654273515975925150665306374881540740411031747403887474069865496576*x^156 + 31125505045148790528608388128091316980156916546064209461448357875548160*x^154 - 53297903333851439130455729729221483334771603754241635416471381414510592*x^152 + 85163845538746744007394869726057608291539811289846422728964852842233856*x^150 - 127233418969985944422812522618809327895448849086100771924623292849192960*x^148 + 178035133979355171524486058791794168876600537735863673398000023104389120*x^146 - 233693191117494356471563111645726844935369133424369665540405536279756800*x^144 + 288156298891703220866013628443641149156234802124228751665151545094176768*x^142 - 334190536168308728462657835304598186307120783603528039031491209214296064*x^140 + 364946567555291125470444527218152677078370956729778655418227773923131392*x^138 - 375635877950802156911162033514067645516315402217617337725229436726411264*x^136 + 364749033169913666220062139587385338041017071330413281184430529844346880*x^134 - 334390806026450687210594004718435262066204024961451928871858071136108544*x^132 + 289635635033529617473732294609856869948347024625998134344428459531436032*x^130 - 237167460913686117433324735381215806105165019676659605124807874333114368*x^128 + 183695170793447757051464022220175535736876432240507839761238650903330816*x^126 - 134642541883693325277390094469832682792991614286485409355896721506304000*x^124 + 93428937616473639541890524151678256504035855372951567947958907935129600*x^122 - 61395921345013526839271185787351959857774639831710951618663622872399872*x^120 + 38218559581813128302737250786546909273896609490764844051055941265653760*x^118 - 22541243745151745101998909960657393500410102426679084637227215528919040*x^116 + 12598466212515681232640583998457566157156243725044822360084114204262400*x^114 - 6673250071941899902914309336687432699759543039955897453306274276966400*x^112 + 3350098727765373105840360752474636783149244767019194290322179329359872*x^110 - 1593955704202651727739124024790834654288951086097050335239609348259840*x^108 + 718735450201570288971176730132123962487134269881199506263456234864640*x^106 - 307107093087510646354775684712281824380228147758691377882393581977600*x^104 + 124328464896198565523520680741415415392400268263847807364835930275840*x^102 - 47678374231709262284965389931099811178458845252360778747816982872064*x^100 + 17315330333599475297914810573554572287566344589648435496696047206400*x^98 - 5953397357899183021628286987803469325849086098606434703758065664000*x^96 + 1937169398602845338848690852357036378242449778577154845081337856000*x^94 - 596293481781199787049891528776215725478070685819966039481720504320*x^92 + 173556147596725233527461518959132962961815462732083134841403473920*x^90 - 47739860654181631887281175974469206036241872084799387387958394880*x^88 + 12403161842283649169673322912431839302333936383029548553506652160*x^86 - 3041704007886925504334652447773698398387108837910593970320179200*x^84 + 703608505075900617745553517427438353613944860954138112279183360*x^82 - 153406239847496451721682852326672404615825091977862319060287488*x^80 + 31498617148673735430161220949727328108753036330408611602759680*x^78 - 6085328570346579263675722270157614528220760668028724869857280*x^76 + 1105083880813543473335867417327518602378621372421959057408000*x^74 - 188436335989733657689695524729015599290243886354000143974400*x^72 + 30136608358763568105385255329090774539618983056035926769664*x^70 - 4514882703871840849043847313678594458135222773039518187520*x^68 + 632761338711706628635426459441579780357945300593860935680*x^66 - 82841373995155125724260284459119961457972194849901772800*x^64 + 10115579041443784502005031884700147740668599879073792000*x^62 - 1150105818144038557922161263203592365179433839119826944*x^60 + 121533570036741149881162992585515160421336335167520768*x^58 - 11912653656953860070402748115936168238623823763603456*x^56 + 1080799259558479296904697335512404622397537423196160*x^54 - 90551741243393453614978965314104396288503004004352*x^52 + 6988220747918761212701466211669140809505155579904*x^50 - 495403380590605516210319051666053806208845873152*x^48 + 32163866316370203411757309265663266953545908224*x^46 - 1906184244720655491788386858088945581566197760*x^44 + 102749304692659250441846167435938254710374400*x^42 - 5017420121898834048216629408538635135877120*x^40 + 220981802656997030057492457754416069476352*x^38 - 8735391952540416521362791440161529921536*x^36 + 308238895265646846011347501551565406208*x^34 - 9649667740484129648255702279607287808*x^32 + 266168228518254357381820549431296000*x^30 - 6418143010424166675625775405727744*x^28 + 134081170329659796652428965707776*x^26 - 2401713650460827384390573096960*x^24 + 36442295114416250605755432960*x^22 - 461747407380837819134902272*x^20 + 4802574549101713696358400*x^18 - 40156934412534840483840*x^16 + 263055745901179404288*x^14 - 1306620240902366208*x^12 + 4717231702944768*x^10 - 11698997393952*x^8 + 18425495616*x^6 - 16386282*x^4 + 6858*x^2 - 1
  6. Verify passed for [3, 39, 75, 81]
  7. Pol for [3, 57, 63, 81]is -50216813883093446110686315385661331328818843555712276103168*x^198 + 2485732287213125582478972611590235900776532756007757667106816*x^196 - 60589724500819936072924957407512000081427985927689093135728640*x^194 + 969487378102435917283100963782933464550780619275442318456389632*x^192 - 11453943662942181043365295922631358251290665873089246360319819776*x^190 + 106557284180376611727266263363132661866281816451459802279555629056*x^188 - 812961780087960104575471517967511254464193476381840453329005576192*x^186 + 5230743240992278832917347594102853826872269544184579281797135728640*x^184 - 28968681975442765273354100031024883891191292778253808154058084581376*x^182 + 140253721580693059029222628339509365835335621208294671988680397160448*x^180 - 600927514538554569404461846422738266916823632357879565355755637833728*x^178 + 2301023611211922735009355242269663567997258794490441612311428916576256*x^176 - 7938119088858335600166682511414161950528177740849641762902330939801600*x^174 + 24839216300708276323931130660975998236465613966222028726287522448015360*x^172 - 70901691560212715764699380337793678195936203219577087431829251770286080*x^170 + 185519635566931814564646010665283458521789355054503617660879271708590080*x^168 - 446852583745350187965806016073591407304886860011088040615867861182709760*x^166 + 994417636397882811860856904473161248462857580086423580798555469434060800*x^164 - 2051139834582423096193242806356215007246073212258508885949613025378959360*x^162 + 3932507289442719729117330114332755058732143599097796880574669724193914880*x^160 - 7025490550802162212692758294145034318409110474792693303498567260076769280*x^158 + 11721436548506755168688227215803182761800941245474007942331548254873845760*x^156 - 18299608454474001806487689442027437963607099645891110023603876343159193600*x^154 + 26781079155547604382885896809506241819783259742638902756282890335249498112*x^152 - 36798331464207891271312087139115616753332457950972706900275676423290617856*x^150 + 47540040937863952018140181939840117597513319954002312093708749598875451392*x^148 - 57819830648712440748359671192037209215759156357293956949392193441029423104*x^146 + 66279283887440024401276491181255562004419609058041643308351350181210357760*x^144 - 71681880977424631432304911050652023781250451140924029359536292170771202048*x^142 + 73210294885227299048031469549895675379932489937950464998808184138093297664*x^140 - 70668270757268017831085932412746519984795945148438296075238455522187280384*x^138 + 64518752508060128699754232093653936006980497342880742978484558629634572288*x^136 - 55749449173945028375728901602008954493983524624213593801062523364085596160*x^134 + 45618305012766221107081748592791716574461633418399204257233071230244880384*x^132 - 35367276285901788709812481916542071512087094918891635581782382878111301632*x^130 + 25990763510717484516369646000894414516113084215153932020442180581328945152*x^128 - 18111533420362801281640302014340689402174824117007129583518007867373256704*x^126 + 11971489481732168884750493399608270022001572932804360036109141510455296000*x^124 - 7507777860829730256176584100774068025311183814602471187119104700553625600*x^122 + 4468223543846495647543893504903515247123193657118274458323343960231116800*x^120 - 2523980704356327446476534780459738834213576163910164527882015496522956800*x^118 + 1353350846836393379138381201608946494685126321226647952149258425702809600*x^116 - 688862190811869951072420834457545262480906025838045012273775465463808000*x^114 + 332855316655607978608961935089351015426820383527595493177448445090201600*x^112 - 152673306399886304237994937169082490547012655254392974143375113243852800*x^110 + 66468879583683253007028296901136494613605001325351189541723587792076800*x^108 - 27464043638052190780506972217875190637686620255855204031184131168665600*x^106 + 10767747135815164273180308608741400302855153002947316502292496121856000*x^104 - 4005003726349029156052342563084648612645291630818460221269347863101440*x^102 + 1412804697604701354802466548585743391572106368329399301449007727902720*x^100 - 472525895482653493667041176722934445154184224542603144741391098183680*x^98 + 149787620463455519234323510268381180326653169217753284444166459228160*x^96 - 44983637336232690181013909827701408211903217309862682894191191654400*x^94 + 12792679166992393544646180862516776531830121201132712227098874347520*x^92 - 3443297003152659425018577230613118991913792046256295277899324325888*x^90 + 876694500802695549726598970667866596482446576133172607832859607040*x^88 - 211015250821976770897473645605922618958982616120143347057101373440*x^86 + 47981880163887339655982715857263106657844206055664307450098483200*x^84 - 10299558759317196184775600214188375043131110761445438813435330560*x^82 + 2085406330916498508086804555012783510633011568370539099351678976*x^80 - 397939855416433290190477197695691532351618113930837082524090368*x^78 + 71497749540238672396912948706522852545192376130097139800866816*x^76 - 12083051837623352486432750463414765887561051691955056436838400*x^74 + 1918655086032961497110808877386503265877951781317513222029312*x^72 - 285918983203139551458443767190477611624367307793983703351296*x^70 + 39936052309750261236098421265016147949130570695954942394368*x^68 - 5221207940863813997694686112832066528229425863748155867136*x^66 + 638002223604470834285923972529367903369597957618668666880*x^64 - 72749574818247353049798078340890757798744399881525264384*x^62 + 7727752273975156983326272243011444466249476667388985344*x^60 - 763288031525447983286388708841527805180937286193250304*x^58 + 69963131646421510279219996110555899588729536719618048*x^56 - 5938228766285776335527595910956030369032891877294080*x^54 + 465622211756435393813815962760623147894251930517504*x^52 - 33642930077867988919617284008964139467213969031168*x^50 + 2233744679966844803207973978591970374299752071168*x^48 - 135874892094618259850506498335217228380232482816*x^46 + 7546984722439085722366024971686572956938403840*x^44 - 381380745054881537635347851480171650859663360*x^42 + 17464568742275020572740049949558929855873024*x^40 - 721523496767742028569557488538224152281088*x^38 + 26761159556178984486521339187253441724416*x^36 - 886224270416832206380452845205344747520*x^34 + 26043573373837296495897570633182085120*x^32 - 674478508448104238387478440431321088*x^30 + 15273198918256038615401401071697920*x^28 - 299692130174843193767596350504960*x^26 + 5042971042062634349884866560000*x^24 - 71893596946703245944095244288*x^22 + 855964471549453930700734464*x^20 - 8365912467296791508221952*x^18 + 65728055739182393032704*x^16 - 404403096884570449920*x^14 + 1884451382446058496*x^12 - 6363540447941376*x^10 + 14660808720768*x^8 - 21175003096*x^6 + 17109060*x^4 - 6894*x^2 + 1
  8. Verify passed for [3, 57, 63, 81]
  9. Pol for [4, 56, 64, 78]is -3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448*x^194 + 152219717083127008523017893512785910590482119528252836937728*x^192 - 3634245745359657328487052207617763615347760603737036481888256*x^190 + 56939687921407196625641380792126479680252217836037076817018880*x^188 - 658477522554273488345739599713157407775969398106486668611551232*x^186 + 5994235860077394374067962864055488466024102378001112769027375104*x^184 - 44733579317492469717113573926967288924637317214550857526305357824*x^182 + 281438802497486046107936469118058905988426757769620769410151088128*x^180 - 1523514485293850874596389958834653553586544041555305979569063854080*x^178 + 7207184290340550398653733039496185414308957443429650179024463331328*x^176 - 30160499475881651124800948045717732440314658866526253466569765027840*x^174 + 112753521513038929726621726039765919264574250024860069777779814563840*x^172 - 379613847841289034010920124345420697963559734630401141518321875681280*x^170 + 1158766027250343598293002037021242738258932339134235528667805725491200*x^168 - 3225232109180123015248855669709125621487361677256955554792059269283840*x^166 + 8225242781233107019335768788950926515133969864065922965154050594570240*x^164 - 19301017383069120158083196213679438869606854143803568530942598357975040*x^162 + 41825285425823262874968920209802851827607674458182508675975810100756480*x^160 - 83967429074569429256566392845437543441788134328927006054042346035609600*x^158 + 156608725234869869333713228640896518993759132343110023471922889906716672*x^156 - 272040156334709298885717375613281453252090216958074739048210882036236288*x^154 + 441082450010901493280021525199569061486770554085202105797821690237943808*x^152 - 668850713045072084683077037947972324210118773610171692142679930915782656*x^150 + 950216974101027275150443160318915677987296884705526145397209284005068800*x^148 - 1266723069150854742535112830631025091316889155861116839415544435221463040*x^146 + 1586776767687786680441913528074485277111156415951470029019353591339548672*x^144 - 1870129761917748587663683800944929076595291490228518248487095304078753792*x^142 + 2076055560718405534608686907436203702128572090117287223952573862179241984*x^140 - 2172979841414596154447345482933978272559273497939028043143130774419537920*x^138 + 2146413630187270370740935930007826187095382693418770333524766479685255168*x^136 - 2002446862308855894654653642019496381863375317640682079446885801169780736*x^134 + 1765664356821117640734971166043511998692315204383150406684266710293282816*x^132 - 1472408760520388032580493894831424068353950352729235958351868246257303552*x^130 + 1161880995385229969244065622827168343040454894375554631166988071227883520*x^128 - 867993449493671800552919612347355173918457479915855518577691088505536512*x^126 + 614146308604013066428952555906147528715889726355558149937045581489766400*x^124 - 411698290208702852020674419069996576475683461074849371608641842865766400*x^122 + 261554921675885328865949207019766287740318439162804545691460272180428800*x^120 - 157515362750153614043764957668786377738349667309583709196780224643072000*x^118 + 89936190989603837695956120991532867289315777786439730734935805683302400*x^116 - 48691103401027402388963257062786057209394175148989691883280992200294400*x^114 + 24997560736969352685103805096557069542938616462190547219847989061222400*x^112 - 12169865095629816438800536691744889119588536961855924304399678885068800*x^110 + 5618230498098009360126999650932589732938031656116299569141850832896000*x^108 - 2459252713485628642637409392658219960372420220381816584128910160035840*x^106 + 1020562367676921953488231414626621482436429420315049164107187549634560*x^104 - 401449180469858547509031099936852574906691831316642429711963610152960*x^102 + 149650074439154825460921927614323897332781127740051031657716352286720*x^100 - 52851588789513155396087581456257369563161143144495762464732872704000*x^98 + 17677945215802676115243087590541258095264244431089961927858926387200*x^96 - 5598015985004180769826977737004731730167010736511821277155326689280*x^94 + 1677562585386896623125854908024659426337584254030794652574107566080*x^92 - 475506296210018232963490563718257337395139011693216903281600626688*x^90 + 127418889088794528503865897744655468775521850753583030065619271680*x^88 - 32259226682004329041851763000432614750784831322232276605405757440*x^86 + 7711410956358784999867115354256455907741844200461503197494640640*x^84 - 1739258449396139008122202647835017154013650691330569660939632640*x^82 + 369834633784388375334475284508910838576999582847937425258315776*x^80 - 74079452507522012300769643702358090304055960941167106557214720*x^78 + 13964883608291814371576349029429334245853140699460990570332160*x^76 - 2475119296245750681529390219853088893813196181093139452264448*x^74 + 412011414961159410255816774704189469266137636789885272588288*x^72 - 64339025943348207026751446736361631676890374677816552718336*x^70 + 9413470716902091358875848144774180694598119766635462000640*x^68 - 1288695089729745439634566640605662481811982977460403699712*x^66 + 164833092872409300418375238971086743567731230661459050496*x^64 - 19667584945003382436283819264569179674575246838984605696*x^62 + 2185415626454424502704108900801633732930097443854352384*x^60 - 225734457214305051925223230949845634130574107916369920*x^58 + 21631249726101231932480740187848948003102905375653888*x^56 - 1918901185379947994109597041609792752201341354377216*x^54 + 157216740883929095413048981979916474605594210205696*x^52 - 11866427505241916037699441312899866770411375034368*x^50 + 822844656058040718275021376215877394217985638400*x^48 - 52261755182064752204759307004239408049210523648*x^46 + 3030303451733167601397446703538761025716224000*x^44 - 159827557166569104875338386104785063924203520*x^42 + 7637447370430560060490017544109877649997824*x^40 - 329200317690996145742299069850629009571840*x^38 + 12736809209513431172824354738169874219008*x^36 - 439922686513682671809973193822867292160*x^34 + 13481734247609085306058107371252613120*x^32 - 364053799388423367232994755989209088*x^30 + 8594562182564439516740613371330560*x^28 - 175797863056906705809892083499008*x^26 + 3083340845362341843122050301952*x^24 - 45811913239523513942041690112*x^22 + 568404425309602080494977024*x^20 - 5788857277693343009013760*x^18 + 47388889954277618188288*x^16 - 303780222722347341824*x^14 + 1474785908336333824*x^12 - 5188416823662336*x^10 + 12454013175680*x^8 - 18744792592*x^6 + 15795096*x^4 - 6666*x^2 + 1
  10. Verify passed for [4, 56, 64, 78]
  11. Pol for [5, 55, 65, 75]is -196159429230833773869868419475239575503198607639501078528*x^190 + 9317572888464604258818749925073879836401933862876301230080*x^188 - 217798266267860124549888279498601941175895204044733541253120*x^186 + 3339767532209031589020345676268668803860318168974724222156800*x^184 - 37787853610397349349964072450039857514645374121544661965209600*x^182 + 336434452333434995212572020175462969256067003868087636339982336*x^180 - 2454691588356720005830858353725864327316684525504932890143621120*x^178 + 15093191487659410715009177067230109581662658598859956213283553280*x^176 - 79819762675121883588990840259390002595331367590124768435634176000*x^174 + 368743783923652384867372970148581623407714061878136246078799872000*x^172 - 1506318357328119992183218583056955931620511942772186565231897477120*x^170 + 5494734180553185293984747319861140669814284930909715594097564057600*x^168 - 18043101845692903395135307912690093941047469337734431262640596582400*x^166 + 53694106861530706648495880457255722842817273485500442447167094784000*x^164 - 145632189998218227488594954990194803473436622850486792562669518848000*x^162 + 361750359955574077081669868195643891828016571160609192725671084818432*x^160 - 826412460243337331264159612688324408055382684116908931657783081697280*x^158 + 1742603492757244631021654484218512008349355904641622148818681326469120*x^156 - 3402467090994038693322319559787114047310031151020221540571359372902400*x^154 + 6168738811788361010469413163104338348931898582666855950980483960012800*x^152 - 10410653912365181022962791979380203954756245313924241013742946165456896*x^150 + 16390399756365299793126120085879653310002964410130092044037394110873600*x^148 - 24119963277833026400111733535470626177788453308089169542077756106342400*x^146 + 33234810114014915965267208991533009384521059394184308722063661596672000*x^144 - 42944980538892767918974797160745966945661248434051410969172622966784000*x^142 + 52111781839376424198406872045603378799153304008883475783319651941875712*x^140 - 59456805499194724138191705558597663662730024390998618594242520332369920*x^138 + 63854258393988607961636695369850456101316396338117466663414513144954880*x^136 - 64614428136774186627846656029015342483474924865952198409407543063347200*x^134 + 61659795365902203581146021832786005233480944043745988437163270104678400*x^132 - 55532353201415672100269635913152895963403775229398730836220170138025984*x^130 + 47234609615933293828439936815965412117380873939795938127582281051668480*x^128 - 37967059627997014659568809972326628727261841711101798368373099326341120*x^126 + 28854525629268142293389729640230862886236923709218940566583493263360000*x^124 - 20743270404298534420191372382767775298872811105439634310026934353920000*x^122 + 14111159341394238023542167701125248800090342743709671967033069351731200*x^120 - 9086731394079622969705183746936713242482417675873652403013718900736000*x^118 + 5540161350762377438604034923609267930829900125115334970676885848064000*x^116 - 3198829311771559687975148280858190538316779244677915880749206077440000*x^114 + 1749334317975939544086256586602785299481947284341183238912008519680000*x^112 - 906155176711536683836680911860242785131648693288732917756420413194240*x^110 + 444622711113575251235955317286147937212656238031261568337677228441600*x^108 - 206646559267554520724046800456834200548160211015494638180107708006400*x^106 + 90965678082893601315402661330666217849273182589877207836758376448000*x^104 - 37921246249375632677871781918356807503168365967573344113766957056000*x^102 + 14967995358661600300668011391682445628262088360074352147893762129920*x^100 - 5592661309282527286255031430316131179038144428016911468302696448000*x^98 + 1977527094407071283407987233171594367948839493108494287222341632000*x^96 - 661496739326309056069573194194723468151900534666573793260994560000*x^94 + 209248968562403885083232336939147219517437924231263138684600320000*x^92 - 62565441600158761639886468744805018635868681850058351001057886208*x^90 + 17673479588703331948634878496469466757328111148000108906996039680*x^88 - 4713913034110671314058968428406153795787472328537278248407531520*x^86 + 1186431079718668479058361768752547571632506730590706802150604800*x^84 - 281583520145648033632723932861614899311916053132126134573465600*x^82 + 62972314505299469339681897712693370926436106950836260758880256*x^80 - 13259096071211775260753917695385221129121334109615273667461120*x^78 + 2626109055655517814803061261036612077324657632580902091489280*x^76 - 488793809340270753147121512228805763225562467231128879104000*x^74 + 85407690453362097570861379669140600917904716695536140288000*x^72 - 13993721589666251371225749375721033100572936603767834411008*x^70 + 2147340045688397322500329778878263790056263839986105712640*x^68 - 308193083674279807248976670059961597240442022213829263360*x^66 + 41311971283672677574619540706992207553327725347969433600*x^64 - 5163996410459084696827849843700455385669838023373619200*x^62 + 600930289980192563797352878359253623690389622412541952*x^60 - 64983297486860999384496625846842671410383942875873280*x^58 + 6517254626002987015248206323460773436087145196421120*x^56 - 604904298700855834445210425655992773404067784294400*x^54 + 51839624592222104441074698338033704045449628876800*x^52 - 4091627512457530410652585031191601929212013838336*x^50 + 296617570290003250467527586551437477092209459200*x^48 - 19690714411906999286820446107919430076648652800*x^46 + 1193062253619234645196474810681262566539264000*x^44 - 65740732288199122094648056594137568247808000*x^42 + 3281320028993691616410507781066264351342592*x^40 - 147704848950570544995859928118934288465920*x^38 + 5966929595008343166424487942840783994880*x^36 - 215153711359347309498006943275627315200*x^34 + 6882268906090419723949832870979174400*x^32 - 193954851008768386834897341016702976*x^30 + 4778024704297376027222508641976320*x^28 - 101970039649176386910702094254080*x^26 + 1865795700680605725030350848000*x^24 - 28917320235906852164141056000*x^22 + 374224229752543537773412352*x^20 - 3974881406564125587701760*x^18 + 33933701687564951306240*x^16 - 226834604881246054400*x^14 + 1148296075786316800*x^12 - 4212430278258048*x^10 + 10544430941120*x^8 - 16556464480*x^6 + 14571600*x^4 - 6450*x^2 + 1
  12. Verify passed for [5, 55, 65, 75]
  13. Pol for [6, 42, 66, 78]is -191561942608236107294793378393788647952342390272950272*x^180 + 8620287417370624828265702027720489157855407562282762240*x^178 - 190723859109325074325378657363315822617550892315506114560*x^176 + 2765675546406408799068579400560323604811943259565719552000*x^174 - 29564050176820212240611639600733970579562896306621906944000*x^172 + 248439383943038880691677012553367869338886830334389579153408*x^170 - 1709210608401222950735603584927743986136546608119495356579840*x^168 + 9899589766578181483451299376286702162478726597316383510364160*x^166 - 49264128580409954729602305580758134489515320040061000063385600*x^164 + 213926037233839978855056665494611184401189658107685291373363200*x^162 - 820532191637207989484939404328007192875268920994801142588243968*x^160 + 2807199967085875639120072410718733591547450423629335807886622720*x^158 - 8635342557481675484128536237635032920625750893917324411016314880*x^156 + 24044516701969934731256103895211319210125593806416502102530457600*x^154 - 60944159050324397820337383818735919022050262614757489515901747200*x^152 + 141291953386166220078018548829053213474151275508476151451411808256*x^150 - 300864630162044113828478903042048334712965035024241804967516569600*x^148 + 590545912468913004371381000954781989355401236195182669512205926400*x^146 - 1071832730364102220725491751561448449473066201153293648283041792000*x^144 + 1803790420370839565967581411258037469070724028616265348597940224000*x^142 - 2821522796614449202328352735641283297322971601637098813252184309760*x^140 + 4111023781230696426872547486940653860879382103014221541321316761600*x^138 - 5589975230721198694365102329408803358298734036218848709739701862400*x^136 + 7105507147330463031607814924393909558180888736151901295404384256000*x^134 - 8455819202705896911679652616356053428545659659167947708780511232000*x^132 + 9433421009883249638500938905937346831381390117827880760015006466048*x^130 - 9877526869114766261092703886898682964676942574673673847742985666560*x^128 + 9717324908274609074093621059393911297130741859954928713925803376640*x^126 - 8990123784382348033186943825508347211572437987211591121025105920000*x^124 + 7828121029881227004005895594122705621768829880163918005131018240000*x^122 - 6419929035728148501840835042246632243808414816165542088430227292160*x^120 + 4961928265327882691398956722411880734010833707233380657219292364800*x^118 - 3616151901980402683564928025212121273952363289804901465032176435200*x^116 + 2486057842322128004471044107211384137009097417336496884329480192000*x^114 - 1612882611039164633037670738774025506292868298253865474613837824000*x^112 + 987751557657088409749966631745748034198666930240987959625577922560*x^110 - 571139138517963446802763306068263877854654107650054082650997522432*x^108 + 311854275406992326179017802160502744452600741794560204663857086464*x^106 - 160810697057071191177375284379479875325691422695472316439949475840*x^104 + 78314429299661147476452266151824086445318046455166030399204753408*x^102 - 36017645118085229522429073478204514327513976831760751865064587264*x^100 + 15641984851247752775576760287314665805875520900556150626068725760*x^98 - 6413591614732623269696026724637935450069043946671010046772510720*x^96 + 2482259188862736556595983902262914265601055572333540921887948800*x^94 - 906580457429731073603028653621657689326147806889065069861142528*x^92 + 312341217679082656304714483436126540124687431318079307455135744*x^90 - 101470358274231508638902311561372775369845820106013560727928832*x^88 + 31069311428072165659072880638616347941595038239078716532588544*x^86 - 8961358370391711291345406844069363034090585796770990737326080*x^84 + 2433345947903529020225498634868202636913088604076633703317504*x^82 - 621626299460586144323096371403266470243720046434126221279232*x^80 + 149288577769832209765657153184550878491777421529077092712448*x^78 - 33677403774249258260405109154711529967441301588798945099776*x^76 + 7129743036444093453836029364230310584425773625095120486400*x^74 - 1415155492462925958748026271028769651122684907771773583360*x^72 + 263064540998926456115959942750893208950212731946976411648*x^70 - 45744590042656063216545174833704396414741795654808371200*x^68 + 7431620034030132720308485068103042157902050056082554880*x^66 - 1126400860160729210361420788177591374629090985456435200*x^64 + 159043572915256528760329577541987441186664582647644160*x^62 - 20885513637691064523621830800993186554425136014950400*x^60 + 2546312104884537139911087731572937483069873480269824*x^58 - 287660874068776913607810291362525355236096892469248*x^56 + 30050043824853360388932004213006422629505124270080*x^54 - 2896121545890900488877667327060625006982988824576*x^52 + 256873389288158551192340647193163132708732272640*x^50 - 20911078009019888944778114503732436673715240960*x^48 + 1557766212824254910997420441183208406431825920*x^46 - 105848741488999409670377423161683218320588800*x^44 + 6536944083123394955149338863096437160280064*x^42 - 365474601196435578847632297733010415943680*x^40 + 18417766466542468577717811397350534414336*x^38 - 832541787879044429182331069556393508864*x^36 + 33574531651021795294908164385766637568*x^34 - 1200619135881553070842950355821527040*x^32 + 37809978430787483501680753691852800*x^30 - 1040444466464595641638052884905984*x^28 + 24794375697888749202506394894336*x^26 - 506422468534473464660581416960*x^24 + 8758848118938273812337131520*x^22 - 126458681782552421004214272*x^20 + 1498232776802829763870720*x^18 - 14265185428011660410880*x^16 + 106363736743130431488*x^14 - 600972627636845568*x^12 + 2465473957917696*x^10 - 6936264876672*x^8 + 12369418496*x^6 - 12502632*x^4 + 6120*x^2 - 1
  14. Verify passed for [6, 42, 66, 78]
  15. Pol for [6, 54, 66, 72]is -12259964326927110866866776217202473468949912977468817408*x^186 + 570088341202110655309305094099915016306170953452300009472*x^184 - 13040770804998281240200354027535555998003660560221362716672*x^182 + 195623438915415929241657587602493754866227953631517363666944*x^180 - 2164487363274279272035098719969899993746519459480593907056640*x^178 + 18838215156718078106281165820820903094745260245965633048543232*x^176 - 134309496950675186498486089648445327619943059161051272660910080*x^174 + 806660909259621800474347220789605197928077806637263649169735680*x^172 - 4165293304624999367196541512967673469357553449581319952489512960*x^170 + 18780426340532993066471537612611622532115899341881877312464486400*x^168 - 74844267245737734868313275462987454795602794309067890607741992960*x^166 + 266231750631267085460142937004055374915787082613684353733253660672*x^164 - 852120109898830427265390444443535474407186337695044318007343972352*x^162 + 2470542097196675767445077097818618524176104275206997098962599542784*x^160 - 6525185937778595465511084029122264872823929896310839513871317729280*x^158 + 15776195163015188997803893803743362810455205166460690543966072864768*x^156 - 35061433735451035842545786045451701540147689423255468506718717083648*x^154 + 71886312362921798339894170797331447240598665000935028624722103369728*x^152 - 136403326831496454654203952392555504056400509184975262648364890587136*x^150 + 240199681270402281872160284901797629661247351109690917128187464908800*x^148 - 393507851334252412982734876379782321604676006833014728391630006517760*x^146 + 601050592550225366727597210170273574918541923856776464650130392350720*x^144 - 857596577175321559843035043779536686164261037698083492244698242744320*x^142 + 1145025251280627385381251510172971694477249566337091736577977341706240*x^140 - 1432754075998007260771550565069832122847690108083835210507165578035200*x^138 + 1682462643529088526220306520696288578544001812635589347195557293064192*x^136 - 1856371041778489503690193973556722253730040461537825746064328840183808*x^134 + 1926638988270221286674041287952941067201070411456273610899048951185408*x^132 - 1882653785328247428185325607554377087140648143925287255858180066902016*x^130 + 1733587962879129660150884605682347010287100229169068047481972310671360*x^128 - 1505406299389056183515639965276294497821960540885276184821952023625728*x^126 + 1233618585607577257563544716602582639994582649268631629081464327372800*x^124 - 954502367475992711665948864530366803226327849363086932160637881548800*x^122 + 697680924375153714082627111219908632859331140438596221655542503833600*x^120 - 481950638548625920912341096566384252962037958855609232064683966464000*x^118 + 314749787880904894234426735061281977123646928096525120997399566745600*x^116 - 194387137515336633754039474338773221056918982444798384912282880573440*x^114 + 113554104184317364230887742990752613534157007611731035481590244311040*x^112 - 62753583891333280232859015863310654847823609469640835397720924487680*x^110 + 32810721736311094976102372239712835846215117632173103803360975257600*x^108 - 16231194365788142703075300239816846362964978568381523439710592040960*x^106 + 7596854217460976799210600995339003365004214107068391752900710236160*x^104 - 3363818715998759237481149051838269016448625227964476374713641205760*x^102 + 1408930737201952255022393784844602675534791718104164726471781253120*x^100 - 558115168785984608063448242235978172526986155939149759605899264000*x^98 + 209040299230873510017775373943861643342849897492417557715274956800*x^96 - 74008056249439689882069542327951016587220150043899383787395481600*x^94 + 24758090759704644456951321714026778930257100554254110403697049600*x^92 - 7822868955323342519383924569362628064923479138372908807752777728*x^90 + 2333575909881572083281142402822681770158213899371128319513722880*x^88 - 656832984046077789323545082206266641013385409950513238743449600*x^86 + 174344557493712005808101472437466091879423820523203210216734720*x^84 - 43611160119336972750218264417122889817937203191660276109803520*x^82 + 10273277256087252553800174218281646185911382304324863955828736*x^80 - 2277185474834155307941116058500840040956364944307999022776320*x^78 + 474558499717346869517499758795374056633060786155119076966400*x^76 - 92890915123244407838246862210885025005344819674659107635200*x^74 + 17060952111239163985523240656772413139504317023296631603200*x^72 - 2936947305787129791688941725489931269600643461502656839680*x^70 + 473290253801943043302335466371670506129891547045848678400*x^68 - 71306560724922371206529518235551709661860371942822903808*x^66 + 10029676901964490900853270644106624956065575485355065344*x^64 - 1315025275387643968270448037558455780669805650975391744*x^62 + 160453787311784407278657952206045941935058399547883520*x^60 - 18186680554678432433858165847047324287358251082711040*x^58 + 1911162298593989117340620123860451897963565759332352*x^56 - 185807445696637830950097824317173866219568086646784*x^54 + 16674429624475651380223510693011560080615988527104*x^52 - 1377760074903708506869792754867186622042476642304*x^50 + 104530911170385425799255284971811000014602240000*x^48 - 7260521416268154072983320088366959184893181952*x^46 + 460173892580377234166791864735019835806711808*x^44 - 26518305456934884576061680471824235514298368*x^42 + 1383941144285524220456096523995708978626560*x^40 - 65122713111914452430850734609118705745920*x^38 + 2749625664730056021016546400505956401152*x^36 - 103604316315452990444452142919689699328*x^34 + 3462529575554547047370898817132003328*x^32 - 101935818482342596258509480016216064*x^30 + 2622860586616255266570579864453120*x^28 - 58457624148686592592112781361152*x^26 + 1116915236830646470479813017600*x^24 - 18073911193002256448107315200*x^22 + 244184987927943421124935680*x^20 - 2707470711756278953574400*x^18 + 24126137216265971515392*x^16 - 168326790255739846656*x^14 + 889335546753785856*x^12 - 3404992482725760*x^10 + 8897029191360*x^8 - 14590439368*x^6 + 13435116*x^4 - 6246*x^2 + 1
  16. Verify passed for [6, 54, 66, 72]
  17. Pol for [10, 50, 60, 70]is -187072209578355573530071658587684226515959365500928*x^170 + 7950568907080111875028045489976579626928273033789440*x^168 - 165968125935297335391210449603261099712127699580354560*x^166 + 2268396691301294419343939228858942874807972899953049600*x^164 - 22830866096335166573005340160337824145092895919256371200*x^162 + 180446863492307216532462206685433675561306942838195355648*x^160 - 1166302898181985667831767921259510342042593654929799249920*x^158 + 6339024910670976440892821002358328997525981201618886983680*x^156 - 29567442581023188723145912777203779930589935465884391833600*x^154 + 120198081796768180244093167159502322761311259393921332019200*x^152 - 431060370843659886400379120725765205002752504001450376953856*x^150 + 1377101098964522364357986470586171002260079826248201247129600*x^148 - 3950449829782720010413021315146721561863172033208843134566400*x^146 + 10243878355769253138221908530335141531680959326681921748992000*x^144 - 24146284695741810968665927250075690753247975555750244122624000*x^142 + 51984614212703498840282709182904890350702254470670041701416960*x^140 - 102640076357468555948853644551474144300392235389533178927513600*x^138 + 186516078778767831484912245664183984250597424286285494117990400*x^136 - 312905263740696033083240938449782341999357521006597375000576000*x^134 + 485935657928431918927284768652145425157942640238722413494272000*x^132 - 700233283074870395174217351627741557652595344583998997845245952*x^130 + 938232035567719441280890459156058319098276120859193288100413440*x^128 - 1171061115647178074129465241403630530962958892866020123722383360*x^126 + 1363813411079788129809159830827209469289160201319122814894080000*x^124 - 1484081203323981774818015535086800715296680321812161898741760000*x^122 + 1510897015411628893783692781306989804083420338661457513739714560*x^120 - 1440679045144101268912335264227017521521851124204434648517836800*x^118 + 1287879752477302649482239099839303541966503277697903700947763200*x^116 - 1080251251134759641856958601097604957861742563159584718979072000*x^114 + 850806836458667993788294246719206839519134733346892293341184000*x^112 - 629597058979414315403337742572213061244159702676700297072476160*x^110 + 437971033717984314323858176690695904172515365229382487926374400*x^108 - 286525886868491096938774065321426736221557266790689766218137600*x^106 + 176345560763454208633518875637440808125742777006214172639232000*x^104 - 102130928141118159757907341902479775986319021804204488392704000*x^102 + 55669461466126946128357747951288182656669765218355271927070720*x^100 - 28561757282061399599437277400381063863030196707178544365568000*x^98 + 13793337976187546463739624007723145350638338239099737997312000*x^96 - 6269699080085248392608920003510520613926517381408971816960000*x^94 + 2682017486695304435710862138906291407660286501677296517120000*x^92 - 1079512038394860035373622010909782446325770227597646210531328*x^90 + 408720525030385180721436580988250605717608135649613714554880*x^88 - 145515454782023295368457889883130310609781936123376115384320*x^86 + 48696116757763701205980002520197629241353639771312540876800*x^84 - 15309763980660557576122500793594822430569012292778301849600*x^82 + 4519442327090996596471362239121048623478245371855616606208*x^80 - 1251879185975416308279234295821977093627747701304233820160*x^78 + 325150769372442066576936605480993918991164322996069335040*x^76 - 79122241522494867635268979357177553955315723295260672000*x^74 + 18022362485432504425945631034811665417114005729705984000*x^72 - 3838763209397123442726656315279768053445994379892228096*x^70 + 763767766575552242065317616845226967196190318977351680*x^68 - 141775014036759127072164316385115376477637062237880320*x^66 + 24520835761074691789626090340447065297964407927603200*x^64 - 3945881616724663046995964458924683190536923145830400*x^62 + 589854714405244096914632634986915072593121821851648*x^60 - 81770272908621714802949557098715728604696380702720*x^58 + 10492645638716945863271038803576941300729910394880*x^56 - 1243740323554810486629890632730395321665427865600*x^54 + 135882760956400553493569946919149366488019763200*x^52 - 13650040986983896861893076233397305321199763456*x^50 + 1257429704395804063073524980487329806496563200*x^48 - 105912537825456655618724533742722108673228800*x^46 + 8130802303023582728179480368685560889344000*x^44 - 566902931800204729781909561095558791168000*x^42 + 35758492621338173335998170512665885016064*x^40 - 2031732535325326050391984353850310000640*x^38 + 103485579799751824060654270819556392960*x^36 - 4699820882726333438675586308793958400*x^34 + 189166273282189541497609864924364800*x^32 - 6701890842549589843228973802192896*x^30 + 207378186511460113980788016414720*x^28 - 5554773065756290559085568327680*x^26 + 127475039261756178427281408000*x^24 - 2476290096247622943768576000*x^22 + 40142045370993564578217984*x^20 - 533807693031450728529920*x^18 + 5702748728068200366080*x^16 - 47686541500274124800*x^14 + 301923176290585600*x^12 - 1385687970520832*x^10 + 4347146334080*x^8 - 8605439320*x^6 + 9696900*x^4 - 5550*x^2 + 1
  18. Verify passed for [10, 50, 60, 70]
  19. Pol for [12, 24, 48, 84]is -2787593149816327892691964784081045188247552*x^144 + 100353353393387804136910732226917626776911872*x^142 - 1768727853558460047913051655499423171943071744*x^140 + 20342461010784652796919613011831427261236510720*x^138 - 171694003513345824008286698036466501696847085568*x^136 + 1133921548383104075105087689190476608328817442816*x^134 - 6101675674904493003177195892739333971508509802496*x^132 + 27505259585622651984082396083745715076987787149312*x^130 - 105988787511693904819177799247338152996572883845120*x^128 + 354517228351871628958961791062701443438742551396352*x^126 - 1041725064653354133601426904708497711597051340390400*x^124 + 2715036002408229194410280784452154322843169351270400*x^122 - 6325656797277506379519118939667940885988961127759872*x^120 + 13260478429994542378448355594254159724952747675484160*x^118 - 25147550165453999171743716021248572047611677366026240*x^116 + 43342160104284333022826027776608233071023301119180800*x^114 - 68155970027273100392628423003790825780798714753843200*x^112 + 98114291266700304452692294266864473138962359618895872*x^110 - 129672657880121051208459919139398874820490255904276480*x^108 + 157736550996348855349354329119876380673671338003529728*x^106 - 176976594011849442698880665330655985387175788897370112*x^104 + 183485605408136773867346949911233367887674404442734592*x^102 - 176068247668218115355416486493663251226429515458674688*x^100 + 156582433706556528288360469036006272491378142766694400*x^98 - 129207692275082621849560052297149628795597447904624640*x^96 + 99023038140120833847404553746906057612464116782333952*x^94 - 70539390473457113509859527095638393197156780549865472*x^92 + 46735974807492049382968962745263374963955151566536704*x^90 - 28814282555308777708405143274419111137592970491985920*x^88 + 16536892658461299420181509099766399632306838425305088*x^86 - 8836599864764879027361239651621159387833995200823296*x^84 + 4396858050162381639554693301814807839659125402238976*x^82 - 2037104616699473570106272049842098043097449370746880*x^80 + 878685615994806941501303956079371280566263144775680*x^78 - 352766452914705503825911656729080005573546094886912*x^76 + 131767299462646635426043322877801249062377268183040*x^74 - 45769487765334247789746723692441557210570793418752*x^72 + 14774797115494842781966846599922351457742838824960*x^70 - 4429139927417619819162463456055679456923099332608*x^68 + 1231939940504486059851824697424090709612398903296*x^66 - 317609884118524961577728547401095342575027486720*x^64 + 75811354075310553171897767478782486790562381824*x^62 - 16731988832994704700467440825669197857298579456*x^60 + 3409596094170059296926384916486347965086040064*x^58 - 640466013791002381704169819049169013161590784*x^56 + 110698990768474615582729534484281691780153344*x^54 - 17570184956801598439293081494235016285126656*x^52 + 2555234643360647021335220723318780678111232*x^50 - 339656762140911665748744896600430021181440*x^48 + 41155082271372651746556412687457735147520*x^46 - 4531808068523505575435086182066281250816*x^44 + 451993711670535008278390447732472938496*x^42 - 40681103655045429082033781986528591872*x^40 + 3290453571249686908102819513054003200*x^38 - 238075716924389221982230495461638144*x^36 + 15329315788737163392103675758379008*x^34 - 873273653677399215869131298439168*x^32 + 43726120468998962970761824829440*x^30 - 1910069201420768104924638609408*x^28 + 72171328157214378192569106432*x^26 - 2335686050559092884808663040*x^24 + 64007644463345634197372928*x^22 - 1465480888145412243849216*x^20 + 27587006036936970207232*x^18 - 418765509537482317824*x^16 + 5004007208447016960*x^14 - 45644744670580736*x^12 + 305148916101120*x^10 - 1413261625536*x^8 + 4176429440*x^6 - 6917232*x^4 + 5040*x^2 - 1
  20. Verify passed for [12, 24, 48, 84]
  21. Pol for [12, 48, 54, 72]is -730750818665451459101842416358141509827966271488*x^162 + 29595408155950784093624617862504731148032633995264*x^160 - 588208737099521833860789280017281531567148600655872*x^158 + 7647330153297032814858877819763462092271849155067904*x^156 - 73145744899811017983895437374161595486998936934154240*x^154 + 548872624627180638769600094079616405370913678994440192*x^152 - 3364776837725173616730732200671836467968272104775745536*x^150 + 17327825420082403302749277577192521903016332152474173440*x^148 - 76498411087522882762705617485673804083202784559502458880*x^146 + 294021670792095030516789746218539294197785575367586611200*x^144 - 995804974498490274408180008903315977980394830258115706880*x^142 + 3000904154035034959994066848022605736171502903586392637440*x^140 - 8110777060766913933539519564238876059152423125526555656192*x^138 + 19791217231654526952439101301174521266692786733506073985024*x^136 - 43842513075914227177459206067756299524189136634552548065280*x^134 + 88589712929585414598262808451196459197290112596484751884288*x^132 - 163944062069605200046357072317860570680601522583306328080384*x^130 + 278837923012908641458154979997010321532828350276069687820288*x^128 - 437190323736288857594884968637287788082335808457541362384896*x^126 + 633580014615987256819970395292352103634227915274777001984000*x^124 - 850648097088295566991037717341457243365250366529128418508800*x^122 + 1060221817731967169868431170499374520985969766185663096422400*x^120 - 1228893470552961946892954311260638649324646774442473134489600*x^118 + 1326720617332983471911489460530526837079768014384797004595200*x^116 - 1335933954953351412688652581784211051226155292262469206016000*x^114 + 1256167971365625758996731573616365457072652005468987468021760*x^112 - 1104120490668655220294638498529316696997116072680320432865280*x^110 + 907983860296102612574260329037483346844679129728192180387840*x^108 - 699137892429488392251342774677315935243677506872267379834880*x^106 + 504368987732707143230324415488626287222072248605673835724800*x^104 - 341085896249542861002729491080439696257754919637877407088640*x^102 + 216317834471976763977475942939589371512397881193635376005120*x^100 - 128698711614938098760637730474875888099323258642847970099200*x^98 + 71846955168639979258786837320540885146356994166015551078400*x^96 - 37640408498276459721974721758003956372631881134769176576000*x^94 + 18506887013044590038779697278316680911673110510694721126400*x^92 - 8539443235957303119745570194778993619959015676697513033728*x^90 + 3697348125406378269684433365418535728436564785177036849152*x^88 - 1501851509343762310733447678604165211647751001994694754304*x^86 + 572156271279075593676334299322844402112498505651983482880*x^84 - 204358274762178024544641534797742976300895103674417676288*x^82 + 68400910147671156975685807768274228565165328157040967680*x^80 - 21443142466928656353488819624239056658989683719805075456*x^78 + 6292139615808750735736497076571570353122799107610509312*x^76 - 1726945098714843951930841161033005374987813255957708800*x^74 + 442970437951452375514411615043072727610011614699323392*x^72 - 106093744321955797584081328437595033292085296822747136*x^70 + 23701793944266720737187995540144176421776300890390528*x^68 - 4933542270197330943302943834891494101273638973997056*x^66 + 955612079607483734682816217261380546415068425748480*x^64 - 172010174329347072622930466447515256559068912812032*x^62 + 28729132631760759398265007170031070288994514239488*x^60 - 4444979436907040804966167556944748602486482272256*x^58 + 635931366557671822006057162965534055944696102912*x^56 - 83962131730008201646671750637419512475020165120*x^54 + 10208140229876151046400163580171483179273682944*x^52 - 1140161215028305434121576559107689260859260928*x^50 + 116683165280683921609789855267171435932549120*x^48 - 10910030705956054670508807063696977417994240*x^46 + 929067120345462698669534888986238622105600*x^44 - 71805350968223952310854009835239734509568*x^42 + 5017400355848762966114180350422357639168*x^40 - 315610667566660081706539171554879602688*x^38 + 17786940785161481819731785098624761856*x^36 - 893317339333830094193397278567301120*x^34 + 39742349639045484349168296602370048*x^32 - 1555571783436726970410350214643712*x^30 + 53155832830432036472980531838976*x^28 - 1571723051353688448509707026432*x^26 + 39801326561000669963721113600*x^24 - 852886897567872424306802688*x^22 + 15246704496160437202059264*x^20 - 223528225321647891382272*x^18 + 2632130050303785222144*x^16 - 24256824985682565120*x^14 + 169266650837480448*x^12 - 856698182226432*x^10 + 2970010872576*x^8 - 6535323952*x^6 + 8274120*x^4 - 5274*x^2 + 1
  22. Verify passed for [12, 48, 54, 72]
  23. Pol for [20, 30, 40, 80]is -170141183460469231731687303715884105728*x^130 + 5529588462465250031279837370766233436160*x^128 - 87782216841635844246567418260913955799040*x^126 + 907198107123205083256848318641335173120000*x^124 - 6863385679485676552496751267816291696640000*x^122 + 40526919760227022907182816886201639210319872*x^120 - 194463848849476440562691742316854639759196160*x^118 + 779549331363493536123264284095962588999843840*x^116 - 2663726455017675146486768839610691838436966400*x^114 + 7877438979232711486924370108325282888600780800*x^112 - 20402566956212885010410947793925874259486310400*x^110 + 46720163828306705404768663142310718233116672000*x^108 - 95321012217549215467999408097741965197574144000*x^106 + 174379169293853705385701592067368825546342400000*x^104 - 287553827200037672671163052731458837765160960000*x^102 + 429330366361120071113740888816421713281053360128*x^100 - 582561763607491901232280720347080205861598003200*x^98 + 720696528612532686443472132286371341353667788800*x^96 - 815073455326990818366895263560361431273570304000*x^94 + 844638709486243040080387865087662320661823488000*x^92 - 803558555677505607135871397768118451052153405440*x^90 + 702982094471820168048639329599615900878005862400*x^88 - 566291136111557662916471793358040861427472793600*x^86 + 420518921812188303329423047590352291064971264000*x^84 - 288114976653860210000135363388770277453201408000*x^82 + 182253311203578287033286195909711810258008014848*x^80 - 106494177532700527478144440773415641489038376960*x^78 + 57497673746080613829832141261621047224162058240*x^76 - 28688447123684908502918643128551139948101632000*x^74 + 13227641987672668661121851213833847076552704000*x^72 - 5634979164869772241311461094039500602227032064*x^70 + 2217088455693549101452254097934867619769221120*x^68 - 805251258029759877121078990446862103614586880*x^66 + 269801381513421365883086559046821802200268800*x^64 - 83321351231743541720936886533627506694553600*x^62 + 23693481525072062920382416562715890634719232*x^60 - 6196492048537491186266719043361832414740480*x^58 + 1488367823662227817687803946076160833617920*x^56 - 327822570675186625307237226793182586470400*x^54 + 66093126739663162580411460630734490828800*x^52 - 12172723106768305860324652904396789645312*x^50 + 2043383985562338213862753120410822246400*x^48 - 311846591182153854365506482531309977600*x^46 + 43144700632732534020264920233279488000*x^44 - 5394234846293467808306244706369536000*x^42 + 607302005688321703458356901760204800*x^40 - 61322994504881012598141750345728000*x^38 + 5528994272077739970147513270272000*x^36 - 442885385699804057343969198080000*x^34 + 31339856182460490079126159360000*x^32 - 1946586255582214147116476923904*x^30 + 105352626070891779801250529280*x^28 - 4926911265917821326270136320*x^26 + 197181542837300315553792000*x^24 - 6677889274843392180224000*x^22 + 188867361951399328612352*x^20 - 4391279333204453621760*x^18 + 82354253920253706240*x^16 - 1216916135761254400*x^14 + 13753959338316800*x^12 - 114361530639616*x^10 + 662913895040*x^8 - 2472174160*x^6 + 5182200*x^4 - 4650*x^2 + 1
  24. Verify passed for [20, 30, 40, 80]
复制代码

评分

参与人数 1威望 +8 金币 +8 贡献 +8 经验 +8 鲜花 +8 收起 理由
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 赞一个!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

王守恩
 楼主| 发表于 2024-3-23 20:41:52 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-3-23 19:06
上面代码通过浮点计算找出了38组解，但是并没有证明它们的正切值乘积严格等于1。
如果我们记\(s_1(x)=1, c_ ...

38组解中的28组解(4,6,10,14,15,16,20,25,26,28不行)可以由恒等式推出来。\(\frac{\tan(a)*\tan(\pi/3+a)\ \ }{\tan(3a)*\tan(\pi/6+a)\ \ }=1\)  a好像可以是任意数。
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

northwolves
发表于 2024-3-23 23:50:51 | 显示全部楼层
  1. v=Select[Subsets[Range@89,{4}],N[Times@@Tan[# Degree]]==1&&#[[1]]+#[[4]]!=90&];{Length@v,v}
复制代码


{38,{{1,59,61,87},{2,58,62,84},{3,29,31,89},{3,39,75,81},{3,57,63,81},{3,63,69,75},{4,56,64,78},{5,55,65,75},{6,28,32,88},{6,42,66,78},{6,54,66,72},{7,53,67,69},{8,52,66,68},{9,15,51,87},{9,27,33,87},{9,33,69,75},{9,51,63,69},{10,50,60,70},{11,49,57,71},{12,24,48,84},{12,26,34,86},{12,48,54,72},{13,47,51,73},{14,46,48,74},{15,21,27,87},{15,21,57,81},{15,25,35,85},{15,51,57,63},{16,42,44,76},{17,39,43,77},{18,24,36,84},{18,36,42,78},{19,33,41,79},{20,30,40,80},{21,23,37,83},{21,27,39,81},{22,24,38,82},{27,33,39,75}}}

点评

王守恩
用我们的方法(这里=4项), 怎么就推不出6项(4改6,或1=2项)来？  发表于 2024-3-27 13:26
王守恩
没有45,应该有解吧？  发表于 2024-3-25 07:28
northwolves
每个解加上45即可得到5个数的解  发表于 2024-3-24 19:46
王守恩
4个数=38组解, 5个数的来几组试试？  发表于 2024-3-24 19:09
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

王守恩
 楼主| 发表于 2024-3-24 07:12:53 | 显示全部楼层
题目源自知乎《求证：tan15°=tan3°tan39°tan81°，这个三角函数问题怎么证明？》
也就是这里的第4道题：04--Special value 3 39 75 81 1.00000000000000
知乎作者作得辛苦, 知乎读者读得更辛苦。不知可有妙招,  把这38道题一并证明了。

又：连接网友 wayne帖子《[原创] 三角形的角格点问题》，里面有
四边形的4个角都是整数度数°,  四边形形内部存在一点P，
使得四边形的8个内角也都是整数度数°，每个四边形都可以有这样的P点。
我就特别好奇：这38道题都可以有这样的P点吗(四边形4个角都是90°;  P相关的4个角都是90°)？
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

mathe
发表于 2024-3-24 10:27:15 | 显示全部楼层
这个题目类似三角形角格点问题，我们可以将整数度数扩展到有理度数。
由于题目等价于\(\sin(a\degree)\sin(b\degree)\sin(c\degree)\sin(d\degree)-\cos(a\degree)\cos(b\degree)\cos(c\degree)\cos(d\degree)=0\)
我们分别记\(A=\exp(\frac{i a\pi}{180}),B=\exp(\frac{i b\pi}{180}),C=\exp(\frac{i c\pi}{180}),D=\exp(\frac{i d\pi}{180})\), 于是题目可以等价转化为
\((A-\frac1A)(B-\frac1B)(C-\frac1C)(D-\frac1D)=(A+\frac1A)(B+\frac1B)(C+\frac1C)(D+\frac1D)\)
展开后得到
\(A^2+B^2+C^2+D^2+B^2C^2D^2+A^2C^2D^2+A^2B^2D^2+A^2B^2C^2=0\)
于是我们这个方程要求8个单位根之和为0。
根据链接关联的论文 https://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf 中TABLE 1结论，
权重之和不超过8的单位根之和为0的本源组合只有
权重 模式 模式变种数目
2 $R_2$ 1
3 $R_3$ 1
5$R_5$ 1
6 $(R_5:R_3)$1
7 $(R_5:2R_3)$2
7 $R_7$1
8 $(R_5:3R_3)$ 2
8 $(R_7:R_3)$ 1

由于不存在权重为1的方案，权重为7的不用考虑。所以我们只需要考虑权重分别为
8, 6+2, 5+3, 3+3+2, 2+2+2+2这5种组合





毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

mathe
发表于 2024-3-24 11:02:42 | 显示全部楼层
对于权重为8的本源解，有两类，分别为
i) R7:R3, 也就是8个单位根角度为$x+\omega_7,x+2\omega_7,x+3\omega_7,x+4\omega_7,x+5\omega_7,x+6\omega_7,x-\omega_3,x-2\omega_3$
其中$\omega_7,\omega_3$分别为\(\frac{2\pi}7,\frac{2\pi}3\)
   而我们又要求这些角度分别为8个单位根$A^2,B^2,C^2,D^2,(BCD)^2,(ACD)^2,(ABD)^2,(ABC)^2$的幅角。
  注意到8个单位根两两乘积相等，也就是要求这8个角度两两相加为等角。显然这8个角是无法达成这个目标的，所以需要淘汰。
ii)R5:3R3, 也就是$x,x+\omega_5,x+2\omega_5,x+3\omega_5,x+4\omega_5$中淘汰三个角度，拼接上$\omega_3$
   由于表格已经给出本质上只有两种不等价组合，我们可以查看留下两个角度分别相邻和不相邻两种不同情况，对应
    $x-3\omega_5,x-4\omega_5, x+\omega_3,x+2\omega_3, x+\omega_5+\omega_3,x+\omega_5+2\omega_3, x+2\omega_5+\omega_3,x+2\omega_5+2\omega_3$ 以及
    $x-2\omega_5,x-4\omega_5, x+\omega_3,x+2\omega_3, x+\omega_5+\omega_3,x+\omega_5+2\omega_3, x+3\omega_5+\omega_3,x+3\omega_5+2\omega_3$。
其中第一种所有角度和为$8x-\omega_5+9\omega_3$,注意到$5\omega_5,3\omega_3$都是$2\pi$可以省略，所以8个角分成四组，每组内两个角的和都只能等于$2x-\frac{\omega_5}4 + h \frac{\pi}2$, 显然这个目标也无法达成，不符合要求。类似，第二种有不行。
所以权重为8的本源解都不符合本题要求。

现在我们再查看本源解为6+2类型的，其中权重6只能$R_5:R_3$,也就是6个角度可以为
$x+\omega_5,x+2\omega_5,x+3\omega_5,x+4\omega_5,x-\omega_3,x-2\omega_3$
而权重为2的为$R_2$,对应2两个角度$y,y+\omega_2$.
注意到前面6个角任意两个之间差值都不是$\pi$而后面两个差值为$\pi$,所以后面两个角如果不相互匹配，那么它们匹配对象差值应该为$\pi$,
得到矛盾，也就是后面两个角只能分到一组，也就是两个角度之和是$2y+\pi$。同时要求前面6个角分成3组，两两之和相等。
于是只能$x-\omega_3,x-2\omega_3$一组，$x+\omega_5,x+4\omega_5$一组，$x+2\omega_5,x+3\omega_5$,
  而且每组内两个角度之和为$2x=2y+\pi$, 得到$y=x+\frac{\pi}2$
得到这8个角度为$x+\omega_5, x+4\omega_5; x+2\omega_5,x+3\omega_5; x-\omega_3,x-2\omega_3; x+\frac{\pi}2,x+\frac{3\pi}2$.
但是另外一方面，比如$A^2$幅角为$x+\omega_5$,我们会要求$B^2C^2D^2$幅角为$x+4\omega_5$, 也就是后面三组各条选择一个，要求和为$x+4\omega_5$等等，这样下去好像有会无解，但是计算量有些大，可能还是需要借助计算机分析，枚举各种不同的排列情况。

通过程序解放长可以发现有解的有
5+3 R5 R3:

  2. Solution candiate with MOD 15:
  3. 2a = +1V1+0
  4. 2b = +1V1+3
  5. 2c = +1V1+6
  6. 2d = +1V2+0
  7. Constrain:
  8. +1V0-2V1+3 Mod 15=0
  9. +1V1-1V2+1 Mod 15=0
  10. +2V2+11 Mod 15=0
  11. Solution candiate with MOD 15:
  12. 2a = +1V1+0
  13. 2b = +1V1+3
  14. 2c = +1V1+6
  15. 2d = +1V2+0
  16. Constrain:
  17. +1V0-2V1+3 Mod 15=0
  18. +1V1-1V2+11 Mod 15=0
  19. +2V2+1 Mod 15=0
  20. Solution candiate with MOD 15:
  21. 2a = +1V1+0
  22. 2b = +1V1+3
  23. 2c = +1V1+6
  24. 2d = +1V2+0
  25. Constrain:
  26. +1V0-1V1-1V2+10 Mod 15=0
  27. +1V1-1V2+10 Mod 15=0
  28. +2V2+14 Mod 15=0
  29. ...
复制代码



3+3+2 R3 R3 R2

  2. Solution candiate with MOD 6:
  3. 2a = +1V1+0
  4. 2b = +1V1+2
  5. 2c = +1V1+4
  6. 2d = +1V2+0
  7. Constrain:
  8. +1V0-1V1-1V2+4 Mod 6=0
  9. +1V1-1V3+5 Mod 6=0
  10. +1V2-1V3=0
  11. +2V3=0
  12. Solution candiate with MOD 6:
  13. 2a = +1V1+0
  14. 2b = +1V1+2
  15. 2c = +1V1+4
  16. 2d = +1V2+0
  17. Constrain:
  18. +1V0-1V1-1V2+4 Mod 6=0
  19. +1V1-1V3+2 Mod 6=0
  20. +1V2-1V3+3 Mod 6=0
  21. +2V3=0
  22. Solution candiate with MOD 6:
  23. 2a = +1V1+0
  24. 2b = +1V1+2
  25. 2c = +1V1+4
  26. 2d = +1V2+0
  27. Constrain:
  28. +1V0-1V1-1V2+2 Mod 6=0
  29. +1V1-1V3+1 Mod 6=0
  30. +1V2-1V3=0
  31. +2V3=0
  32. ...
复制代码


2+2+2+2 R2 R2 R2 R2:

  2. Solution candiate with MOD 2:
  3. 2a = +1V1+0
  4. 2b = +1V1+1
  5. 2c = +1V2+0
  6. 2d = +1V2+1
  7. Constrain:
  8. +1V0-1V1-1V3=0
  9. +1V1-1V2+1V3-1V4=0
  10. +3V2-2V3+1V4=0
  11. Solution candiate with MOD 2:
  12. 2a = +1V1+0
  13. 2b = +1V1+1
  14. 2c = +1V2+0
  15. 2d = +1V2+1
  16. Constrain:
  17. +1V0-1V1-1V3=0
  18. +1V1-1V2+1V3-1V4+1 Mod 2=0
  19. +3V2-2V3+1V4+1 Mod 2=0
  20. Solution candiate with MOD 2:
  21. 2a = +1V1+0
  22. 2b = +1V1+1
  23. 2c = +1V2+0
  24. 2d = +1V2+1
  25. Constrain:
  26. +1V0-1V1-1V3=0
  27. +1V1-1V2+1 Mod 2=0
  28. +3V2-1V3+1 Mod 2=0
  29. +1V3-1V4+1 Mod 2=0
  30. ....
复制代码


现在代码给出解的方案还是太多了，主要原因在于有些等价的方案会被重复求解。
比如对于最后一种2+2+2+2, 我们会引入约束变量V1,V2,V3,V4等,这四个变量之间本质上是等价的，可以任意置换，得出看似不同的解，代码没有考虑。
另外V1和V1+1Mod2也可以相互置换等。类似3+3+2模式V1,V2可以置换,V3,V3+3可以置换，V1,V1+2,V1+4可以轮换，V2,V2+2,V2+4可以轮换等。
另外需要注意上面方程中常数项使用1Mod6之类的表示，代表将一个周角(360度)均分为6分，所以1Mod6实际上代表60度角。

比如我们解读第一种中第一个解:
Solution candiate with MOD 15:
2a = +1V1+0
2b = +1V1+3
2c = +1V1+6
2d = +1V2+0
Constrain:
+1V0-2V1+3 Mod 15=0
+1V1-1V2+1 Mod 15=0
+2V2+11 Mod 15=0
于是可以V2=2 Mod 15, V1=1 Mod 15, 代入得到2a=1 Mod 15, 2b=4 Mod 15, 2c=7 Mod 15, 2d = 2Mod15
对应$a=\frac{\pi}{15},b=\frac{4\pi}{15},c=\frac{7\pi}{15},d=\frac{2\pi}{15}$.
由此我们得到$\tan(\frac{\pi}{15})\tan(\frac{4\pi}{15})\tan(\frac{7\pi}{15})\tan(\frac{2\pi}{15})=1$
另外需要注意表达式中同余仅适用于常数项，非常数项是可以为分数的。准确的说，我们可以将上面表达式改为
2a = +1V1+0
2b = +1V1+3*2\pi/15
2c = +1V1+6*2\pi/15
2d = +1V2+0
Constrain:
+1V0-2V1+3*2\pi/15=整数*2\pi
+1V1-1V2+1*2\pi/15 =整数*2\pi
+2V2+11*2\pi/15=整数*2\pi
比如可以选择V2=$\frac{19\pi}{15}$,可以得到$\tan(\frac{17\pi}{30})\tan(\frac{23\pi}{30})\tan(\frac{29\pi}{30})\tan(\frac{19\pi}{30})=1$

进一步更新程序，将不含可变参数的方程全部解出，存放在附件中sv.e?u文件中，然后余下至少含有一个可变参数的放入sv.o?文件。

比如sv.o5中第一个方程对应恒等式\(\tan(x-\frac{3\pi}6)\tan(x-\frac{\pi}6)\tan(x+\frac{\pi}6)\tan(3x)=1\)

sv.tgz (15.3 KB, 下载次数: 4) (附件中是程序找到的候选解)
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

northwolves
发表于 2024-3-24 11:07:10 | 显示全部楼层
$\tan (x) \tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right) \tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\tan (3 x)$

  1. s = Table[Sort@{x, 60 - x, 60 + x, 90 - 3 x}, {x, 29}]
复制代码

{{1,59,61,87},{2,58,62,84},{3,57,63,81},{4,56,64,78},{5,55,65,75},{6,54,66,72},{7,53,67,69},{8,52,66,68},{9,51,63,69},{10,50,60,70},{11,49,57,71},{12,48,54,72},{13,47,51,73},{14,46,48,74},{15,45,45,75},{16,42,44,76},{17,39,43,77},{18,36,42,78},{19,33,41,79},{20,30,40,80},{21,27,39,81},{22,24,38,82},{21,23,37,83},{18,24,36,84},{15,25,35,85},{12,26,34,86},{9,27,33,87},{6,28,32,88},{3,29,31,89}}

点评

王守恩
错啦！应是：s = Table[Sort@{ 90 - x, 30 + x, 30-x, 3 x}, {x, 29}]  发表于 2024-3-25 07:26
王守恩
同理：s = Table[Sort@{3 x, 30 - x, 30 + x, 90 - x, 30-x, 3 x}, {x, 29}]  发表于 2024-3-25 07:22
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
回复 支持 反对

使用道具 举报

1234567下一页
返回列表 发新帖
高级模式
B Color Image Link Quote Code Smilies
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2025-11-4 23:28 , Processed in 0.044144 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2025 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表