这样的数组有多少？

王守恩 · 发表于 2024-4-4 08:11:41

谢谢mathe! 试试在10878的基础上增加前可以相同, 后可以相同。
四边形内部存在一点P, 满足凸四边形的8个内角都是整数度数°, 这样的基本解(非平凡解)有多少个？
sin(a1)sin(a2)sin(a3)sin(a4)=sin(a5)sin(a6)sin(a7)sin(a8)
{a1,a2,a3,a4=a5,a6,a7,a8} a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=360
a1≤a2≤a3≤a4,a1<a5≤a6≤a7≤a8,前≠后,前+后≠180,至少有一个顺序可以。

这些数据绝对可以媲美《三角形角格点问题》参考文献！谢谢mathe! 这是您的(我只是先睹为快)。

王守恩 · 发表于 2024-4-4 08:19:40

我又后悔了(不能增加)。在10787的基础上增加前可以相同,后可以相同。会增加很多。譬如: 30

Table[N[(Sin[(30)Pi/180]Sin[(2x)Pi/180]Sin[(30)Pi/180]Sin[2(60-x)Pi/180]/(Sin[(x)Pi/180]Sin[(90-x)Pi/180]Sin[(60-x)Pi/180]Sin[(30+x)Pi/180])],{x,59}]

复制代码

{1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.}

Table[{30, 2 x, 30, 120 - 2 x, x, 90 - x, 60 - x, 30 + x}, {x, 59}]

复制代码

{{30, 2, 30, 118, 1, 89, 59, 31}, {30, 04, 30, 116, 2, 88, 58, 32}, {30, 06, 30, 114, 3, 87, 57, 33}, {30, 08, 30, 112, 4, 86, 56, 34}, {30, 10, 30, 110, 5, 85, 55, 35}, {30, 12, 30, 108, 6, 84, 54, 36},
{30, 14, 30, 106, 7, 83, 53, 37}, {30, 16, 30, 104, 8, 82, 52, 38}, {30, 18, 30, 102, 9, 81, 51, 39}, {30, 20, 30,100,10, 80, 50, 40}, {30, 22, 30, 98, 11, 79, 49, 41}, {30, 24, 30, 96, 12, 78, 48, 42},
{30, 26, 30, 94, 13, 77, 47, 43}, {30, 28, 30, 92, 14, 76, 46, 44}, {30, 30, 30, 90, 15, 75, 45, 45}, {30, 32, 30, 88, 16, 74, 44, 46}, {30, 34, 30, 86, 17, 73, 43, 47}, {30, 36, 30, 84, 18, 72, 42, 48},
{30, 38, 30, 82, 19, 71, 41, 49}, {30, 40, 30, 80, 20, 70, 40, 50}, {30, 42, 30, 78, 21, 69, 39, 51}, {30, 44, 30, 76, 22, 68, 38, 52}, {30, 46, 30, 74, 23, 67, 37, 53}, {30, 48, 30, 72, 24, 66, 36, 54},
{30, 50, 30, 70, 25, 65, 35, 55}, {30, 52, 30, 68, 26, 64, 34, 56}, {30, 54, 30, 66, 27, 63, 33, 57}, {30, 56, 30, 64, 28, 62, 32, 58}, {30, 58, 30, 62, 29, 61, 31, 59}, {30, 60, 30, 60, 30, 60, 30, 60},
{30, 62, 30, 58, 31, 59, 29, 61}, {30, 64, 30, 56, 32, 58, 28, 62}, {30, 66, 30, 54, 33, 57, 27, 63}, {30, 68, 30, 52, 34, 56, 26, 64}, {30, 70, 30, 50, 35, 55, 25, 65}, {30, 72, 30, 48, 36, 54, 24, 66},
{30, 74, 30, 46, 37, 53, 23, 67}, {30, 76, 30, 44, 38, 52, 22, 68}, {30, 78, 30, 42, 39, 51, 21, 69}, {30, 80, 30, 40, 40, 50, 20, 70}, {30, 82, 30, 38, 41, 49, 19, 71}, {30, 84, 30, 36, 42, 48, 18, 72},
{30, 86, 30, 34, 43, 47, 17, 73}, {30, 88, 30, 32, 44, 46, 16, 74}, {30, 90, 30, 30, 45, 45, 15, 75}, {30, 92, 30, 28, 46, 44, 14, 76}, {30, 94, 30, 26, 47, 43, 13, 77}, {30, 96, 30, 24, 48, 42, 12, 78},
{30, 98, 30, 22, 49, 41, 11, 79}, {30,100,30, 20, 50, 40, 10, 80}, {30, 102, 30, 18, 51, 39, 9, 81}, {30, 104, 30, 16, 52, 38, 8, 82}, {30, 106, 30, 14, 53, 37, 7, 83}, {30, 108, 30, 12, 54, 36, 6, 84},
{30, 110, 30, 10, 55, 35, 5, 85}, {30, 112, 30, 8, 56, 34, 04, 86}, {30, 114, 30, 6, 57, 33, 03, 87}, {30, 116, 30, 04, 58, 32, 2, 88}, {30, 118, 30, 02, 59, 31, 1, 89}}

王守恩 · 发表于 2024-4-7 08:33:19

mathe 发表于 2024-3-26 06:37
应该对于任意奇数2n+1有\(\tan((2n+1)x)=(-1)^n\prod_{h=0}^{2n} \tan(x+\frac{h\pi}{2n+1})\)
由此我们可 ...

这题目要搞个无限模式是不可以的, 我们就来搞个尽可能长的有限模式试试。

在1--89这89个整数度数中选尽可能多的数(每个数最多选1次), 约定任意2个数的和≠90。

满足 \(\frac{\sin(a1)*\sin(a2)*\sin(a3)*\sin(a4)*\cdots*\sin(an)\ \ \ \ }{\sin(b1)*\sin(b2)*\sin(b3)*\sin(b4)*\cdots*\sin(bn)\ \ \ \ }=1\) , n 最大是多少?

王守恩 · 发表于 2024-4-8 10:09:21

在1--89这89个整数度数中选尽可能多的数(每个数最多选1次), 约定任意2个数的和≠90。n=24。

N[(Sin[1 Pi/180] Sin[4 Pi/180] Sin[6 Pi/180] Sin[43 Pi/180] Sin[48 Pi/180] Sin[59 Pi/180] Sin[61 Pi/180] Sin[66 Pi/180] Sin[69 Pi/180] Sin[78 Pi/180] Sin[82 Pi/180] Sin[87 Pi/180])
/(Sin[2 Pi/180] Sin[13 Pi/180] Sin[15Pi/180] Sin[16 Pi/180] Sin[18 Pi/180] Sin[30 Pi/180] Sin[51 Pi/180] Sin[57 Pi/180] Sin[58 Pi/180] Sin[62 Pi/180] Sin[73 Pi/180] Sin[81 Pi/180]), 200]

复制代码

1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

mathe · 发表于 2024-4-8 12:03:17

不知道为什么要限制两角和不能90度，这里这个限制意义不大。
注意到\(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(x+\frac{k\pi}{n})=\frac{\sin(nx)}{2^{n-1}}\)
于是对于一个恒等式如果两边同时出现角度为n的倍数，而且n是180的奇数因子，我们可以两边同时套用上面的n倍角公式，得到一个含有更多角的等式。
比如对于等式
Sin[1 Pi/180] Sin[4 Pi/180] Sin[6 Pi/180] Sin[43 Pi/180] Sin[48 Pi/180] Sin[59 Pi/180] Sin[61 Pi/180] Sin[66 Pi/180] Sin[69 Pi/180] Sin[78 Pi/180] Sin[82 Pi/180] Sin[87 Pi/180]) = (Sin[2 Pi/180] Sin[13 Pi/180] Sin[15Pi/180] Sin[16 Pi/180] Sin[18 Pi/180] Sin[30 Pi/180] Sin[51 Pi/180] Sin[57 Pi/180] Sin[58 Pi/180] Sin[62 Pi/180] Sin[73 Pi/180] Sin[81 Pi/180]

比如左边6度角为3的倍数，右边15度角也是三的倍数，左边可以做替换 6=>2,62,122=>2,62,58,右边做替换15=>5,65,125=>5,65,55,消除重复的62,58得到另外一组
Sin[1 Pi/180] Sin[4 Pi/180] Sin[2 Pi/180] Sin[43 Pi/180] Sin[48 Pi/180] Sin[59 Pi/180] Sin[61 Pi/180] Sin[66 Pi/180] Sin[69 Pi/180] Sin[78 Pi/180] Sin[82 Pi/180] Sin[87 Pi/180]) = (Sin[2 Pi/180] Sin[13 Pi/180] Sin[5Pi/180] Sin[16 Pi/180] Sin[18 Pi/180] Sin[30 Pi/180] Sin[51 Pi/180] Sin[55 Pi/180] Sin[57 Pi/180] Sin[65 Pi/180]Sin[73 Pi/180] Sin[81 Pi/180]

但是如果左边选择69=>23,83,143=>23,83,37，右边还是做替换15=>5,65,125=>5,65,55
那么变换为
Sin[1 Pi/180] Sin[4 Pi/180] Sin[6 Pi/180] Sin[23 Pi/180]Sin[37 Pi/180] Sin[43 Pi/180] Sin[48 Pi/180] Sin[59 Pi/180] Sin[61 Pi/180] Sin[66 Pi/180] Sin[78 Pi/180] Sin[82 Pi/180] Sin[83 Pi/180] Sin[87 Pi/180]= Sin[2 Pi/180] Sin[5Pi/180] Sin[13 Pi/180] Sin[16 Pi/180] Sin[18 Pi/180] Sin[30 Pi/180] Sin[51 Pi/180] Sin[55 Pi/180] Sin[57 Pi/180] Sin[58 Pi/180] Sin[62 Pi/180] Sin[65b Pi/180] Sin[73 Pi/180] Sin[81 Pi/180]

王守恩 · 发表于 2024-4-8 13:50:31

本帖最后由王守恩于 2024-4-8 16:34 编辑

1,不知道为什么要限制两角和不能90度，这里这个限制意义不大。

我就是不想要sin(a)*sin(90-a)=sin(2a)*sin(30)

2,注意到。这是深厚的功底！有这一句 “注意到” 14#的第一行才稀里糊涂的看懂一点点。

\(\D\prod_{k=0}^{n-1}\sin\bigg(x+\frac{k\pi}{n}\bigg)=\frac{\sin(nx)}{2^{n-1}}\)

\(\D\prod_{k=0}^{2n}(-1)^k\tan\big(x+\frac{k\pi}{2n+1}\big)=\tan\big((2n+1)x\big)\)

3,n=24 是从39#——10787——?(删了就再也没有了)+4466+6348 "偷" 出来的。

4,这题目比14#还是复杂一些。14#只是在4#选10组就可以。

mathe · 发表于 2024-4-8 16:34:21

王守恩发表于 2024-4-8 10:09
在1--89这89个整数度数中选尽可能多的数(每个数最多选1次), 约定任意2个数的和≠90。n=24。

1.0000000000 ...

      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 40 59 68 = 3 14 20 29 62
      [4] 7 39 53 67 = 13 21 47 73
      [5] 30 55 65 74 75 = 32 52 56 85 88
      [2] 48 84 = 54 66
把这5组合并在一起

王守恩 · 发表于 2024-4-9 06:30:15

mathe 发表于 2024-4-8 16:34
[5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
[5] 1 12 40 59 68 = 3 14 20 29 62
[4] 7 ...

好极了！！！n=42。
n=42是在提示n=4,8,10,12,14,18,20,22,24,28,30,32,34,38有解。
结合45#的方法，应该是有更多的n有解。

王守恩 · 发表于 2024-4-9 13:04:20

王守恩发表于 2024-4-9 06:30
好极了！！！n=42。
n=42是在提示n=4,8,10,12,14,18,20,22,24,28,30,32,34,38有解。
结合45#的方法，应该 ...

谢谢 mathe！解题过程我们得到的附产品。

{a, 90-a; 2a, 30}=sin(a)*sin(90-a)=sin(2a)*sin(30)

{a, 60-a, 60-2a; 3a, 30, 30-a}

{3a, 30-a, 90-a, 4a-60; 6a, 30, 60-a, 2a-30}

{3a, 20-2a, 40-a, 60-12a, 20+a; 9a, 30, 10-a, 30-6a, 30+3a}

{a, 6a, 30, 10-a, 40+2a, 50+a; 2a, 3a, 30-a, 30-3a, 20+a, 30+a}

mathe · 发表于 2024-4-9 13:30:08

左右各两个角的只有6种
[2] 6 54 = 12 24
[2] 12 48 = 18 30
[2] 12 84 = 18 42
[2] 18 78 = 24 48
[2] 24 84 = 30 54
[2] 48 84 = 54 66
然后各3个的405种，4～7数目分别为4753,64772,948681,11807137。比较有意思的是所有方案中45度角都没有出现，看来是无法使用45度角。

不同数目的例子可以有
[3] 1 30 87 = 2 29 31
[4] 1 6 18 54 = 2 3 29 31
[5] 1 4 6 56 64 = 2 3 12 29 31
[6] 1 3 10 41 63 79 = 2 5 9 17 53 55
[7] 1 3 4 10 35 37 41 = 2 5 9 11 12 17 27
7以上可以用组合方案，比如
8：
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [3] 13 34 47 = 17 30 39
9：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [4] 1 12 68 70 = 3 14 29 31
10：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
11：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [4] 1 12 68 70 = 3 14 29 31
      [2] 24 84 = 30 54
12：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 28 59 63 = 2 15 21 29 56
      [2] 24 84 = 30 54
13：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [3] 13 34 47 = 17 30 39
14：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [4] 16 52 56 84 = 28 32 50 70
15：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [5] 13 16 30 54 68 = 14 17 39 43 50
16：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [3] 13 34 47 = 17 30 39
      [3] 50 70 74 = 52 62 84
17：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [3] 13 47 68 = 17 39 56
      [4] 16 52 62 84 = 30 32 50 70
18：
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 24 48 69 = 2 15 27 29 31
      [5] 25 39 58 81 85 = 30 34 55 76 87
      [3] 50 70 74 = 52 62 84
19:
      [5] 4 19 33 41 64 = 10 11 18 46 82
      [5] 1 12 28 30 59 = 2 3 29 56 84
      [5] 5 39 40 65 75 = 13 20 35 47 73
      [4] 7 16 42 53 = 14 21 23 32
20:
      [7] 58 65 67 70 71 73 74 = 59 61 63 64 76 83 88
      [7] 41 43 77 79 84 85 87 = 53 54 55 57 75 81 89
      [6] 22 38 40 56 78 82 = 28 30 44 48 80 86
21:
      [7] 58 65 67 70 71 73 74 = 59 61 63 64 76 83 88
      [7] 41 43 77 79 81 84 85 = 51 53 55 66 69 75 89
      [7] 18 28 44 48 54 80 86 = 22 30 38 40 56 78 82

账号		自动登录	找回密码
密码			欢迎注册

[讨论] 这样的数组有多少？

评分

点评

点评