如何过抛物线上一点作出它的切线

jiaon

在用几何画板模拟凸透镜对光线的汇聚作用时遇到这么个问题。
已知抛物线的焦点F和准线l,直线AB，如何过AB与抛物线的交点，尺规作图作出抛物线的切线？
找到了作交点的方法：http://www.docin.com/p-9746735.html
不知切线怎么作出，望各位大侠指教。

wayne

不明白这里的直线AB起什么作用。

已知抛物线及其上的一点P，作该点P处的切线，倒有一个很简单的方法。

连接该点P与抛物线的顶点O，在抛物线的对称轴上异于焦点的一侧取一点Q，使得该点到顶点的距离OQ等于OP，那么，直线PQ即是你要的切线

mathe

有了wanye前面的方法，那么我们只需要找到直线AB和抛物线的交点就可以了。
也就是相当于在直线AB上找一点C,它到F和直线l的距离相等。或者说做一个圆，圆心在AB上，同l相切，还要过F点。做l关于AB的对称直线l',那么相当于做以圆过F点并且同时同l和l'相切，这个挺容易的

wayne

不好意思啊，2楼我是凭记忆说的。其实错了。
应该是这样的：

设抛物线焦点为F,对称轴上异于焦点一侧的点Q,抛物线上的一点P，如果FP=FQ，那么PQ是抛物线上P点处的切线

mathe

计算一下，假设$P(x_0,y_0)$,抛物线方程$y^2=2px$
那么切线PQ的方程为$y_0y=px_0+px$,所以Q点坐标为$(-x_0,0)$
所以$QF=x_0+p/2$,同样$PF=sqrt((x_0-p/2)^2+y_0^2)=sqrt((x_o-p/2)^2+2px_0)=x_0+p/2$
所以QF=PF。
不过我们也可以采用另外一个策略，$OQ=x_0$正好时OP在对称轴上投影的长度。

winxos

都忘了抛物线还有焦点一说，查了一下才记起来，
抛物线是离心率为1的曲线，
不知道怎么的还是习惯`2py=x^2`的写法，
假设抛物线上点`(a,a^2/{2p})`，根据对抛物线求导得到切点斜率`a/p`
求到切线方程`y=ax/p-a^2/{2p}`
于y交点坐标`(0,-a^2/{2p})`
可以发现坐标间的关系。
发现math计算过程简单不少。。。
想起了以前碰到的一个事情，跟这个本质一样的，
原点是抛物线上一点做垂线和切线与y轴交点的中点，当时很是惊讶。

jiaon

感谢各位。
作出切线后，模拟了一下凸透镜对光的汇聚情况，结果无论透镜表面是球面还是旋转抛物面，都不能把平行于主光轴的光线汇聚到一点。只有光线距离主轴比较近的时候近似汇聚到一点。

移动KA，那个c点是动的。
经试验，旋转抛物面的凹面镜可以把平行于主轴的光汇聚到一点，那么什么样的旋转曲面做的凸透镜才能把光汇聚到一点？

wayne

6# winxos

我印象中教科书的写法都是x^2=2py;y^2=2px的

wayne

感谢各位。
作出切线后，模拟了一下凸透镜对光的汇聚情况，结果无论透镜表面是球面还是旋转抛物面，都不能把平行于主光轴的光线汇聚到一点。只有光线距离主轴比较近的时候近似汇聚到一点。
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移动KA，那个c点是 ...
jiaon 发表于 2009-11-17 22:03

明白了楼主的意思了。
看来这题还是蛮有趣的。
只是透镜的要比曲面镜的复杂得多，因为光路图里面有两次折射

wayne

凸透镜的宽这个参数我们有必要考虑进来。
用解析几何的知识，把光路图的每个细节表达一下，
以角度关系来列等式估计要简单一些，
最后的核心就是C的横坐标值不依赖于A点纵坐标的改变而改变