一个结构非常优美的复数问题

wayne

hujunhua 发表于 2024-4-27 02:15
`p_n`的SymmetricReduction是牛顿多项式的基本问题, 哪里轮得到现在来原创。
所以我也想过求`p_n`, 但仅 ...

对于给定的$n$, 求$p_n$的对称多项式, 用SymmetricReduction是可以的, 但对于较大的$n$,Mathematica就慢很多很多了. 然后对一般的$n$, Mathematica就更没办法了.  然后我要解决的就是较大的n和一般的n. 这两个目标都已经达成了,比SymmetricReduction快很多.  

wayne

hujunhua 发表于 2024-4-27 02:15
`p_n`的SymmetricReduction是牛顿多项式的基本问题, 哪里轮得到现在来原创。
所以我也想过求`p_n`, 但仅 ...

可以换种玩法,消除奇偶性. 将 $p_n=g(n) e_1^n$代入$p_n = e_1p_{n-1}-e_2p_{n-2}+e_3p_{n-3}$得到 $-6g(n) = -6g(n-1)+3g(n-2)-g(n-3)$,其中$g(1)=1,g(2)=0,g(3)=0$,
特征方程是$6 x^3-6 x^2+3 x-1=0$,设三个根分别是$t_1,t_2,t_3$,那么刚好$g(n) = t_1^n+t_2^n+t_3^n$,  $p(n) =( t_1^n+t_2^n+t_3^n)e_1^n$

1. RecurrenceTable[{-6g[k]==-6 g[k-1]+3 g[k-2]- g[k-3] ,g[1]==1,g[2]==0,g[3]==0},g[k],{k,100}]

复制代码

复盘了一下, 发现咱们这是兜了一个大圈,又回去了, 因为我们可以直接用$e_1$来表达$a,b,c$的值,然后代入就是了.
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) = x^3-e_1x^2+e_2x-e_3=x^3-e_1x^2+\frac{e_1^2}{2}x-\frac{e^3}{6}  -> g(x)=f(e_1x)=e_1^3(6 x^3-6 x^2+3 x-1)=0$ ,所以，${a,b,c}$是${e_1t_1,e_1t_2,e_1t_3}$
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