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[转载] 已知等边△ABC,过点A作射线AD//BC,在射线AD_上取点P,连接PB,PC,求PB/PC的最大值

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发表于 2024-5-6 08:01:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知等边△ABC,过点A作射线AD//BC,在射线AD_上取点P,连接PB,PC,求PB/PC的最大值.


无标题.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-5-6 09:18:17 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  4. (*子函数,四面体体积公式,a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱,x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*余弦定理,约束条件1*)
  7. cond1=cs[PA,6,PB]-Cos[120*Degree]//Together//Numerator
  8. (*余弦定理,约束条件2*)
  9. cond2=fun[PA,PB,PC,6,6,6]^2*4
  10. (*目标函数*)
  11. f=PB/PC+x1*cond1+x2*cond2
  12. (*求偏导数*)
  13. fx=D[f,{{PA,PB,PC,x1,x2}}]//Simplify
  14. (*解方程组*)
  15. ans=Solve[{fx==0,PA>0,PB>0,PC>0},{PA,PB,PC,x1,x2}]
  16. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
  17. aaa=(f/.ans)//Simplify (*得到目标函数值*)
复制代码


方程组
\[\left\{2 \left(\text{PA} \text{x2} \left(-2 \text{PA}^2+\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right)+(\text{PA}+3) \text{x1}\right),2 \text{PB} \text{x2} \left(\text{PA}^2+\text{PC}^2+36\right)-4 \text{PB}^3 \text{x2}-2 \text{PB} \text{x1}+\frac{1}{\text{PC}},2 \text{PC} \text{x2} \left(\text{PA}^2-2 \text{PC}^2+36\right)+2 \text{PB}^2 \text{PC} \text{x2}-\frac{\text{PB}}{\text{PC}^2},\text{PA}^2+6 \text{PA}-\text{PB}^2+36,-\text{PA}^4+\text{PA}^2 \left(\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right)-\text{PB}^4+\text{PB}^2 \left(\text{PC}^2+36\right)-\text{PC}^4+36 \text{PC}^2-1296\right\}\]


方程组求解结果
\[\begin{array}{lllll}
\text{PA}\to 6 & \text{PB}\to 6 \sqrt{3} & \text{PC}\to 6 & \text{x1}\to -\frac{1}{36 \sqrt{3}} & \text{x2}\to \frac{1}{2592 \sqrt{3}} \\
\text{PA}\to 6 & \text{PB}\to 6 \sqrt{3} & \text{PC}\to 12 & \text{x1}\to \frac{1}{144 \sqrt{3}} & \text{x2}\to -\frac{1}{20736 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

目标函数值
\[\left\{\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\]

点评

nyy
我这个求解办法,计算量不是一般的大  发表于 2024-5-6 09:44
nyy
第二行的解多余,不满足AP//BC  发表于 2024-5-6 09:21
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-5-6 09:28:55 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-6 09:18
方程组
\[\left\{2 \left(\text{PA} \text{x2} \left(-2 \text{PA}^2+\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right) ...

我从网上看到说用托勒密定理求解最大值,但是没过程,不知道如何求解
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发表于 2024-5-6 10:00:23 | 显示全部楼层

等高线法

求极值最有效的方法之一是等高线法。所谓等高线,就是目标值相等的点所构成的线。
当带有约束条件时,等高线与约束线的切点一般就是驻点位置。
在本题中,等高线,即PB/PC=定值的线是以B, C为基点的阿氏圆。

由B,C,P所定义的阿氏圆与射线AD相切时,PB/PC最大。
阿氏圆.png
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 楼主| 发表于 2024-5-6 11:09:37 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2024-5-6 10:00
由B,C,P所定义的阿氏圆与射线AD相切时,PB/PC最大。

由B,C,P所定义的阿氏圆与射线AD相切时,PB/PC最大。
结论怎么得到的?
我感觉这个结论很不错,但是我需要其中的逻辑推理!
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发表于 2024-5-6 11:14:59 | 显示全部楼层
若已知 \(BC=a\),点 \(P\) 到 \(BC\) 的高为 \(h\),垂足为 \(H\),\(BC\) 中点为 \(M\),以 \(BC\) 为正向,有向线段 \(MH=x\),那么有向线段 \(BH=BM+MH=a/2+x\),\(HC=MC-MH=a/2-x\),再由勾股定理得
\begin{align*}
PB^2=BH^2+h^2=\left(\frac{a}{2}+x\right)^2+h^2\\
PC^2=HC^2+h^2=\left(\frac{a}{2}-x\right)^2+h^2\\
\end{align*}

\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2&=\frac{\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2+h^2}{\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2+h^2}\\
&=1+\frac{8ax}{4x^2-4ax+a^2+4h^2}
\end{align*}
从上式看,当 \(x=0\) 时 \(PB=PC\),当 \(x<0\) 时,若 \(x\) 以其相反数替换,上式的值显然更大,因此仅需讨论 \(x>0\) 的情形,此时
\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2&=1+\frac{8ax}{4x^2-4ax+a^2+4h^2}\\
&=1+\frac{8a}{4x+\dfrac{a^2+4h^2}{x}-4a}
\end{align*}
由平均值不等式知
\[
4x+\frac{a^2+4h^2}{x}\geq 4\sqrt{a^2+4h^2}
\]
当且仅当 \(x=\sqrt{a^2+4h^2}/2\) 时取得等号,此时
\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2\leq 1+\frac{8a}{4\sqrt{a^2+4h^2}-4a}=\frac{a^2+2h^2+a\sqrt{a^2+4h^2}}{2h^2}
\end{align*}
如果 \(\triangle ABC\) 是正三角形,且 \(BC=1\),则 \(h=\sqrt{3}/2\),那么当 \(x=1\) 时候 \(PB/PC\) 取得最大值 \(\sqrt{3}\)。

点评

nyy
按照你的结论,如果△ABC不是等边三角形,取极值的时候AC=PC  发表于 2024-5-7 13:11
nyy
我也想到这个解析几何,但是我没耐心手算,我百分百会电脑算  发表于 2024-5-6 13:06
nyy
你这个属于野蛮的解析几何  发表于 2024-5-6 11:21
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 楼主| 发表于 2024-5-6 12:59:17 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2024-5-6 10:00
由B,C,P所定义的阿氏圆与射线AD相切时,PB/PC最大。



假设等边三角形的边长=2,

利用这边的关系

一道平面几何题求最值
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17109-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 17109&pid=82830

  1. Clear["Global`*"];
  2. a=2;(*等边三角形边长*)
  3. R=Sqrt[3];(*阿波罗尼斯圆半径*)
  4. ans=Solve[{
  5.     (a+x)*x==R^2,(*两者乘积=半径平方*)
  6.     (a+x)/x==k^2,(*两者之比=比值平方*)
  7.     k>0 (*限制变量范围*)
  8. },{x,k}]
  9. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{ll}
x\to -3 & k\to \frac{1}{\sqrt{3}} \\
x\to 1 & k\to \sqrt{3} \\
\end{array}\]
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 楼主| 发表于 2024-5-6 13:13:47 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*等边三角形边长=2,BCP三点赋值*)
  3. {xb,yb}={-1,0};
  4. {xc,yc}={+1,0};
  5. {xp,yp}={x,Sqrt[3]};
  6. f=((xp-xb)^2+(yp-yb)^2)/((xp-xc)^2+(yp-yc)^2) (*目标函数值*)
  7. fx=D[f,{x}]//Simplify (*求导数*)
  8. ans=Solve[fx==0,{x}] (*导数零点*)
  9. aaa=Sqrt[f/.ans]//Simplify (*目标函数值*)
复制代码


解析几何求导


目标函数值
\[\frac{(x+1)^2+3}{(x-1)^2+3}\]

求导得到
\[-\frac{4 \left(x^2-4\right)}{\left(x^2-2 x+4\right)^2}\]

导数零点
\[\{\{x\to -2\},\{x\to 2\}\}\]

目标函数值
\[\left\{\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}\right\}\]
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发表于 2024-5-6 14:47:31 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-6 13:13
解析几何求导

机器也不是万能的,人不动脑会生锈。
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发表于 2024-5-6 15:47:37 | 显示全部楼层

阿氏圆的套圈性质

nyy 发表于 2024-5-6 11:09
由B,C,P所定义的阿氏圆与射线AD相切时,PB/PC最大。
结论怎么得到的?
我感觉这个结论很不错,但是我需 ...


如图,阿氏圆(-E, E, a)定义为到-E和E两点的距离之比等于定值$(1+a)/(1-a)=(a^{-1}+1)/(a^{-1}-1)$的点P的轨迹。
按定义,轴线上的`A(a,0)`和`A^{-1}(a^{-1},0)`两点在阿氏圆上,为对径点。
-E 和 E 固定,`a` 在`(0, 1)`上滑动,对径点 A 和 1/A 以 E 为反比对称中心向两端伸缩。
所以阿氏圆是环环相套,互不相交的。最大的逼近 -E 和 E 的对称轴,最小的逼近点圆 E。
由此得到阿氏圆的套圈性质:阿氏圆内/外的点到两定点的距离比大于/小于定义比。
阿氏圆的套圈性质.png
因此,当题中的 P 所在阿氏圆与射线AD相割时,割弦上的点比弦端P比值更大。
所以,当P 所在阿氏圆与射线AD相切时,到达比值的极大值点。

点评

nyy
非常棒,我彻底看懂了!  发表于 2024-5-7 08:55
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