已知等边△ABC，过点A作射线AD//BC，在射线AD_上取点P，连接PB，PC，求PB/PC的最大值

nyy

已知等边△ABC，过点A作射线AD//BC，在射线AD_上取点P，连接PB，PC，求PB/PC的最大值.

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
6. (*余弦定理,约束条件1*)
   
7. cond1=cs[PA,6,PB]-Cos[120*Degree]//Together//Numerator
   
8. (*余弦定理,约束条件2*)
   
9. cond2=fun[PA,PB,PC,6,6,6]^2*4
   
10. (*目标函数*)
    
11. f=PB/PC+x1*cond1+x2*cond2
    
12. (*求偏导数*)
    
13. fx=D[f,{{PA,PB,PC,x1,x2}}]//Simplify
    
14. (*解方程组*)
    
15. ans=Solve[{fx==0,PA>0,PB>0,PC>0},{PA,PB,PC,x1,x2}]
    
16. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
17. aaa=(f/.ans)//Simplify (*得到目标函数值*)
    

复制代码

方程组
\[\left\{2 \left(\text{PA} \text{x2} \left(-2 \text{PA}^2+\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right)+(\text{PA}+3) \text{x1}\right),2 \text{PB} \text{x2} \left(\text{PA}^2+\text{PC}^2+36\right)-4 \text{PB}^3 \text{x2}-2 \text{PB} \text{x1}+\frac{1}{\text{PC}},2 \text{PC} \text{x2} \left(\text{PA}^2-2 \text{PC}^2+36\right)+2 \text{PB}^2 \text{PC} \text{x2}-\frac{\text{PB}}{\text{PC}^2},\text{PA}^2+6 \text{PA}-\text{PB}^2+36,-\text{PA}^4+\text{PA}^2 \left(\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right)-\text{PB}^4+\text{PB}^2 \left(\text{PC}^2+36\right)-\text{PC}^4+36 \text{PC}^2-1296\right\}\]


方程组求解结果
\[\begin{array}{lllll}
\text{PA}\to 6 & \text{PB}\to 6 \sqrt{3} & \text{PC}\to 6 & \text{x1}\to -\frac{1}{36 \sqrt{3}} & \text{x2}\to \frac{1}{2592 \sqrt{3}} \\
\text{PA}\to 6 & \text{PB}\to 6 \sqrt{3} & \text{PC}\to 12 & \text{x1}\to \frac{1}{144 \sqrt{3}} & \text{x2}\to -\frac{1}{20736 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

目标函数值
\[\left\{\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\]

nyy

nyy 发表于 2024-5-6 09:18
方程组
\[\left\{2 \left(\text{PA} \text{x2} \left(-2 \text{PA}^2+\text{PB}^2+\text{PC}^2+36\right) ...

我从网上看到说用托勒密定理求解最大值，但是没过程，不知道如何求解

hujunhua

求极值最有效的方法之一是等高线法。所谓等高线，就是目标值相等的点所构成的线。
当带有约束条件时，等高线与约束线的切点一般就是驻点位置。
在本题中，等高线，即PB/PC=定值的线是以B, C为基点的阿氏圆。

由B，C，P所定义的阿氏圆与射线AD相切时，PB/PC最大。

nyy

hujunhua 发表于 2024-5-6 10:00
由B，C，P所定义的阿氏圆与射线AD相切时，PB/PC最大。

由B，C，P所定义的阿氏圆与射线AD相切时，PB/PC最大。
结论怎么得到的？
我感觉这个结论很不错，但是我需要其中的逻辑推理！

hejoseph

若已知 \(BC=a\)，点 \(P\) 到 \(BC\) 的高为 \(h\)，垂足为 \(H\)，\(BC\) 中点为 \(M\)，以 \(BC\) 为正向，有向线段 \(MH=x\)，那么有向线段 \(BH=BM+MH=a/2+x\)，\(HC=MC-MH=a/2-x\)，再由勾股定理得
\begin{align*}
PB^2=BH^2+h^2=\left(\frac{a}{2}+x\right)^2+h^2\\
PC^2=HC^2+h^2=\left(\frac{a}{2}-x\right)^2+h^2\\
\end{align*}
则
\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2&=\frac{\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2+h^2}{\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2+h^2}\\
&=1+\frac{8ax}{4x^2-4ax+a^2+4h^2}
\end{align*}
从上式看，当 \(x=0\) 时 \(PB=PC\)，当 \(x<0\) 时，若 \(x\) 以其相反数替换，上式的值显然更大，因此仅需讨论 \(x>0\) 的情形，此时
\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2&=1+\frac{8ax}{4x^2-4ax+a^2+4h^2}\\
&=1+\frac{8a}{4x+\dfrac{a^2+4h^2}{x}-4a}
\end{align*}
由平均值不等式知
\[
4x+\frac{a^2+4h^2}{x}\geq 4\sqrt{a^2+4h^2}
\]
当且仅当 \(x=\sqrt{a^2+4h^2}/2\) 时取得等号，此时
\begin{align*}
\left(\frac{PB}{PC}\right)^2\leq 1+\frac{8a}{4\sqrt{a^2+4h^2}-4a}=\frac{a^2+2h^2+a\sqrt{a^2+4h^2}}{2h^2}
\end{align*}
如果 \(\triangle ABC\) 是正三角形，且 \(BC=1\)，则 \(h=\sqrt{3}/2\)，那么当 \(x=1\) 时候 \(PB/PC\) 取得最大值 \(\sqrt{3}\)。

nyy

hujunhua 发表于 2024-5-6 10:00
由B，C，P所定义的阿氏圆与射线AD相切时，PB/PC最大。

假设等边三角形的边长=2，

利用这边的关系

一道平面几何题求最值
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17109-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 17109&pid=82830

1. Clear["Global`*"];
   
2. a=2;(*等边三角形边长*)
   
3. R=Sqrt[3];(*阿波罗尼斯圆半径*)
   
4. ans=Solve[{
   
5.     (a+x)*x==R^2,(*两者乘积=半径平方*)
   
6.     (a+x)/x==k^2,(*两者之比=比值平方*)
   
7.     k>0 (*限制变量范围*)
   
8. },{x,k}]
   
9. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{ll}
x\to -3 & k\to \frac{1}{\sqrt{3}} \\
x\to 1 & k\to \sqrt{3} \\
\end{array}\]

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*等边三角形边长=2,BCP三点赋值*)
   
3. {xb,yb}={-1,0};
   
4. {xc,yc}={+1,0};
   
5. {xp,yp}={x,Sqrt[3]};
   
6. f=((xp-xb)^2+(yp-yb)^2)/((xp-xc)^2+(yp-yc)^2) (*目标函数值*)
   
7. fx=D[f,{x}]//Simplify (*求导数*)
   
8. ans=Solve[fx==0,{x}] (*导数零点*)
   
9. aaa=Sqrt[f/.ans]//Simplify (*目标函数值*)
   

复制代码

解析几何求导


目标函数值
\[\frac{(x+1)^2+3}{(x-1)^2+3}\]

求导得到
\[-\frac{4 \left(x^2-4\right)}{\left(x^2-2 x+4\right)^2}\]

导数零点
\[\{\{x\to -2\},\{x\to 2\}\}\]

目标函数值
\[\left\{\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}\right\}\]

aimisiyou

nyy 发表于 2024-5-6 13:13
解析几何求导

机器也不是万能的，人不动脑会生锈。

hujunhua

nyy 发表于 2024-5-6 11:09
由B，C，P所定义的阿氏圆与射线AD相切时，PB/PC最大。
结论怎么得到的？
我感觉这个结论很不错，但是我需 ...

如图，阿氏圆(-E, E, a)定义为到-E和E两点的距离之比等于定值$(1+a)/(1-a)=(a^{-1}+1)/(a^{-1}-1)$的点P的轨迹。
按定义，轴线上的`A(a,0)`和`A^{-1}(a^{-1},0)`两点在阿氏圆上，为对径点。
-E 和 E 固定，`a` 在`(0, 1)`上滑动，对径点 A 和 1/A 以 E 为反比对称中心向两端伸缩。
所以阿氏圆是环环相套，互不相交的。最大的逼近 -E 和 E 的对称轴，最小的逼近点圆 E。
由此得到阿氏圆的套圈性质：阿氏圆内/外的点到两定点的距离比大于/小于定义比。

因此，当题中的 P 所在阿氏圆与射线AD相割时，割弦上的点比弦端P比值更大。
所以，当P 所在阿氏圆与射线AD相切时，到达比值的极大值点。