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[转载] 当∠EAF=45°时,求BE/EF的最大值

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发表于 2024-5-7 12:57:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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当∠EAF=45°时,求BE/EF的最大值。

现在的中考题真的这么难吗?我不会!



QQ截图20240507125006.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-5-7 13:00:45 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*假设AB=1,BE=x,EF=y*)
  3. aaa=Solve[(x+1)/(1-x*1)==x+y,{y}](*正切角相加公式*)
  4. f=(x/y)/.aaa[[1]]//Simplify(*目标函数值*)
  5. ans=Solve[D[f,x]==0,{x}](*求导数的零点*)
  6. bbb=(f/.ans)//Simplify(*求对应的函数值*)
复制代码


求解结果

y的表达式
\[\left\{\left\{y\to \frac{-x^2-1}{x-1}\right\}\right\}\]

目标函数表达式
\[-\frac{(x-1) x}{x^2+1}\]

导数的零点
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{2}-1\right\},\left\{x\to \sqrt{2}-1\right\}\right\}\]

目标函数的表达式的值
\[\left\{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\right\}\]

点评

nyy
取最大值的时候,∠BAE=22.5°,正好是∠EAF的一半,这个是巧合吗?  发表于 2024-5-7 13:02
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发表于 2024-5-7 13:49:59 | 显示全部楼层
现在的有些中考题就是这样的
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发表于 2024-5-7 14:21:24 | 显示全部楼层
$$BE+\frac{EF}{2}≤\frac{\sqrt2}{2}*EF,故\frac{BE}{EF}≤\frac{\sqrt2-1}{2}$$
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 楼主| 发表于 2024-5-7 14:43:22 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2024-5-7 14:21
$$BE+\frac{EF}{2}≤\frac{\sqrt2}{2}*EF,故\frac{BE}{EF}≤\frac{\sqrt2-1}{2}$$

过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!过程!
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 楼主| 发表于 2024-5-8 08:50:18 | 显示全部楼层
别人的解答,太具有技巧性!

容易知道BG//AF,因此
BE/EF=BG/AF=GH/AB,而AB是定值,需要GH的最大值。
假设AB=2,则GHmax=sqrt(2)-1,
因此 (BE/EF)max=(sqrt(2)-1)/2
QQ截图20240508084701.png
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 楼主| 发表于 2024-5-8 09:18:11 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-7 13:00
求解结果

y的表达式

用三角函数来解决这个问题。
  1. Clear["Global`*"];
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. f=Tan[x]/(Tan[x+45deg]-Tan[x]) (*f=BE/EF*)
  4. fx=D[f,x]//Simplify (*求导数,并且化简*)
  5. aaa=Solve[fx==0&&0<=x<=45deg,{x}]//FullSimplify (*求导数零点*)
  6. bbb=f/.aaa[[1]]//FullSimplify (*目标函数值*)
复制代码


求解结果

目标函数值
\[\frac{\tan (x)}{\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\tan (x)}\]

导数
\[\cos (2 x)-\sin (2 x)\]

导数零点
\[\left\{\left\{x\to \frac{\pi }{8}\right\}\right\}\]

目标函数值
\[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\]

点评

nyy
设∠BAE=x,这个漏掉了  发表于 2024-5-8 09:32
nyy
三角函数的思路也很简单  发表于 2024-5-8 09:19
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发表于 2024-5-8 11:40:57 | 显示全部楼层
当∠EAF=45°时,求BE/EF的最大值。

记∠BAE=a, ∠AFE=45-a,

\(\frac{BE}{EF}=\frac{\sin(a)}{sin(45)/\sin(45-a)}=\frac{\sin(a)\sin(45-a)}{\sin(45)}\)

当a=45-a时,BE/EF取得最大值=\(\frac{\sin(22.5)\sin(22.5)}{sin(45)}=\frac{\tan(22.5)}{2}=\sin(45)-\sin(30)\)

点评

nyy
你假设AE=1  发表于 2024-5-8 12:26
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 楼主| 发表于 2024-5-8 12:38:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-5-8 12:42 编辑
王守恩 发表于 2024-5-8 11:40
当∠EAF=45°时,求BE/EF的最大值。

记∠BAE=a, ∠AFE=45-a,


sin(a)sin(45-a)<=((sin(a)+sin(45-a))/2)^2<=sin((a+45-a)/2)^2=sin(22.5)^2

所以
sin(a)sin(45-a)/sin(45)<=sin(22.5)^2/(2*sin(22.5)*cos(22.5))=tan(22.5)/2=(sqrt(2)-1)/2
你的回答,回答了为什么22.5是45的一半的问题。
AB外切△AEF的外接圆

\[\sin (a) \sin (45-a)\leq \left(\frac{1}{2} (\sin (45-a)+\sin (a))\right)^2\leq \sin ^2\left(\frac{1}{2} (a+45-a)\right)=\sin ^2(22.5)\]
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 楼主| 发表于 2024-5-8 12:51:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-5-8 12:58 编辑


AB外切△AEF的外接圆,∠EAF=45°,
此处外切+阿波罗尼斯圆。

此处https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9409&pid=100234
外切+阿波罗尼斯圆

这个能不能用阿波罗尼斯圆自圆其说一下?

@hujunhua
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