当∠EAF=45°时，求BE/EF的最大值

nyy

nyy 发表于 2024-5-8 08:50
别人的解答，太具有技巧性！

容易知道BG//AF，因此

假设EF=定值，不妨设EF=2，∠EAF=45，因此A点的轨迹是圆，阿波罗尼斯圆，
求BE/EF的最大值，也就是求BE的最大值，因此当BA外切三角形AEF的外接圆时，BE的值最大，
这个时候∠BAE+45+∠AFB=90，而外切导致∠BAE=∠AFB，所以，此时∠BAE=∠AFB=22.5°

再不妨设AB=1，
则
BE=tan(22.5)=2^0.5-1
BF=tan(67.5)=2^0.5+1
EF=tan(67.5)-tan(22.5)=2

BE/EF=(2^0.5-1)/2

王守恩

一般地, 当∠EAF=2k, BE/EF最大值=\(\frac{\sin(45-k)\sin(45-k)}{sin(2k)}\)

Jack315

参考：
瓜豆原理秒杀几何动点问题
https://www.bilibili.com/video/BV1xz4y1A7Jd/

nyy

Jack315 发表于 2024-5-8 16:51
参考：
瓜豆原理秒杀几何动点问题
https://www.bilibili.com/video/BV1xz4y1A7Jd/

我要过程，不要瓜豆原理！瓜豆原理，应该用解析几何很容易证明！

王广喜

aimisiyou 发表于 2024-5-7 14:21
$$BE+\frac{EF}{2}≤\frac{\sqrt2}{2}*EF,故\frac{BE}{EF}≤\frac{\sqrt2-1}{2}$$

突然间明白了你的思路