DA由DC旋转，求AB最大值

nyy

初中数学，怎么会这么难？

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. b=4*Sqrt[2];
   
5. (*两角相加等于270°,因此余弦值的平方和相加等于1*)
   
6. cond=cs[a,b,x]^2+cs[a,b,9]^2-1//Together//Numerator
   
7. f=x+t*cond (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
8. ans=Solve[D[f,{{x,a,t}}]==0,{x,a,t}]//Simplify(*求偏导数解方程组*)
   
9. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   

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我只会拉格朗日乘子法，思路都写在注释里面。

求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to -17 & a\to -\sqrt{185} & t\to \frac{1}{4896} \\
x\to -17 & a\to \sqrt{185} & t\to \frac{1}{4896} \\
x\to -1 & a\to -\sqrt{41} & t\to -\frac{1}{288} \\
x\to -1 & a\to \sqrt{41} & t\to -\frac{1}{288} \\
x\to 1 & a\to -\sqrt{41} & t\to \frac{1}{288} \\
x\to 1 & a\to \sqrt{41} & t\to \frac{1}{288} \\
x\to 17 & a\to -\sqrt{185} & t\to -\frac{1}{4896} \\
x\to 17 & a\to \sqrt{185} & t\to -\frac{1}{4896} \\
x\to -\sqrt{32-49 i} & a\to 0 & t\to \left(-\frac{1}{13700}+\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32-49 i} \\
x\to \sqrt{32-49 i} & a\to 0 & t\to \left(\frac{1}{13700}-\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32-49 i} \\
x\to -\sqrt{32+49 i} & a\to 0 & t\to \left(-\frac{1}{13700}-\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32+49 i} \\
x\to \sqrt{32+49 i} & a\to 0 & t\to \left(\frac{1}{13700}+\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32+49 i} \\
\end{array}\]

有意义的两组解
\[\left\{\left\{x\to 1,a\to \sqrt{41},t\to \frac{1}{288}\right\},\left\{x\to 17,a\to \sqrt{185},t\to -\frac{1}{4896}\right\}\right\}\]

可以验证第二组符合要求

约束条件
\[2 a^4-2 a^2 x^2-162 a^2+x^4-64 x^2+3425=0\]

nyy

nyy 发表于 2024-5-14 10:05
我只会拉格朗日乘子法，思路都写在注释里面。

求解结果

用CAD画图，发现A点的轨迹是一个圆，圆心(0,9),半径8，

但是这不属于数学手段解题！

nyy

nyy 发表于 2024-5-14 10:05
我只会拉格朗日乘子法，思路都写在注释里面。

求解结果

对上面求出来的cond，
3425 - 162 a^2 + 2 a^4 - 64 x^2 - 2 a^2 x^2 + x^4=0
把这个看成是关于a的多项式，那么求解出来a。
得到
\[\left\{\left\{a\to -\frac{\sqrt{x^2-\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to \frac{\sqrt{x^2-\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to -\frac{\sqrt{x^2+\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\]

很显然，要求判别式大于等于零。

Reduce[-289 + 290 x^2 - x^4 >= 0, {x}]

得到

-17 <= x <= -1 || 1 <= x <= 17

再来验证这个x=17能否取到就可以了。

nyy

取极值的时候，∠DBC=135°

hujunhua

nyy 发表于 2024-5-14 10:59
用CAD画图，发现A点的轨迹是一个圆，圆心(0,9),半径8，

但是这不属于数学手段解题！ ...

发现轨迹，找到变换阐明轨迹，就是数学方法。

C 是定点(9,0),  D 是动点在圆`x^2+y^2=32`上。 A 是 D 绕 C 顺时针旋转 45° 再缩放 √2 倍的像点。
所以 A 的 轨迹是圆`x^2+y^2=32`绕 C 顺时针旋转 45° 再缩放 √2 倍的像，即圆心在(0,9), 半径为 8。

王守恩

圆内接四边形(图没画好)ACBD。

AB*CD=AC*BD+AD*BC=(sqrt[2]CD)*sqrt[32]+CD*9

AB=sqrt[2]*sqrt[32]+9=17

nyy

hujunhua 发表于 2024-5-14 14:43
发现轨迹，找到变换阐明轨迹，就是数学方法。

C 是定点(9,0),  D 是动点在圆`x^2+y^2=32`上。 A 是 D 绕 ...

我明白了，这叫瓜豆原理

初中数学：瓜豆原理，中考填空压轴题型详解
https://baijiahao.baidu.com/s?id ... r=spider&for=pc

其中重要的是定点、定角、两个动点！
上来先找定点，且定点一定在定角上，
如果A动点的轨迹是直线，那么B动点的轨迹也是直线，
如果A动点的轨迹是圆，那么B动点的轨迹也是圆。
对于直线，先用A1、A2，然后得到B1、B2，这样就可以快速得到B1B2所在的圆，
对于圆，先是找到从动点的圆心，然后再确定半径！

原来如此，我还以为初中真的那么高大上了！

nyy

主从联动问题之“瓜豆原理”
瓜豆原理：这么多年都叫主从联动问题，现在大家习惯上称呼为“瓜豆原理”。就“种瓜得瓜，种豆得豆 ” 的意思 。        

         若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相似。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。

https://mp.weixin.qq.com/s?src=11&timestamp=1715733494&ver=5261&signature=kIIafHAZPLag*Mb2QCt5QM4IRlKSi4nGg4NlXj*y7wgPHWC-7zPfVv8--*3W8LsO64MnNGyWhu5PrIQfrN5Eik8VhrfwpoqfYbGbpIHfm*YYWHs8BGRnYuCYgLCQ-1ma&new=1

nyy

王守恩 发表于 2024-5-15 08:10
圆内接四边形(图没画好)ACBD。

AB*CD=AC*BD+AD*BC=(sqrt[2]CD)*sqrt[32]+CD*9

无论是最大值，还是最小值，都是四点共圆，谁能解释清楚其中的原理？？？？？？？

难道真的只是偶然的吗？