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[转载] DA由DC旋转,求AB最大值

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本帖最后由 nyy 于 2024-5-14 10:00 编辑

初中数学,怎么会这么难?

QQ截图20240514100003.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-5-14 10:06 编辑
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  4. b=4*Sqrt[2];
  5. (*两角相加等于270°,因此余弦值的平方和相加等于1*)
  6. cond=cs[a,b,x]^2+cs[a,b,9]^2-1//Together//Numerator
  7. f=x+t*cond (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
  8. ans=Solve[D[f,{{x,a,t}}]==0,{x,a,t}]//Simplify(*求偏导数解方程组*)
  9. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


我只会拉格朗日乘子法,思路都写在注释里面。

求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to -17 & a\to -\sqrt{185} & t\to \frac{1}{4896} \\
x\to -17 & a\to \sqrt{185} & t\to \frac{1}{4896} \\
x\to -1 & a\to -\sqrt{41} & t\to -\frac{1}{288} \\
x\to -1 & a\to \sqrt{41} & t\to -\frac{1}{288} \\
x\to 1 & a\to -\sqrt{41} & t\to \frac{1}{288} \\
x\to 1 & a\to \sqrt{41} & t\to \frac{1}{288} \\
x\to 17 & a\to -\sqrt{185} & t\to -\frac{1}{4896} \\
x\to 17 & a\to \sqrt{185} & t\to -\frac{1}{4896} \\
x\to -\sqrt{32-49 i} & a\to 0 & t\to \left(-\frac{1}{13700}+\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32-49 i} \\
x\to \sqrt{32-49 i} & a\to 0 & t\to \left(\frac{1}{13700}-\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32-49 i} \\
x\to -\sqrt{32+49 i} & a\to 0 & t\to \left(-\frac{1}{13700}-\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32+49 i} \\
x\to \sqrt{32+49 i} & a\to 0 & t\to \left(\frac{1}{13700}+\frac{8 i}{167825}\right) \sqrt{32+49 i} \\
\end{array}\]

有意义的两组解
\[\left\{\left\{x\to 1,a\to \sqrt{41},t\to \frac{1}{288}\right\},\left\{x\to 17,a\to \sqrt{185},t\to -\frac{1}{4896}\right\}\right\}\]

可以验证第二组符合要求

约束条件
\[2 a^4-2 a^2 x^2-162 a^2+x^4-64 x^2+3425=0\]

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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-14 10:05
我只会拉格朗日乘子法,思路都写在注释里面。

求解结果

用CAD画图,发现A点的轨迹是一个圆,圆心(0,9),半径8,

但是这不属于数学手段解题!
QQ截图20240514105827.png
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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-14 10:05
我只会拉格朗日乘子法,思路都写在注释里面。

求解结果

对上面求出来的cond,
3425 - 162 a^2 + 2 a^4 - 64 x^2 - 2 a^2 x^2 + x^4=0
把这个看成是关于a的多项式,那么求解出来a。
得到
\[\left\{\left\{a\to -\frac{\sqrt{x^2-\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to \frac{\sqrt{x^2-\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to -\frac{\sqrt{x^2+\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a\to \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{-x^4+290 x^2-289}+81}}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\]

很显然,要求判别式大于等于零。
Reduce[-289 + 290 x^2 - x^4 >= 0, {x}]

得到
-17 <= x <= -1 || 1 <= x <= 17

再来验证这个x=17能否取到就可以了。
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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
取极值的时候,∠DBC=135°
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-14 10:59
用CAD画图,发现A点的轨迹是一个圆,圆心(0,9),半径8,

但是这不属于数学手段解题! ...

发现轨迹,找到变换阐明轨迹,就是数学方法。

C 是定点(9,0),  D 是动点在圆`x^2+y^2=32`上。 A 是 D 绕 C 顺时针旋转 45° 再缩放 √2 倍的像点。
所以 A 的 轨迹是圆`x^2+y^2=32`绕 C 顺时针旋转 45° 再缩放 √2 倍的像,即圆心在(0,9), 半径为 8。

点评

nyy
你的解释非常不错!又比我聪明一点点!  发表于 5 天前
nyy
你是对的,我错了,我理解成了A是C绕D旋转的!你看问题的角度与我不一样  发表于 5 天前
也可以把B,D看成固定,C的轨迹是以B为圆心的圆,这个圆绕D点逆时针转90度就得到A的轨迹,所以其圆心就是B绕D点逆时针转90度得到的点。  发表于 5 天前
等腰三角形的直角边CD到斜边CA,咋不缩放?  发表于 5 天前
nyy
A 是 D 绕 C 顺时针旋转 45°,似乎不缩放呀!  发表于 5 天前
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发表于 4 天前 | 显示全部楼层
圆内接四边形(图没画好)ACBD。

AB*CD=AC*BD+AD*BC=(sqrt[2]CD)*sqrt[32]+CD*9

AB=sqrt[2]*sqrt[32]+9=17

点评

nyy
你的依据是什么?你凭什么说四点共圆?  发表于 4 天前
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2024-5-14 14:43
发现轨迹,找到变换阐明轨迹,就是数学方法。

C 是定点(9,0),  D 是动点在圆`x^2+y^2=32`上。 A 是 D 绕 ...

我明白了,这叫瓜豆原理

初中数学:瓜豆原理,中考填空压轴题型详解
https://baijiahao.baidu.com/s?id ... r=spider&for=pc

其中重要的是定点、定角、两个动点!
上来先找定点,且定点一定在定角上,
如果A动点的轨迹是直线,那么B动点的轨迹也是直线,
如果A动点的轨迹是圆,那么B动点的轨迹也是圆。
对于直线,先用A1、A2,然后得到B1、B2,这样就可以快速得到B1B2所在的圆,
对于圆,先是找到从动点的圆心,然后再确定半径!

原来如此,我还以为初中真的那么高大上了!
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
主从联动问题之“瓜豆原理”
瓜豆原理:这么多年都叫主从联动问题,现在大家习惯上称呼为“瓜豆原理”。就“种瓜得瓜,种豆得豆 ” 的意思 。        

         若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相似。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹,根据主动点的特殊位置点,作出从动点的特殊点,从而连成轨迹。

https://mp.weixin.qq.com/s?src=11&timestamp=1715733494&ver=5261&signature=kIIafHAZPLag*Mb2QCt5QM4IRlKSi4nGg4NlXj*y7wgPHWC-7zPfVv8--*3W8LsO64MnNGyWhu5PrIQfrN5Eik8VhrfwpoqfYbGbpIHfm*YYWHs8BGRnYuCYgLCQ-1ma&new=1

点评

种瓜得豆啊^_^  发表于 4 天前
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-5-15 08:10
圆内接四边形(图没画好)ACBD。

AB*CD=AC*BD+AD*BC=(sqrt[2]CD)*sqrt[32]+CD*9

无论是最大值,还是最小值,都是四点共圆,谁能解释清楚其中的原理???????

难道真的只是偶然的吗?
QQ截图20240515091202.png

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nyy
左边是最大值,右边是最小值  发表于 4 天前
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