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[提问] 如图,BM=AC, 求MN的最小值

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发表于 2024-6-3 12:03:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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初中题又来了,如图,BM=AC,求MN的最小值

QQ截图20240603115805.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-6-3 12:06:39 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*利用余弦定理,得到约束条件*)
  6. cond1=Numerator@Together[cs[x+x,2*x+y,4*Sqrt[3]]-Cos[60deg]]
  7. cond2=Numerator@Together[cs[x,y,z]-Cos[60deg]]
  8. f=z+x1*cond1+x2*cond2 (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
  9. fx=D[f,{{z,x,y,x1,x2}}]//Simplify (*求偏导数*)
  10. ans=Solve[{fx==0,x>=0&&y>=0&&z>=0},{z,x,y,x1,x2},Reals]//Simplify(*求解零点,限制实数,且非负*)
复制代码


约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

约束条件2
x^2 - x y + y^2 - z^2=0

求解结果
\[\left\{\left\{z\to 6-2 \sqrt{3},x\to 2 \sqrt{2},y\to 2 \sqrt{2} \left(\sqrt{3}-1\right),\text{x1}\to \frac{1}{48} \left(\sqrt{3}-3\right),\text{x2}\to \frac{1}{24} \left(\sqrt{3}+3\right)\right\}\right\}\]
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发表于 2024-6-3 13:22:05 | 显示全部楼层
楼主是不是现在有个上初中的小孩?
还是给初中生做家教?

点评

nyy
我这叫纯粹的兴趣与爱好,脱离了人民币的兴趣与爱好  发表于 2024-6-3 13:25
nyy
刷抖音看到的,只是好奇题目的答案怎么来的,就挂网上来了  发表于 2024-6-3 13:23
nyy
目前没有,我孩子连小学都没开始上!  发表于 2024-6-3 13:23
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发表于 2024-6-3 13:25:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2024-6-3 16:32 编辑
nyy 发表于 2024-6-3 12:06
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0


作正三角形BCD,可知△BMD≌△CAD,∠M=120°,定弦定角M轨迹是圆。
延长AM至E,使得M是AE中点E,可知E的轨迹是圆。
要求MN最短,即求CE最短。
一箭穿心,求最短距离。
336.png

点评

A也是动点,不能一箭穿心。  发表于 2024-6-3 15:30
nyy
你这图用什么软件弄的?  发表于 2024-6-3 13:54
nyy
你这图什么意思?加上文字说明!  发表于 2024-6-3 13:44
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 楼主| 发表于 2024-6-3 13:31:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-6-3 13:42 编辑
nyy 发表于 2024-6-3 12:06
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

  1. Clear["Global`*"];
  2. cond1=-48+4*x^2+2*x*y+y^2
  3. cond2=x^2-x*y+y^2-z^2
  4. aa=Eliminate[{cond1,cond2}==0,y]
  5. bb=Solve[aa,x]
复制代码


约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

约束条件2
x^2 - x y + y^2 - z^2=0


由这两个约束条件,消掉y变量,得到
-96 z^2 + z^4 == -2304 + 432 x^2 - 27 x^4

这个是x^2的二次方程,得到判别式。
Solve[-576 + 96 z^2 - z^4 == 0, {z}] // Expand
得到
\[\left\{\left\{z\to -2 \sqrt{3}-6\right\},\left\{z\to 6-2 \sqrt{3}\right\},\left\{z\to 2 \sqrt{3}-6\right\},\left\{z\to 2 \sqrt{3}+6\right\}\right\}\]
或者
  1. Reduce[-576 + 96 z^2 - z^4 >= 0, z]
复制代码

得到
\[-2 \sqrt{3}-6\leq z\leq 2 \sqrt{3}-6\lor 6-2 \sqrt{3}\leq z\leq 2 \sqrt{3}+6\]

这个-6 - 2 Sqrt[3] <= z <= -6 + 2 Sqrt[3]都是小于零的,所以6 - 2 Sqrt[3] <= z <= 6 + 2 Sqrt[3]

关于最大值:
  1. Solve[cond1 == 0 && cond2 == 0 && z == 6 + 2 Sqrt[3], {x, y,
  2.    z}] // Expand
复制代码

得到
{{x -> -2 Sqrt[2], y -> 2 Sqrt[2] + 2 Sqrt[6], z -> 6 + 2 Sqrt[3]},
{x -> 2 Sqrt[2], y -> -2 Sqrt[2] - 2 Sqrt[6], z -> 6 + 2 Sqrt[3]}}

但是很明显,这个最大值是取不到的,因为x y不存在同时非负的情况。

那么问题来了,这个MN=z的最大值是多少呢?






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 楼主| 发表于 2024-6-3 13:50:40 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-6-3 13:31
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0
  1. Clear["Global`*"];
  2. cond1=-48+4*x^2+2*x*y+y^2
  3. cond2=x^2-x*y+y^2-z^2
  4. (*求最大值*)
  5. Maximize[{z,cond1==0&&cond2==0&&x>=0&&y>=0&&z>=0},{x,y,z}]//FullSimplify//Expand
  6. (*求最小值*)
  7. Minimize[{z,cond1==0&&cond2==0&&x>=0&&y>=0&&z>=0},{x,y,z}]//FullSimplify//Expand
复制代码


最大值
\[\left\{4 \sqrt{3},\left\{x\to 0,y\to 4 \sqrt{3},z\to 4 \sqrt{3}\right\}\right\}\]

最小值
\[\left\{6-2 \sqrt{3},\left\{x\to 2 \sqrt{2},y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2},z\to 6-2 \sqrt{3}\right\}\right\}\]

点评

nyy
这个最大值,是在边界取到的,难怪拉格朗日乘子法搞不到。  发表于 2024-6-3 13:51
nyy
这个最大值,是在边界取到的  发表于 2024-6-3 13:51
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发表于 2024-6-3 15:47:12 | 显示全部楼层
作△ABC的外接圆,显然是个定圆(定弦定角),半径为4。
作为正三角形△BMC’,C’亦可以看作C关于AB中垂线的镜像。CC’ //AB. C’显然在外接圆上。
取MC’的中点E,有平行四边形MNCE,CE//=MN.
E是C’绕B旋转30°缩放cos30°的像,所以也是一个圆。这才能一箭心。
E所在圆的直径显然是正三角BCD的边BD,圆心为BD中点F。故最小值为CF-BF=6-2√3
捕获.PNG

点评

A限于劣弧CD上,取一箭穿心的外端时A超出了范围,最大值只能取在边界上。  发表于 2024-6-4 09:24
nyy
CF+BF=6+2√3,大于4√3,为什么求最大值就不行了?  发表于 2024-6-4 08:51
nyy
我貌似看懂了。不过你的思路是用软件搞出来的,还是自己独立想出来的?或者说,如果没做图软件,你能想出这个思路吗?  发表于 2024-6-4 08:48
条条大路通罗马  发表于 2024-6-3 16:23
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-6-3 16:41:57 | 显示全部楼层
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好,脱离了人民币的兴趣与爱好 !
  1. Solve[{4*Sqrt[3]/Cos[Pi/12] == 2*z/Cos[Pi/4]}, {z}]
复制代码

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}}

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1#图。不管条件(60°,x,y,4sqrt3)怎么变,BCMN共圆不变。  发表于 2024-6-5 09:48
nyy
我猜你是知道答案后,发现四点共圆,然后故意凑答案的!  发表于 2024-6-4 10:46
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发表于 2024-6-3 17:28:35 | 显示全部楼层
欣赏一篇文章。写得蛮好!
平面几何与图形的逻辑美!原创 娄文 欧拉数学荟 2024-05-07 16:30 广东

  平面几何是数学中一个非常独特的分支。

首先,平面几何与数论并列为数学的两个最古老的分支。而就理论的系统性与完整性而言,平面几何的发展明显超前于数论。

其次,平面几何在中小学数学的教学规划中占了很大的比重。无论在学习内容还是学习时间方面,平面几何都明显多于其他的版块。

一般而言,一个学科中越“古老”的部分,在这个学科中就处于越底层和基础的位置。然而,同样古老的平面几何和数论,在当前的教学规划中所受的待遇却有天壤之别——平面几何最核心的部分基本上都被保留下来了,而数论则分崩离析,只剩下几个简单的概念,根本没办法支撑起哪怕是最简陋的框架,以至于“数论”这个名词都几乎消失在大众的视野中了。

其三,平面几何是非常有“艺术表现力”的数学分支。平面几何中充盈着图形之美,其定理、公式通常都可以用精致的图形来展现和解释。

就这一点来说,平面几何可能是数学中最容易得到大众的欣赏的部分。我不由得猜想,这也是她在中小学数学中获得超然地位的重要因素。

然而我也必须提出一个质疑:在普及性和半强制性的教育中,是否应该包含如此高密度的平面几何内容?

普及性意味着几乎所有人都要接受和经历这样的教育,半强制性则表明学习过程是受到一定程度的监管和督促,而不是自主的。之所以说是“半”,是因为学生还是有选择“学得不那么好”的有限自由。

如前所述,要了解数学这个学科,就必须对平面几何和数论这两个最古老的分支有基本的认知。但是,在当前的普及型和半强制性的学校教育中,我们不能要求所有孩子以学好这个学科为目标,而应该注重培养基本的数学素养。

如果认同上面的观点,我们就不难发现,平面几何在中小学教育中占的比重明显偏高,而数论却被“削”得太过头了。

此外,在应试导向下,原本就已经“膨胀过头”的平面几何教学更偏离了方向,不仅没有着力于引导学生建立起图形的逻辑观念,却简单粗暴地给学生增加沉重的解题负担。

我始终坚持认为,如果数学解题只关注答案,而不理解获得答案的过程,解题就失去了最大的意义。对平面几何而言,我们要关注的是图形各个部分之间的关联性,例如长度、角度,以及更复杂的等量、不等量关系,理解这些关联性对解答过程的影响和作用。

我有一个长期养成的习惯——在完成解答后,把整个解答过程重新“复盘”一遍,梳理解题方法和题目条件之间的因果关系,以及题目条件之间的关联性。特别是对难度较大的题目,这样做所得到的收获可能还超出解题的过程。

下面以我前不久解答的一个平面几何题为例进行分析和解释。

【温馨提醒】建议读题后先思考一段时间,最好能动手做一下,再继续看后文。

如下图,试求圆的半径 R 。
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 楼主| 发表于 2024-6-4 10:42:04 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好,脱离了人民币的兴趣与爱好 !

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

按照你四点共圆的思路:
  1. Clear["Global`*"];
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*利用余弦定理,得到约束条件*)
  6. cond1=Numerator@Together[cs[x+x,2*x+y,4*Sqrt[3]]-Cos[60deg]]
  7. cond2=Numerator@Together[cs[x,y,z]-Cos[60deg]]
  8. cond3=x*(2x)-y*(y+2x) (*假设BCNM四点共圆,切割线定理*)
  9. ans=Solve[{cond1,cond2,cond3}==0,{x,y,z}]//FullSimplify//Expand(*求解方程组*)
  10. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
  11. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示,数值化*)
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{lll}
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to 2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to 2.5359 \\
\end{array}\]

只有最后一组解可能是结果!

难道老同志这次又猜对了吗?

点评

nyy
软件比较笨,不能把二重根式塔化简成两个根式的加减,真的太笨了,我自己也不修改了  发表于 2024-6-4 10:44
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