如图，BM=AC, 求MN的最小值

nyy

初中题又来了，如图，BM=AC,求MN的最小值

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*利用余弦定理,得到约束条件*)
   
6. cond1=Numerator@Together[cs[x+x,2*x+y,4*Sqrt[3]]-Cos[60deg]]
   
7. cond2=Numerator@Together[cs[x,y,z]-Cos[60deg]]
   
8. f=z+x1*cond1+x2*cond2 (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
9. fx=D[f,{{z,x,y,x1,x2}}]//Simplify (*求偏导数*)
   
10. ans=Solve[{fx==0,x>=0&&y>=0&&z>=0},{z,x,y,x1,x2},Reals]//Simplify(*求解零点,限制实数,且非负*)
    

复制代码

约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

约束条件2
x^2 - x y + y^2 - z^2=0

求解结果
\[\left\{\left\{z\to 6-2 \sqrt{3},x\to 2 \sqrt{2},y\to 2 \sqrt{2} \left(\sqrt{3}-1\right),\text{x1}\to \frac{1}{48} \left(\sqrt{3}-3\right),\text{x2}\to \frac{1}{24} \left(\sqrt{3}+3\right)\right\}\right\}\]

gxqcn

楼主是不是现在有个上初中的小孩？
还是给初中生做家教？

aimisiyou

nyy 发表于 2024-6-3 12:06
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

作正三角形BCD，可知△BMD≌△CAD，∠M=120°，定弦定角M轨迹是圆。
延长AM至E，使得M是AE中点E，可知E的轨迹是圆。
要求MN最短，即求CE最短。
一箭穿心，求最短距离。

nyy

nyy 发表于 2024-6-3 12:06
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

1. Clear["Global`*"];
   
2. cond1=-48+4*x^2+2*x*y+y^2
   
3. cond2=x^2-x*y+y^2-z^2
   
4. aa=Eliminate[{cond1,cond2}==0,y]
   
5. bb=Solve[aa,x]
   

复制代码

约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

约束条件2
x^2 - x y + y^2 - z^2=0


由这两个约束条件，消掉y变量，得到
-96 z^2 + z^4 == -2304 + 432 x^2 - 27 x^4

这个是x^2的二次方程，得到判别式。
Solve[-576 + 96 z^2 - z^4 == 0, {z}] // Expand
得到
\[\left\{\left\{z\to -2 \sqrt{3}-6\right\},\left\{z\to 6-2 \sqrt{3}\right\},\left\{z\to 2 \sqrt{3}-6\right\},\left\{z\to 2 \sqrt{3}+6\right\}\right\}\]
或者

1. Reduce[-576 + 96 z^2 - z^4 >= 0, z]

复制代码

得到
\[-2 \sqrt{3}-6\leq z\leq 2 \sqrt{3}-6\lor 6-2 \sqrt{3}\leq z\leq 2 \sqrt{3}+6\]

这个-6 - 2 Sqrt[3] <= z <= -6 + 2 Sqrt[3]都是小于零的，所以6 - 2 Sqrt[3] <= z <= 6 + 2 Sqrt[3]

关于最大值：

1. Solve[cond1 == 0 && cond2 == 0 && z == 6 + 2 Sqrt[3], {x, y,
   
2.    z}] // Expand

复制代码

得到
{{x -> -2 Sqrt[2], y -> 2 Sqrt[2] + 2 Sqrt[6], z -> 6 + 2 Sqrt[3]},
{x -> 2 Sqrt[2], y -> -2 Sqrt[2] - 2 Sqrt[6], z -> 6 + 2 Sqrt[3]}}

但是很明显，这个最大值是取不到的，因为x y不存在同时非负的情况。

那么问题来了，这个MN=z的最大值是多少呢？

nyy

nyy 发表于 2024-6-3 13:31
约数条件1
-48 + 4 x^2 + 2 x y + y^2=0

1. Clear["Global`*"];
   
2. cond1=-48+4*x^2+2*x*y+y^2
   
3. cond2=x^2-x*y+y^2-z^2
   
4. (*求最大值*)
   
5. Maximize[{z,cond1==0&&cond2==0&&x>=0&&y>=0&&z>=0},{x,y,z}]//FullSimplify//Expand
   
6. (*求最小值*)
   
7. Minimize[{z,cond1==0&&cond2==0&&x>=0&&y>=0&&z>=0},{x,y,z}]//FullSimplify//Expand
   

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最大值
\[\left\{4 \sqrt{3},\left\{x\to 0,y\to 4 \sqrt{3},z\to 4 \sqrt{3}\right\}\right\}\]

最小值
\[\left\{6-2 \sqrt{3},\left\{x\to 2 \sqrt{2},y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2},z\to 6-2 \sqrt{3}\right\}\right\}\]

hujunhua

作△ABC的外接圆，显然是个定圆（定弦定角），半径为4。
作为正三角形△BMC’，C’亦可以看作C关于AB中垂线的镜像。CC’ //AB. C’显然在外接圆上。
取MC’的中点E，有平行四边形MNCE，CE//=MN.
E是C’绕B旋转30°缩放cos30°的像，所以也是一个圆。这才能一箭心。
E所在圆的直径显然是正三角BCD的边BD，圆心为BD中点F。故最小值为CF-BF=6-2√3

王守恩

为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

1. Solve[{4*Sqrt[3]/Cos[Pi/12] == 2*z/Cos[Pi/4]}, {z}]

复制代码

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}}

王守恩

欣赏一篇文章。写得蛮好！
平面几何与图形的逻辑美！原创 娄文 欧拉数学荟 2024-05-07 16:30 广东

  平面几何是数学中一个非常独特的分支。

首先，平面几何与数论并列为数学的两个最古老的分支。而就理论的系统性与完整性而言，平面几何的发展明显超前于数论。

其次，平面几何在中小学数学的教学规划中占了很大的比重。无论在学习内容还是学习时间方面，平面几何都明显多于其他的版块。

一般而言，一个学科中越“古老”的部分，在这个学科中就处于越底层和基础的位置。然而，同样古老的平面几何和数论，在当前的教学规划中所受的待遇却有天壤之别——平面几何最核心的部分基本上都被保留下来了，而数论则分崩离析，只剩下几个简单的概念，根本没办法支撑起哪怕是最简陋的框架，以至于“数论”这个名词都几乎消失在大众的视野中了。

其三，平面几何是非常有“艺术表现力”的数学分支。平面几何中充盈着图形之美，其定理、公式通常都可以用精致的图形来展现和解释。

就这一点来说，平面几何可能是数学中最容易得到大众的欣赏的部分。我不由得猜想，这也是她在中小学数学中获得超然地位的重要因素。

然而我也必须提出一个质疑：在普及性和半强制性的教育中，是否应该包含如此高密度的平面几何内容？

普及性意味着几乎所有人都要接受和经历这样的教育，半强制性则表明学习过程是受到一定程度的监管和督促，而不是自主的。之所以说是“半”，是因为学生还是有选择“学得不那么好”的有限自由。

如前所述，要了解数学这个学科，就必须对平面几何和数论这两个最古老的分支有基本的认知。但是，在当前的普及型和半强制性的学校教育中，我们不能要求所有孩子以学好这个学科为目标，而应该注重培养基本的数学素养。

如果认同上面的观点，我们就不难发现，平面几何在中小学教育中占的比重明显偏高，而数论却被“削”得太过头了。

此外，在应试导向下，原本就已经“膨胀过头”的平面几何教学更偏离了方向，不仅没有着力于引导学生建立起图形的逻辑观念，却简单粗暴地给学生增加沉重的解题负担。

我始终坚持认为，如果数学解题只关注答案，而不理解获得答案的过程，解题就失去了最大的意义。对平面几何而言，我们要关注的是图形各个部分之间的关联性，例如长度、角度，以及更复杂的等量、不等量关系，理解这些关联性对解答过程的影响和作用。

我有一个长期养成的习惯——在完成解答后，把整个解答过程重新“复盘”一遍，梳理解题方法和题目条件之间的因果关系，以及题目条件之间的关联性。特别是对难度较大的题目，这样做所得到的收获可能还超出解题的过程。

下面以我前不久解答的一个平面几何题为例进行分析和解释。

【温馨提醒】建议读题后先思考一段时间，最好能动手做一下，再继续看后文。

如下图，试求圆的半径 R 。

nyy

王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

按照你四点共圆的思路：

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*利用余弦定理,得到约束条件*)
   
6. cond1=Numerator@Together[cs[x+x,2*x+y,4*Sqrt[3]]-Cos[60deg]]
   
7. cond2=Numerator@Together[cs[x,y,z]-Cos[60deg]]
   
8. cond3=x*(2x)-y*(y+2x) (*假设BCNM四点共圆,切割线定理*)
   
9. ans=Solve[{cond1,cond2,cond3}==0,{x,y,z}]//FullSimplify//Expand(*求解方程组*)
   
10. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
11. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示,数值化*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{lll}
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to 2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to 2.5359 \\
\end{array}\]

只有最后一组解可能是结果！

难道老同志这次又猜对了吗？