如图，BM=AC, 求MN的最小值

nyy

王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

按照你四点共圆的思路：

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*利用余弦定理,得到约束条件*)
   
6. cond1=Numerator@Together[cs[x+x,2*x+y,4*Sqrt[3]]-Cos[60deg]]
   
7. cond2=Numerator@Together[cs[x,y,z]-Cos[60deg]]
   
8. cond3=x*(2x)-y*(y+2x) (*假设BCNM四点共圆,切割线定理*)
   
9. ans=Solve[{cond1,cond2,cond3}==0,{x,y,z}]//FullSimplify//Expand(*求解方程组*)
   
10. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
11. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示,数值化*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to -2 \sqrt{2} & y\to 4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to -2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to -4 \sqrt{\sqrt{3}+2} & z\to 2 \sqrt{3}+6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{3}-6 \\
x\to 2 \sqrt{2} & y\to 2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2} & z\to 6-2 \sqrt{3} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{lll}
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to -2.07055 & z\to 2.5359 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to -2.82843 & y\to 7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to -9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to -7.72741 & z\to 9.4641 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to -2.5359 \\
x\to 2.82843 & y\to 2.07055 & z\to 2.5359 \\
\end{array}\]

只有最后一组解可能是结果！

难道老同志这次又猜对了吗？

nyy

王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

1#图。不管条件(60°,x,y,4sqrt3)怎么变，BCMN共圆不变。

老同志，我感觉你是猜的，或者你有些像拉马努金，喜欢猜，
不否认你猜的很多是正确的，但是我更需要思路是怎么来的。
以及怎么证明你的想法！

nyy

王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

老同志，为什么取极值的时候，四点共圆？你能说得清道理，我就服你！

nyy

王守恩 发表于 2024-6-3 16:41
为你点赞: 我这叫纯粹的兴趣与爱好，脱离了人民币的兴趣与爱好 ！

{{z -> 6 - 2 Sqrt[3]}} ...

BCMN四点共圆，这个究竟是不是偶然，谁能解释清楚？？？？

hujunhua

只有∠BAC=60°时BCMN在MN的极小值点四点共圆，改变这个角度，不再共圆。从这个意义上说，纯属巧合。

但是，也许能利用60°的特殊性，证明这种巧合。