随机摆放和随机消除的zuma试验

KeyTo9_Fans

向一个队列中不断地插入各种颜色的小球。

当有若干个同色小球连在一起时，这些小球会从队列中消除，留下的空位会被后面的小球补上。

消除可以造成连锁反应，直到剩下的小球不能继续消除为止。

为了简化问题，我们不妨假设只有黑色和白色两种小球。

当队列中有$n$个小球的时候，如果再来一个小球，这个小球有$(n+1)$种插入方案。

我们随机选取其中一种插入方案，即插入到每一处的概率均为$1/(n+1)$。

当有$5$个或$5$个以上的同色小球连在一起的时候，这些连在一起的小球会从队列中消除，留下的空位会被后面的小球平移过来填补掉。

消除可以造成连锁反应，即填补后又有$5$个或$5$个以上的同色小球连在一起，则继续消除。

这一过程连续进行，直到不能再消除。

初始时队列为空，然后小球是一个一个地加进来的。

即每加入一个小球，要等消除工作全部结束，再加入下一个小球。

新来的小球有$p$的概率是黑色的，$(1-p)$的概率是白色的。

小球是源源不断地加进来的，永远不会停止。

好了，现在提出问题一：

当$p$取何值时，队列呈变短趋势（即无限多次被清空）？

当$p$取何值时，队列呈变长趋势（即有限次被清空后再也不会被清空，最终达到无限长）？

是否存在$p$值使得队列表现为上述两种状态之间的临界状态？

（看起来是$3$个问，不过似乎本质一样，就统称为问题一吧。）

下面假设新来的小球有$50%$的概率是黑色的，$50%$的概率是白色的。

但不一定非要$5$个或$5$个以上的同色小球连在一起的时候才能消除。

如果新来了一个小球之后，有$4$个同色小球连在一起，那么就抛一枚硬币。

如果抛到正面，则把这$4$个同色小球消除，否则放着不管。

当然，如果是$5$个或$5$个以上的同色小球连在一起，是用不着抛硬币的，直接消除就是了。

消除并填补之后，如果只有$4$个同色小球连在一起，那么同样抛一枚硬币。

如果抛到正面，则认为连续消除有效，把这$4$个同色小球消除，否则认为不能连消，消除阶段结束。

当然，如果消除并填补之后还有$5$个或$5$个以上的同色小球连在一起，也是用不着抛硬币的，直接继续消除就是了。

好了，下面提出问题二：

由于那枚硬币比较神奇，有$p$的概率会抛到正面向上，$(1-p)$的概率抛到反面向上。

当$p$取何值时，队列呈变短趋势（即无限多次被清空）？

当$p$取何值时，队列呈变长趋势（即有限次被清空后再也不会被清空，最终达到无限长）？

是否存在$p$值使得队列表现为上述两种状态之间的临界状态？

（看起来是$3$个问，不过似乎本质一样，就统称为问题二吧。）

好了，我的问题问完了。我承认我比较罗嗦，不过很期待这些问题在不久的将来能完美解决。