求定点

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 11:21:34

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已知三角形ABC，求做一点P，使得AP交BC于D，BP交AC于E，CP交AB于F，使得四边形AEDF、BDEF、CDFE均为圆外切四边形，且内接圆半径均相等。

mathe · 发表于 2024-8-4 13:11:55

显然AB//DE等，所以AEDF是菱形，所以AD是角EAF平分线，所以P是三角形ABC的内心。

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 14:07:23

本帖最后由 aimisiyou 于 2024-8-4 14:09 编辑

mathe 发表于 2024-8-4 13:11
显然AB//DE等，所以AEDF是菱形，所以AD是角EAF平分线，所以P是三角形ABC的内心。 ...

哦，那说明只有正三角形时才有三个圆半径相等。如果仅满足三个四边形都是圆外切四边形（各圆半径不作要求），对于任意三角形，那P点怎么做？

mathe · 发表于 2024-8-4 14:24:11

aimisiyou 发表于 2024-8-4 14:07
哦，那说明只有正三角形时才有三个圆半径相等。如果仅满足三个四边形都是圆外切四边形（各圆半径不作要求 ...

可以是任意三角形的内心

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 14:55:08

mathe 发表于 2024-8-4 14:24
可以是任意三角形的内心

不对啊。

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 14:59:08

mathe 发表于 2024-8-4 14:24
可以是任意三角形的内心

主要是看到网上的关于圆外切四边形的一个性质定理。是不是所有三角形都有这个三线共点的P点，或者说能满足存在P点条件的三角形有相关限制条件（不能是任意三角形）。

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 15:08:52

本帖最后由 aimisiyou 于 2024-8-4 19:35 编辑

mathe 发表于 2024-8-4 14:24
可以是任意三角形的内心

如果设置D、E、F三个点坐标，共六个未知数，而根据点在线上，可得三个方程；根据圆外切四边形对边长之和相等，可得三个方程；再根据三线共点，可得一个方程。故6个未知数，7个方程式。估计有限制的三角形才能满足要求，此类三角形有啥相关性质？
PS：三线共点是可由三个圆外切四边形得出的结论，故6个未知数，6个方程式，猜测一般情况应该是有唯一解。

mathe · 发表于 2024-8-4 15:56:14

分别以三角形顶点为圆心做三个充分大等圆。分别做三个等圆外部外公切线，得到一个和原三角形平行的图形。
做此三角形内心（或者做三角形顶点和对应圆心的连线，三线共点)。可以看出内心是两三角形位似中心。使用位似关系将三个圆对应到原三角形即可）

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 16:21:46

mathe 发表于 2024-8-4 15:56
分别以三角形顶点为圆心做三个充分大等圆。分别做三个等圆外部外公切线，得到一个和原三角形平行的图形。
...

能做出一个看下效果吗？

aimisiyou · 发表于 2024-8-4 21:14:27

本帖最后由 aimisiyou 于 2024-8-4 21:27 编辑

最高次都是二次的方程组，不知能否尺规作图。

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