求定点

aimisiyou

初步发现了一些规律，确实不是任意三角形都有解的。

aimisiyou

等式关系不对。

aimisiyou

中间出了点纰漏。

aimisiyou

>> syms  x y z a b c;
f1=(x+a)*(x+c)*(z+a+b-c)*(y+b+c-a)-a*c*(x+y+2*c)*(x+z+2*a);
f2=(y+b)*(y+c)*(x+a+c-b)*(z+a+b-c)-b*c*(x+y+2*c)*(y+z+2*b);
f3=(z+a)*(z+b)*(y+b+c-a)*(x+a+c-b)-a*b*(x+z+2*a)*(y+z+2*b);
[x,y,z]=solve([f1,f2,f3],[x,y,z])
警告: Unable to find explicit solution. For options, see help.
> 位置：sym/solve (第 317 行)

x =

Empty sym: 0-by-1


y =

Empty sym: 0-by-1


z =

Empty sym: 0-by-1

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2024-8-6 19:01
>> syms  x y z a b c;
f1=(x+a)*(x+c)*(z+a+b-c)*(y+b+c-a)-a*c*(x+y+2*c)*(x+z+2*a);
f2=(y+b)*(y+c)*(x+ ...

x,y,z须大于0。当a,b,c均为正整数且方程组有正解时，其解x,y,z必为正有理数。这是啥情况？或者正整数a,b,c在满足什么条件下，方程组有正解？

aimisiyou

>>  syms x y z ;
a=13;
b=16;
c=22;
f1=(x+a)*(x+c)*(z+a+b-c)*(y+b+c-a)-a*c*(x+y+2*c)*(x+z+2*a);
f2=(y+b)*(y+c)*(x+a+c-b)*(z+a+b-c)-b*c*(x+y+2*c)*(y+z+2*b);
f3=(z+a)*(z+b)*(y+b+c-a)*(x+a+c-b)-a*b*(x+z+2*a)*(y+z+2*b);
[x,y,z]=solve([f1,f2,f3],[x,y,z])

x =

                               -19
                               -51
                            361/13
                               -13
                               -13
                               -22
                               -22
- (9*447001^(1/2))/734 - 13703/734
  (9*447001^(1/2))/734 - 13703/734


y =

                           -25
                           -51
                           625
- (3*31849^(1/2))/97 - 2371/97
  (3*31849^(1/2))/97 - 2371/97
                           -22
                           -22
                           -16
                           -16


z =

                               -7
                              -51
                            49/37
                              -13
                              -13
- (3*135697^(1/2))/434 - 3173/434
  (3*135697^(1/2))/434 - 3173/434
                              -16
                              -16


可知当a=13,b=16,c=22时有正解，x=361/13,y=625,z=49/37。而当a=13,b=16,c=23时无正解。

aimisiyou

比较好奇当有正解时这里的有理数是咋得出来的？既然不能写成含a,b,c的表达式，那么难道是数论因式分解？