非负有理参数化

数学星空

对于已知条件 $a^2+b^2+c^2=abc+4,$ , 且a,b,c均为正数, 若需要找到一个非负有理参数代换: 杨路教授找到了符合条件的参数表示: $a=\frac{4v(u+1)}{u^2+2u+2},$ $b=\frac{4(v+1)(u+1)(u^2+2u+2)}{4v(u+1)^2+(u^2+2u+2)^2},$ $c=\frac{2(u(u+2)(u^2+2u+2)^2+4v(u+1)^2(u^2+2u+2+2v))}{(u^2+2u+2)(4v(u+1)^2+(u^2+2u+2)^2)}.$ 显然,这个代换显得太复杂了.. 不知有没有更简洁的代换..

wayne

$a=\frac{2(u v+1)^2+2(u+v)^2}{(1-u^2)(1-v^2)}$ $b=\frac{2(1+u^2)}{1-u^2}$ $c=\frac{2(1+v^2)}{1-v^2}$ 或者： $a=\frac{2(u v-1)^2+2(u-v)^2}{(1-u^2)(1-v^2)}$ $b=\frac{2(1+u^2)}{1-u^2}$ $c=\frac{2(1+v^2)}{1-v^2}$

数学星空

呵,题目要求a,b,c均为正,且参数(u,v)也只能取正, 你的不是非负代换,即 当参数取正时, a,b,c 并不是都是大于0,例如,u=2,v=2时....,b<0,c<0 你的代换只能是"有理参数代换"而非"非负有理参数代换

wayne

3# 数学星空 呵，忘了说明了，参数(u,v)的取值范围是(0,1)*(0,1)。

wayne

2楼给出的表达式很有特点。如果你不喜欢在(0,1)区间表达式，作变换u-->1/u,v-->1/v，表达式形状不变。区间成了(1,+oo)

wayne

如果你想让参数在区间(0,+oo)内取值，也行，表达式为： $a=u+1/u$ $b=v+1/v$ $c=u v+frac{1}{u v}$

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如果你想让参数在区间(0,+oo)内取值，也行，表达式为： a=u+1/u b=v+1/v c=u v+frac{1}{u v} wayne 发表于 2009-11-30 16:53

呵,还是不符合题意哟 你这样代换就默认了a,b,c均大于等于2, 若对于a,b,c小于2,大于0的取值...却无能为力了 再把题目说的清楚些就是 寻找有理函数a=f1(u,v),b=f2(u,v),c=f3(u,v),使u,v取正时 a,b,c的值域要和条件a^2+b^2+c^2=a*b*c+4中a,b,c 的定义域相同

wayne

首先需要清楚，a,b,c中有两个数要么同时大于2，要么同时小于2. 根据2楼和5楼。 你可以把下面的u,v做u-->u+1,v-->v+1的替换 $a=\frac{2(u v-1)^2+2(u-v)^2}{(u^2-1)(v^2-1)}$ $b=\frac{2(u^2+1)}{u^2-1}$ $b=\frac{2(v^2+1)}{v^2-1}$

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是的,你说的很对... 请问你是通过什么方法找到的? 还有一个稍难的:对于$2*(a^3+b^3+c^3)-3*(a+b+c)+1=0,a,b,c$为正数 如何非负参数化??

wayne

经过分析。a,,b,c三个数一定是同时大于2，或者同时小于2