非负有理参数化

wayne

总结一下，关于$a^2+b^2+c^2=abc+4$的非负有理参数化，一种可行的方法是利用一元二次方程判别式。

不妨把上面的式子看成是关于a的二次方程，那么，
判别式$D^2=(b^2-4)(c^2-4)$
$a=frac{bc+-D}{2}$
由判别式知，b,c要么都大于2，要么都小于2.
设$f(a)=a^2-bca+b^2+c^2-4$,则$f(2)=(b-c)^2>=0$,
如果b,c都大于2，则 该关于a的二次方程有两正根，进一步可以判定两根都大于2，即a一定大于2
如果b,c都小于2，。。。即a一定小于2
即有结论，a,b,c一定是要么都大于2，要么都小于2.

如果a,b,c都大于2，可以设$b^2-4=x^2,c^2-4=y^2$,
或者是$b^2-4=(x-1/x)^2,c^2-4=(y-1/y)^2$,
如果a,b,c都小于2，可以设$b^2-4=-x^2,c^2-4=-y^2$

对于$m^2+n^2=p^2$，大家都知道，可以利用三角函数里面的万能代换公式。

补充一下，为了保证非负，参数取值不一定是$(0,+oo)$，可以是其子集

wayne

对于你在9楼给的三次表达式，只能另辟新径了

wayne

很有意思，发现$a^3 + b^3 + c^3 - (a + b + c) + 1$的三维图形是

好像一个草帽子接一个正在落地的橘子一样

关于方程$a^3 + b^3 + c^3 -\alpha (a + b + c) + \beta=0 $的三维图形的特征 随着参数$\alpha$，$ \beta$而演化，是属于数学的哪个领域呢。

rayfekeeper

可以在wayne的思想上进一步吧，如果把实数变成复数，再对复数做一些要求就可以了吧。
a=z1+1/z1
b=z2+1/z2
c=z1z2+1/z1z2
|z1|=|z2|=1
当然在|z|>1就完全转化成实数了，此时z=u。