有多少个这样的4位数

sls

有多少个同时符合以下两条要求的4位数：
1、能被4整除，并且各位数字之和亦能被4整除，
2、含有数字4。

sls

我的做法如下：
假定这个四位数是abcd, 我把它分成 ab 和 cd 两截，条件等价于
1、cd能被4整除，a+b除以4的余数加上c+d除以4的余数，和能被4整除。
2、ab含4且cd含4 + ab含4且cd不含4 + ab不含4且cd含4.
下表是分类统计数据表

		cd含4				cd无4
		余0: 5组	余1: 0组	余2: 2组	余3: 0组	余0: 4组	余1: 4组	余2: 4组	余3: 6组
ab含4	余0:4组	20	/	/	/	16	/	/	/
	余1:6组	/	/	/	0	/	/	/	36
	余2:4组	/	/	8	/	/	/	16	/
	余3:4组	/	0	/	/	/	16	/	/
ab无4	余0:18组	90	/	/	/
	余1:16组	/	/	/	0
	余2:19组	/	/	38	/
	余3:19组	/	0	/	/

合计：20+8+16*3+36+90+38=240

表中余0，余1，余2，余3是两数之和除以4的余数。各组的大小按下帖的方法详列而来，我想知道有没有更简单的方法，谢谢！

sls

hujunhua

用{x}表示整数 x 除以 4 的余数，四位数记为abcd, 按题目的条件1可得
{c}={a+b}={{a}+{b}}
{d}={2c}（这称为同余式）
于是我们可以按{x}的值将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分成4组
{0}: (0,4,8),
{1}: (1,5,9),
{2}: (2,6),
{3}: (3,7)
且称为同余组。
如果abcd是一个符合条件1的数，那么各位上的数字换成同余组的其它数字也是一个满足条件1的四位数（首位不为零的话）。、
也就是说它代表一簇解{a}{b}{c}{d}. 这一簇解的个数就等于4个同余组的长度之积。
任取 {a}, {b}，可按上面的同余式计算出 {c}, {d}，然后结合条件2滤去不含4的解。
例1 {a}=0,{b}=0,→{c}=0, {d}=0,  可得0000簇：(48)(048)(048)(048), 其中不含4的为(8)(08)(08)(08), 所以这一簇有2×3×3×3-1×2×2×2=46解。
例2 {a}=1,{b}=1,→{c}=2, {d}=0,  可得1120簇：(159)(159)(26)(4), 这一簇有3×3×2×1=18解。

一共16簇，全列如下：
0000：(48)(048)(048)(048)-(8)(08)(08)(08), 54-8=46
0112：(4)(159)(159)(26), 18
0220：(48)(26)(26)(048)-(8)(26)(26)(08),  24-8=16
0332：8
1012：(159)(4)(159)(26), 18
1120:  18
1232:  0
1300：(159)(37)(048)(048)-(159)(37)(08)(08), 54-24=30
2020:  (26)(048)(26)(048)-(26)(08)(26)(08), 36-16=20
2132：0
2200：20
2312：0
3032：8
3100: 30
3212: 0
3320: 8
合计240

nyy

题目太碎了，直接穷举法！从1000开始穷举！

nyy

240个，直接计算机穷举！

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aa=Range[1000,10^4,4]
   
3. bb=Select[aa,Mod[Total@IntegerDigits[#],4]==0&]
   
4. cc=Select[bb,MemberQ[IntegerDigits[#],4]&]
   

复制代码

1. {1124, 1164, 1304, 1340, 1344, 1348, 1384, 1412, 1416, 1452, 1456, \
   
2. 1492, 1496, 1524, 1564, 1704, 1740, 1744, 1748, 1784, 1924, 1964, \
   
3. 2024, 2064, 2204, 2240, 2244, 2248, 2284, 2420, 2424, 2428, 2460, \
   
4. 2464, 2468, 2604, 2640, 2644, 2648, 2684, 2824, 2864, 3104, 3140, \
   
5. 3144, 3148, 3184, 3324, 3364, 3432, 3436, 3472, 3476, 3504, 3540, \
   
6. 3544, 3548, 3584, 3724, 3764, 3904, 3940, 3944, 3948, 3984, 4000, \
   
7. 4004, 4008, 4040, 4044, 4048, 4080, 4084, 4088, 4112, 4116, 4152, \
   
8. 4156, 4192, 4196, 4220, 4224, 4228, 4260, 4264, 4268, 4332, 4336, \
   
9. 4372, 4376, 4400, 4404, 4408, 4440, 4444, 4448, 4480, 4484, 4488, \
   
10. 4512, 4516, 4552, 4556, 4592, 4596, 4620, 4624, 4628, 4660, 4664, \
    
11. 4668, 4732, 4736, 4772, 4776, 4800, 4804, 4808, 4840, 4844, 4848, \
    
12. 4880, 4884, 4888, 4912, 4916, 4952, 4956, 4992, 4996, 5124, 5164, \
    
13. 5304, 5340, 5344, 5348, 5384, 5412, 5416, 5452, 5456, 5492, 5496, \
    
14. 5524, 5564, 5704, 5740, 5744, 5748, 5784, 5924, 5964, 6024, 6064, \
    
15. 6204, 6240, 6244, 6248, 6284, 6420, 6424, 6428, 6460, 6464, 6468, \
    
16. 6604, 6640, 6644, 6648, 6684, 6824, 6864, 7104, 7140, 7144, 7148, \
    
17. 7184, 7324, 7364, 7432, 7436, 7472, 7476, 7504, 7540, 7544, 7548, \
    
18. 7584, 7724, 7764, 7904, 7940, 7944, 7948, 7984, 8004, 8040, 8044, \
    
19. 8048, 8084, 8224, 8264, 8400, 8404, 8408, 8440, 8444, 8448, 8480, \
    
20. 8484, 8488, 8624, 8664, 8804, 8840, 8844, 8848, 8884, 9124, 9164, \
    
21. 9304, 9340, 9344, 9348, 9384, 9412, 9416, 9452, 9456, 9492, 9496, \
    
22. 9524, 9564, 9704, 9740, 9744, 9748, 9784, 9924, 9964}

复制代码

总共240个，没技术含量。一点技术含量都没有！

nyy

nyy 发表于 2024-10-28 09:23
240个，直接计算机穷举！

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aa=Select[Range[1000,10^4,4],And[Mod[Total@IntegerDigits[#],4]==0,MemberQ[IntegerDigits[#],4]]&]
   

复制代码

写成一行代码！

hujunhua

早在3#就发过下面的程序和结果，后来整理删帖了。也想到有人会再发出来的
Select[Range[1000,9999,4],Mod[SumDigits@#,4]==0&& MemberQ[IntegerDigits@#, 4] &]//Length

王守恩

nyy 发表于 2024-10-28 09:23
240个，直接计算机穷举！

这样的4位数有240个。
这样的5位数有2706个。
这样的6位数有30001个。
这样的7位数有——个？

王守恩

1, 含有数字4。这样的n位数是这样一串数。

{1, 18, 252, 3168, 37512, 427608, 4748472, 51736248, 555626232, 5900636088, 62105724792}

2, 能被4整除。这样的n位数是这样一串数。

{2, 22, 225, 2250, 22500, 225000, 2250000, 22500000, 225000000, 2250000000}

3, 各位数字之和能被4整除。这样的n位数是这样一串数。

{2, 22, 224, 2249, 22500, 225002, 2250004, 22500004, 225000000}

把3者混合在一起就成了第4串数，第4串数就出不来了。

4, {0, 0, 18, 240, 2706, 30001, 326298, 3499240, 37118136}

1. Table[Length@Select[Range[10^(a - 1), 10^a - 1, 4], And[Mod[Total@IntegerDigits[#], 4] == 0, MemberQ[IntegerDigits[#], 4]] &], {a, 9}]

复制代码

5, {0, 0, 4, 60, 677, 7500, 81573, 874809, 9279532, 97578279}

1. Table[Length@Select[Range[10^(a - 1), 10^a - 1, 8], And[Mod[Total@IntegerDigits[#], 8] == 0, MemberQ[IntegerDigits[#], 8]] &], {a, 10}]

复制代码

18=4*4+2。
240=60*4+0。
2706=677*4-2。
30001=7500*4+1。
326298=81573*4+6。
3499240=874809*4+4。
37118136=9279532*4+8。
？=97578279*4+？。

可惜第5串数还是出不来。