有多少个这样的4位数

王守恩

王老师算一下100位的数字，各位数字之和模4余0,1,2,3的分别有多少个？200位的呢？1000位的呢？
各位数字之和模4余0,1,2,3的分别有多少个？200位的呢？1000位的呢？
我连9位也算不了。

1. Table[Length@Select[IntegerDigits@Range[10^(a - 1), 10^a - 1], Mod[Total@#, 4] == b &], {b, 0, 3}, {a, 8}]

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{{2, 22, 224, 2249, 22500, 225002, 2250004, 22500004}, {3, 23, 225, 2249, 22498, 224998, 2250000, 22500004}, {2, 23, 226, 2251, 22500, 224998, 2249996, 22499996}, {2, 22, 225, 2251, 22502, 225002, 2250000, 22499996}}

1位数。2+3+2+2=9。模4余0+模4余1+模4余2+模4余3=9。
2位数。22+23+23+22=90。模4余0+模4余1+模4余2+模4余3=90。
3位数。224+225+226+225=900。
4位数。2249+2249+2251+2251=9000。
5位数。22500+22498+22500+22502=90000。
6位数。225002+224998+224998+225002=900000。
7位数。2250004+2250000+2249996+2250000=9000000。
8位数。22500004+22500004+22499996+22499996=90000000。
9位数。?+?+?+?=900000000。
10位数。?+?+?+?=9000000000。
11位数。?+?+?+?=90000000000。
12位数。?+?+?+?=900000000000。
13位数。?+?+?+?=9000000000000。
......
各路大侠！能再来几个，规律可能就来了。

王守恩

提升10楼。

1, 含有数字4。这样的n位数是这样一串数。
{1, 18, 252, 3168, 37512, 427608, 4748472, 51736248, 555626232, 5900636088, 62105724792, 648951523128, 6740563708152, 69665073373368, 716985660360312, 7352870943242808, 75175838489185272, 766582546402667448}

1. Table[9*10^n - 8*9^n, {n, 18}]

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2, 能被4整除。这样的n位数是这样一串数。
{2, 22, 225, 2250, 22500, 225000, 2250000, 22500000, 225000000, 2250000000, 22500000000, 225000000000, 2250000000000, 22500000000000, 225000000000000, 2250000000000000, 22500000000000000, 225000000000000000}

1. Table[ (9*10^n)/4, {n, 17}]

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3, 各位数字之和能被4整除。这样的n位数是这样一串数。
{2, 22, 224, 2249, 22500, 225002, 2250004, 22500004, 225000000, 2249999992, 22499999984, 224999999984, 2250000000000, 22500000000032, 225000000000064, 2250000000000064, 22500000000000000, 224999999999999872}

1. Table[ (9*10^n + 2 Im[(1 - I)^n])/4, {n, 17}]

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northwolves

n位数各位数字之和模4余0,1,2,3的分别有多少个？

1. x = IntegerDigits[5*{47, 50, 38, 35}, 4]; y = {2, 3, 2, 2}; q1 =
   
2. NestList[Dot[x, #] &, y, 9]
   
3. q2 = Nest[Dot[x, #] &, y, 99]

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{{2,3,2,2},{22,23,23,22},{224,225,226,225},{2249,2249,2251,2251},{22500,22498,22500,22502},{225002,224998,224998,225002},{2250004,2250000,2249996,2250000},{22500004,22500004,22499996,22499996},{225000000,225000008,225000000,224999992},{2249999992,2250000008,2250000008,2249999992}}

{2249999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999718525023289344, 2249999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999718525023289344,
2250000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000281474976710656,
2250000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000281474976710656}

northwolves

1. f[n_] :=Nest[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, 6], #] &, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, n - 1]; f[20]

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{12857142857145079250,12857142857143405958,12857142857141319397,12857142857140390790,12857142857141319397,12857142857143405958,12857142857145079250}

northwolves

13楼代码也可写成函数形式直接调用：

1. In[35]:=f4[n_] := Nest[Dot[NestList[RotateRight, {3, 2, 2, 3}, 3], #] &, {2, 3, 2, 2},  n - 1]; f4[10]
   
2. 
   
3. Out[35]= {2249999992, 2250000008, 2250000008, 2249999992}

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